（几何图形专项讲义）专题7+规则立体图形的体积-小升初数学模块化思维提升（通用版）

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、公式：
正方体：V=a3，（a表示正方体的边长）
长方体：V=abh，（a表示长方体的长，b表示长方体的宽，h表示长方体的高）
圆柱：V=πr2h，（r表示底面半径，h表示圆柱的高）
圆锥：V=πr2h，（r表示底面半径，h表