（数论问题专项讲义）专题1 数字问题-小升初数学模块化思维提升（通用版）

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、数字问题的主要题型。
数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大．通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少．
2、核心知识。
（1）数字的拆分。
是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等．
（2）数字的排列与位数关系。
解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解．
【典例一】在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在72中间插入数字6，就变成了762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，下列数字满足条件的是
A．25B．20C．18D．17
【分析】分别用下面的数字乘9，所得积的百位与个位上的数字分别是两位数的十位和个位上的数字的就符合题意。
【解答】解：
在25 的中间插入数字2得225，225是25的9倍。
故选：。
【点评】利用逆向思维的方法是解决本题的关键。
【典例二】在某小区为业主举办的元旦晚会上，主持人为业主们准备了一个游戏：从300个外形相同的福袋中找到唯一装有奖品的福袋，主持人将这些福袋按1至300的顺序编号排成一列，第一次先请一位业主从中取出所有序号为单数的球，均没有发现奖品，接着主持人将剩下的福袋又按1至150重新编号排成一列（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号，，原来的300号变为150号），又请一位业主从中取出所有新序号为单数的球，也没有发现奖品，，如此下去，直到最后一个福袋是装有奖品的，那么这个装有奖品的福袋最初的序号是 。
【分析】从简单入手，找到第次余下的原编号为的倍数，再找着的倍数只有1个时为几，此时的结果就是最初的编号。据此解答。
【解答】解：第1次余下的数为：2、，即的倍数；
第2次余下的数为：4、8、，即的倍数；
第次余下的数为的倍数。
当时，余下的只有256一个。
所以，最初福袋的序号是256。
故答案为：256。
【点评】此题主要考查了推理论证，根据题意，分析每次取出的序号是后剩下的气球的序号，就能知道装有奖品的气球最初的序号。
【典例三】在“改革”村的黑市上，人们只要有心，总是可以把两张任意的食品票换成3张其它票券，也可以反过来交换。试问，合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票，并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？
【分析】根据“总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券，也可以反过来交换”，而“瓦夏原有100张票，最后还有100张票”，可以知道他作了多少次“两换三”，那么也就作了多少次“三换两”，即必须满足1991是的倍数，由此即可得出答案。
【解答】解：因为瓦夏原有100张票，最后还有100张票，
所以他作了多少次“两换三”，那么也就作了多少次“三换两”，
因此他一共出手了的票数一定是的倍数，
而1991不是5的倍数，
所以，不可能，
答：不可能将100张黄油票换成100张香肠票，并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券。
【点评】本题考查数字问题，需要结合具体数字问题的描述找到突破口解决问题。
一．选择题（共8小题）
1．你玩过“数字黑洞”的游戏吗？“数字黑洞”，既满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌，下面我们就来玩一种数字游戏，它可以产生“黑洞数”，操作步骤如下：第一步，任意写出一个自然数（以下称为原数）；第二步，再写一个新的三位数，它的百位数字是原数中偶数数字的个数，十位数字是原数中奇数数字的个数，个位数字是原数的位数；以下每一步，都对上一步得到的数按照第二步的规则继续操作，直至这个数不再变化为止．不管你开始写的是一个什么数，几步之后变成的自然数总是相同的，最后这个总相同的数就称为“黑洞数”．请你以2008为例尝试一下：第一部写出2008，第二步之后变为所以这个数字游戏的“黑洞数”是
A．123B．213C．303D．404
【分析】根据题意，得2008经过一步之后变为404，经过第二步后变为303，再变为123，再变为123，再变为123，即发现黑洞数是123．
【解答】解：根据题意计算可知2008经过一步之后变为404，
经过第二步后变为303，再变为123，再变为123，再变为123，
即发现黑洞数是123．
故选：．
【点评】此题主要了数字变化规律，根据已知正确理解题意，弄清偶数和奇数的概念是解题关键．
2．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是“回文数”，而220则不是“回文数”．其中第1997个“回文数”是
A．997799B．886688C．998899D．887788
【分析】由题意，我们可以根据数位来计算回文数的个数：由回文数的定义可知，一位数的回文数有：9个；二位数的回文数有：9个，22，；三位数：有90个（个位与百位相同有9种，十位有10种：；四位数：有90个（个位与千位相同有9种，十位与百位相同有10种：；五、六位数：各有900个（第一位与最后一位相同有9种，第二位与倒数第二位相同有10种，中间一位或两位有10种：．所以，．又第1998个回文数是999999，第197个是998899．
【解答】解：回文数不能以0开头，即除了首位外，其它数位都可由十个数字可供选择；
一位数的回文数有：9个；
二位数：有9个，22，；
三位数：有90个（个位与百位相同有9种，十位有10种：；
四位数：有90个（个位与千位相同有9种，十位与百位相同有10种：；
五位数：有900个（第一位与最后一位相同有9种，第二位与倒数第二位相同有10种，中间一位有10种：种）；
六位数：有900个（第一位与最后一位相同有9种，第二位与倒数第二位相同有10种，中间两位有10种：种）；
共有：．
又因为第1998个回文数是六位数的最后一个即999999，所以第1997个是：998899．
故选：．
【点评】根据回文数的定义可知，回文数的排列是有一定规律的，回文数不能以0开头，最小回文数是1．本题关键是根据回文数的定义和回文数的排列规律，按照数位来计算回文数的个数．
3．有30张分别标示号的纸牌．先将号码数为3的倍数的纸牌拿掉，然后从剩下的纸牌中，拿掉号码数为2的倍数的纸牌．如果将最后剩下的纸牌，按照号码数由小到大排列，那么第5张纸牌的号码是
A．7B．11C．13D．17
【分析】将中，2的倍数和3的倍数去掉，然后从小到大排列，找出第五个数即可．
【解答】解：根据题意，知：剩下的号码数有1，5，7，11，13，17，19，23，25，29．则第五张纸牌的号码为13．
故选：．
【点评】本题较简单，将2的倍数和3的倍数去掉，从小到大排列即可．
4．《幸运52》节目有一个单元叫做“”，其规则是由4个不同的阿拉伯数字组成的密码，5次之内全猜中即可获得一万元，已知其中有一期节目的密码上的第一个数字与第三个数字之差（大数减小数）为3，那么符合条件的密码共有 种可能．
A．1053B．832C．728D．784
【分析】根据题意，这个密码的组成可分步完成，第一步是它的第一个数字与第三个数字应有14种选择的可能；第二步是它的第二个数字与第四个数字应在剩余的8个数中任选2个进行排列；然后按计数法进行计算即可．
【解答】解：差为3的有：0与3、1与4、2与5、3与6、4与7、5与8、6与9共7组；
故选：．
【点评】此题实质上就是一道排列组合题，用排列组合方法即可解决．
5．在一列数1，2，3，，999，1000中，数字“0”出现的次数一共有 次．
A．182B．189C．192D．194
【分析】分析可得：在一列数1，2，3，4，，99中，每10个数中，出现1次数字“0”；100到999中，每100个数中，出现20次数字“0”；1000中有3个“0”；则数字“0”出现的次数一共是192次．
【解答】根据规律在1，2，3，4，，99中，出现9次，在100到999中，0共出现180次，1000中有3个“0”；
则数字“0”出现的次数一共是：次．
故选：．
【点评】本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，要求学生要有一定的解题技巧．
6．像2，33，101这样的数，正着读，反着读完全一样，我们把这样的数叫做回文数。那么在这2020个数中，回文数共有
A．108个B．110个C．119个D．128个
【分析】分情况进行讨论，当这个数是一位数、两位数、三位数、四位数进行分情况列举出来，然后根据等差数列求项数公式，分别算出每一位数有多少个，最后再把个数相加即可。
【解答】解：一位数有：1、2、3、，共9个，
两位数有：11，22，33，44，，共9个，
三位数有：101，111， 共（个
202，212， 共（个
303，313， 共（个
909，919， 共（个
一共：（个，
四位数：1001，1111，共（个
2002，共1个
一共：（个
总共：（个
答：回文数共有119个。
故选：。
【点评】此题考查数字问题。明确回文数的定义是解答此题的关键。
7．有、、的糖各一袋，还有、、的面粉各一袋，每千克糖的价格是每千克面粉的价格的2倍。某人买了其中的5袋，且买的糖的价钱和面粉的价钱一样，则剩下的那一袋重 。
A．8B．7C．6D．2
【分析】根据总价单价数量，糖的单价是面粉的2倍，但总价相同，所以，糖的质量是面粉质量的一半，再根据糖或面粉是否全部购买进行讨论即可。
【解答】解：根据总价单价数量，糖的单价是面粉的2倍，但总价相同，
所以，糖的质量是面粉质量的一半，
若5袋中，糖有三袋，
则糖的总质量：
那么面粉的总质量为：
34无法由15、8、7任意两个数相加求得，
所以，5袋中，面粉有3袋，
面粉的总质量为：
糖的总质量为：
所以，的糖被剩下。
故选：。
【点评】本题主要考查了数字问题，先找出糖和面粉总质量间的关系是本题解题的关键。
8．一种游戏，每一局胜则得6分，平则得5分，负则得零分，比赛足够多局，但无论比赛多少局，不能得到的分数共有 个。
A．5B．10C．15D．20
【分析】根据6的倍数的尾数特征及5的倍数的尾数特征进行判断即可。
【解答】解：设最终分数为，胜了局，平了局，，均为自然数，
6的倍数的尾数特征为：0、2、4、6、8，
5的倍数的尾数特征为：0、5，
的尾数为1时，需要的尾数为1或6，为奇数，最小为11，所以，1取不到，
的尾数为2时，需要的尾数为2或7，为偶数，最小为12，所以，2取不到，
的尾数为3时，需要的尾数为3或8，为奇数，最小为23，所以，3和13取不到，
的尾数为4时，需要的尾数为4或9，为偶数，最小为24，所以，4和14取不到，
的尾数为5时，需要的尾数为5或0，为奇数，最小为5，都可取到，
的尾数为6时，需要的尾数为1或6，为偶数，最小为6，都可以取到，
的尾数为7时，需要的尾数为2或7，为奇数，最小为17，所以，7取不到，
的尾数为8时，需要的尾数为3或8，为偶数，最小为18，所以，8取不到，
的尾数为9时，需要的尾数为4或9，为奇数，最小为29，所以，9和19取不到，
的尾数为0时，需要的尾数为5或0，为偶数，最小为0，所以都可以取到，
综上所述，一共有10个数字取不到。
故选：。
【点评】本题主要考查了数字问题，合理运用倍数的尾数特征来进行判断是本题解题的关键。
二．填空题（共8小题）
9．任意相邻的三个自然数，其中任意两个数的和总可以被它们的差整除．如果要找出四个互不相同且不为0的自然数，使得其中任意两个数的和总可以被它们的差整除，并且要求这四个自然数之和尽量小，那么这四个自然数分别是 2、3、4、6 ．
【分析】要使四个数中最大的数与最小的数的和尽可能小，所以这四个数都尽可能的靠近并且都尽可能的小，因为任意相邻的三个自然数，其中任意两个数的和总可以被它们的差整除，要求非零自然数，则我们可先尝试1、2、3、4，不满足，改变4也不满足，再尝试2、3、4、5不满足，将5变成6，满足，即这四个数是：2、3、4、6．
【解答】解：由题意可知，
我们可先选择最小的三个连续的自然数1，2，3，后边为4，不满足题意，改变4为其它数字同样不满足；
选择三个连续的三个自然数2，3，4，后边为5，不满足题意，将5变成6，试算满足，即这四个数是：2、3、4、6．
故答案为：2，3，4，6．
【点评】此题解答的关键是理解使得这四个数对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除，据此进行分析推理解答即可．
10．有这样的三位数，十位上的数比个位上的数大3，百位上的数比个位上的数小2，这样的三位数共有 4个 ．
【分析】完成本题要首先确定个位数的范围：由十位上的数比个位上的数大3，可知个位数，由百位上的数比个位上的数小2可知个位数，所以个位数的取值范围为：，然后据个位数分别取值3，4，5，6时进行分析即可．
【解答】解：据题意可知，位数的取值范围为：
当个位数为3时，这样的数为：163；
当个位数为4时，这样的数为：274；
当个位数为5时，这样的数为：385；
当个位数为6时，这样的数为：496．
所以这样的三位数共有4个，分别为163，274，285，496．
故填：4个．
【点评】完成本题的关键是据已知条件确定个位数的取值范围．
11．某校2009名学生按0001到2009的顺序编号，在新年联欢会上，编号为5的倍数或6人倍数的同学将得到一张贺年卡，且每人最多一张，大会共需 669 张贺年卡．
【分析】分别计算出从0001到2009之间有多少个能被5和6整除的数，然后去掉能被30整除的数，即为所求．
【解答】解：在1到2009之间能被5整除的数有：（个；
在1到2009之间能被6整除的数有：（个；
在1到2009之间能被5和6的最小公倍数整除的数有：（个；
所以在0001到2009之间编号为5的倍数或6人倍数的同学有：（人；
答：大会共需669张贺年卡．
故答案为：669．
【点评】本题在找出能被5和6整除的数的个数的基础上，利用容斥原理去掉既能被5整除又能被6整除的数，是本题的难点．
12．有500人站成一排，从左至右从1开始报数，第一次报双数的人留下，其余的人退出．留下的人再从左至右从1开始报数，第二次依然是报双数的人留下，其余的人退出．如此进行下去，最后留下的一个人最初在左起第 256 个位置．
【分析】根据题意，可知第一次后留下的人是2的倍数的号；两次后留下的人分别是4的倍数的号；三次后留下的人是8的倍数的号；四次后留下的人是16的倍数的号，经过轮后为正整数），剩下同学的编号为；由此求解．
【解答】解：经过轮后为正整数），剩下同学的编号为；
，，，
所以，
当圆圈只剩一个人时，，这个同学的编号为．
故答案为：256．
【点评】此题主要考查了数字的变化规律，解决本题的关键是根据报到奇数的同学退出进行分析，得出留下同学的编号规律．
13．有三张写有不同数字扑克牌，牌上的数都在10以内．把这三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每个人把自己牌上的数记下以后，再重新洗牌、发牌、记数．这样反复几次后，三人各自把记录的数相加，和分别是：甲 13，乙 18，丙 11．如果使这三张牌中表示的数尽可能的小，那么这三张牌上写的数各是 1 、 、 ．
【分析】是3张牌总数的倍数，，使这三张牌中表示的数尽可能的小，就从3个数的和最小是6进行求解．
【解答】解：，
3张牌和的倍数是42；
，
使这三张牌中表示的数尽可能的小，那么从3张牌的和最小是6进行讨论；
，这三张牌是1，2，3；拿了7次；
乙的数最大是18，他拿5次3，1次2和1次1，；
甲的数是13，他拿4次2，1次3和2次1，；
丙的数是11，他拿了4次1，2次2和1次3，；
和是6时符合要求，这三张牌最小是1，2，3．
故答案为：1，2，3．
【点评】先根据三人的数的和，找出可能的情况，再从三个数最小的和进行讨论求解．
14．将恰由两个不同数字组成的四位数从小到大的顺序排列起来得到1000，1001，1010，，9997，9998，那么这列数中的第200个数是 4242 ．
【分析】由1和0，首位为1有1000、1001、1010、1011、1100、1101、1110共7个，则首位为1有个，所以1，2，3开头的各63个，共个．所以1，2，3开头的各63个，共个．所以第200个为4开头的第个，自己排一下即可解决问题．
【解答】解：首位为1，由1和0组成的四位数从小到大的数有1000、1001、1010、1011、1100、1101、1110共7个，则首位为1有个；
所以1，2，3开头的各63个，共个；
，
所以考虑4开头，4、0组合开始有（1）4000、（2）4004、（3）4040、（4）4044、（5）4111、（6）4114、（7）4141、（8）4144、（9）4222、、；
所以这列数中的第200个数是4242．
【点评】解题的关键是从首位为1找到规律，进而解决问题．
15．一个千位数字是1的四位数的四个数字之和是21，这个四位数的十位数字与百位数字相同，把这个四位数的千位数字与个位数字对换，得到的新四位数比原四位数大4995原四位数是 1776 ．
【分析】本题直接计算这个数比较麻烦，根据条件可以设十位与百位上的数字为，个位上的数字为，所以这个四位数原数就是，那么新数是，根据题目中的相等关系是：新数原数，就可以列出方程．
【解答】解：设十位与百位上的数字为，个位上的数字为，则这个四位数原数就是，那么新数是，根据题意可得方程：
，
，
，
所以，
又因为：，
所以可得，
所以这个四位数原是1776．
故答案为：1776．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，分别表示出原数及新数，列出方程，再利用四个数位上数字之和即可求得这个四位数每个数位上的数字，从而解决问题．
16．将每个年份的个位、十位、百位和千位相加，所得结果称为这个年份的“幸运数”，例如，1947年的“幸运数”为，那么，从1948年到2017年这70个年份的“幸运数”之和为多少？答案： 1237 ．
【分析】根据题意，从1948年到1999年这52个年份中，千位上的数字都是1，百位上的数字都是9，从2000年到2017年这18个年份中，千位上的数字都是2，百位上的数字都是0，1948、1949这两年十位数字都是4，这10年十位数字都是5，这10年十位数字都是6，这10年十位数字都是7，这10年十位数字都是8，这10年十位数字都是9，这10年十位数字都是0，这8年十位数字都是1，在这70年中，个位数字都分别出现了7次，据此把所有数字相加即可解答．
【解答】解：
故答案为：1237．
【点评】本题主要考查数字问题，解题关键是分别找出各个数位上的数字出现的规律．
三．解答题（共8小题）
17．小小参加学校的运动会，他的运动展上的号码是个四位数，一次，同桌倒立着看小小的号码时，发现变成了另外一个四位数，比原来的号码要多7875，你知道小小的运动服上的号码是多少吗？
【分析】倒立时看仍然是数字的数字只有0，1，6，8，9；同桌倒立着看小小的号码时，这个四位数的位置反了，原来千位上的数字变成个位，百位上的数字变成十位，原来十位变成百位，原来的百位变成千位；原来的四位数倒立后增加了7875，所以倒立后应是9千多，原来是1千多，由此进行试算即可．
【解答】解：倒立时看仍然是数字的数字只有0，1，6，8，9；
倒立后比原来的号码要多7875，原来数字千位上是1，个位上是6；倒立后千位上是9，个位上是1，所以：
所以他运动服上的号码是1986．
答：小小的运动服上的号码是1986．
【点评】解决本题明确倒立时看仍然是数字的数字只有0，1，6，8，9这几个数字，然后根据差找出原来的数和倒立后数的范围，再进行试算．
18．第二关：百宝箱密码．
你能根据以下的线索找出百宝箱的密码吗？
（1）密码是一个六位数，由这六个数字组成，而且数字不重复．
（2）这个六位数是在500000与600000之间的偶数．十位上的数字是1．
（3）密码的十万位、万位、千位上数字组成的三位数除以十位、个位上数字组成的两位数，商是38．
【分析】观察题干可知，有由（1）可以确定出这个六位数是由0、1、2、3、4、5组成的；由（2）可以得出最高位是5，个位上是0、2、4中的一个；且十位上是1；由（3），可以推算：、、的乘积，找出符合题意的结果即可解答问题．
【解答】解：根据题干分析可得，这个六位数是在500000与600000之间的偶数，
所以这个六位数的最高位是5，十位上是1，
则剩下的数字是0、2、3、4，且个位上是0、2、4中的一个，
又因为十万位、万位、千位上数字组成的三位数除以十位、个位上数字组成的两位数，商是38．
因为，不符合题意；，不符合题意；，符合题意，
即个位是4，则万位上是3，千位上是2，则剩下的数字0，就是百位上的数字，
即这个数是532014．
答：这个密码是532014．
【点评】解答此题的关键是根据已知条件，依次分析得出每个数位上的数字，即可解答问题．
19．名人的生日
众所周知，名人、伟人都有不寻常的个人特性．如果你用数学算一算他们的生日，你就会发现，所有的名人和伟人的生日都具有如下的一个特点．如爱因斯坦的生日是1879年3月14日，将年月日写在一起是1879314．把这个数随意排列一下，可得到另一个数，比如：4187139．用大的数减去小的数得到一个差：．将差的各个位数相加得到一个数是，再将这个数的位数相加，其和是9．即最后得到一个最大的一位数9．按上述方法来计算数学家高斯的生日，高斯生于1867年11月7日，于是可得一个数 1867117，重新排列后的数比如是 1167781，差数为
，算其位数和可得，再算位数之和，最后得．同样，最后得到一个最大的一位数 9．所有的著名人物的生日都有这样的特点．这是成为著名人物的“必要条件”．同学们，算算你的生日够不够成为著名人物的“必要条件”呢？赶快动手算一下吧！
【分析】本题根据题目中的计算方法计算验证即可．
如我的生日是2012年11月15日，将年月日写在一起是20121115，把这个数随意排列一下，可得到另一个数：52211110，用大的数减去小的数得到一个差：，将差的各个位数相加得到一个数是：，再将这个数的位数相加，．
【解答】解：如我的生日是2012年11月15日，将年月日写在一起是20121115，
把这个数随意排列一下，可得到另一个数：52211110，
用大的数减去小的数得到一个差：，
将差的各个位数相加得到一个数是：，
再将这个数的位数相加，．
由此可知，我的生日也是成为一个“名人”的必要条件．
【点评】由此可知，一般一个人的生日按上述方法验证，都能得出这个结论．
20．一串数排成一行，头两个数都是1，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，即1，1，2，3，5，8，13，21，．在这串数的前2000个数中，共有多少个是6的倍数？
【分析】首先需要知道的是，加法对取余数运算没有影响，即 除以6得出的余数，与、两个数分别除以6得出的余数之和再除以6，得出两个余数是相等的； 然后，若存在1项除以6后余数为0，即整除，则该项以后便是重复前几项的余数； 直接从第一项开始往后数，数到第12项144能被6整除，可得数列各项除以6的余数组成的新数列，是24个数一个循环，一个循环里面有两个0，即有两个数能被整除，所以，用2000除以12看看有几个循环即可．
【解答】解：根据题意，这串数排成一行，依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、．
这串数除以6的余数排成一行，依次为：1、1、2、3、5、2、1、3、4、1、5、0、5、5、4、3、1、4、5、3、2、5、1、0、1、1、分析题干推出此数列除以6的余数组成的新数列，是24个数一个循环，一个循环里面有两个0，即有两个数能被整除，所以，用2000除以12看看有几个循环即可．
即前2000个数中，有166个数是6的倍数．
答：前2000个数中，有166个数是6的倍数．
【点评】观察数列，找出此数列的余数规律，然后运用找出的规律解决问题．
21．打铁罐。
某货堆上摆着九个铁罐，每个上面都标有一个数字，三个三个地垒在一起。比赛者每人只许打三枪，每枪只许打落一个铁罐，如果一枪打掉了两个或两个以上的铁罐，就算失败了。比赛者打掉第一个铁罐后，这个被打掉的铁罐上的数字就是他所得的分数；打掉第二个铁罐，他得到的分数就是被打掉的第二个铁罐上数字的2倍。第三个铁罐被打掉后，他得到的分数就是这个铁罐上数字的3倍。打三枪所得分数之和正好是50分，一分不多，一分不少，才能得奖。那么比赛者应该打掉哪三个铁罐？按什么顺序打？
【分析】观察题中的数字，可知，据此解答。
【解答】解：
答：先打右边一堆的7，后打左边一堆的8，再打右边一堆的9。
【点评】解答本题需熟练掌握整数四则混合运算顺序。
22．按照自然数从小到大的顺序，每四个数构成一个新数，形成下面一列数，其中只有一个九位数，这个九位数是几？
1234，5678，9101112，
【分析】根据题意，弄清楚新数的构成方法，逐一归纳出这些新数的位数，找出这个九位数即可．
【解答】解：根据题意：每四个数构成一个新数，可得前100个自然数可以构成25个这样的新数；
其中1234和5678均是四位数，9101112是一个七位数，
从13141516开始，直到93949596这21个新数均是由原来的4个位数是2的自然数构成，
所以这21个新数均是8位数；
第25个新数为979899100，它是一个九位数，其余的位数均大于9．
所以这个九位数是979899100．
答：这个九位数是979899100．
【点评】此题考查了学生对数的构成的掌握，弄清楚新数的构成方法是解答本题的关键．
23．在1、2、3、、99、100这100个数中，选取96个数，使它们的和等于5035．
（1）写出两种不同的取法，其中一组包含1，另一组不包含1．（只写选取方法，不必写出全部96个数）
（2）总共有多少种不同的取法？
（3）如果不允许取数10，是否可以做到？写出你的答案，不必写出过程．
【分析】本题先计算出的值，找出等于5035的数的情况，列举出来即可．
【解答】解：（1）包含的数中不包含2、3、4、6这4个数，剩下的数相加；
不包含的数中不包含1、2、3、9这4个数，剩下的数相加；
（2），
，．
即从1到100中选4个数，使它们的和等于15，剩下的96个数的和等于5035．
1、2、3、9
1、2、4、8
1、2、5、7
1、3、4、7
1、3、5、6
2、3、4、6
选96个数，和等于5035，共有6种选法．
（3）因为4个数相加等于15，10加任意三个数都不可能，
所以不允许取数10，做不到．
【点评】本题主要考查了学生用列举的方法解题的能力，找出结果等于5035时不能有4个数的和等于15是解题的关键．
24．有10个连续的两位数，按从小到大的顺序从左到右排成一行，其中每一个两位数的两个数字的和都能被它所排的序号整除（即序号能整除第个两位数的数字和）．那么．这10个两位数中，最大的两位数的两个数字的和是多少？
【分析】满足题意“其中每一个两位数的两个数字的和都能被它所排的序号整除”的数字有：第一组10、11、12、13、14、15、16、17、18、19，数字和分别是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，刚好和它的序号相同，相除是1；第二组19、20、21、22、23、24、25、26、27、28，数字和分别是10、2、3、4、5、6、7、8、9、10，和序号相除是10和1，而其他数字不可以，如29、38、47、56、65、74、83、92数字和是11，还有和是13、17是质数，只能被11、13和17整除，不可能被1到10的序号整除，据此得解．
【解答】解：根据分析，得到19、20、21、22、23、24、25、26、27、28，数字和分别是10、2、3、4、5、6、7、8、9、10，和序号相除是10和1，都能整除，符合题意，
答：这10个两位数中，最大的两位数的两个数字的和是10．
【点评】认真分析题意，10个连续的两位数要被1到10的10个序号整除，数字和不能超过或等于11．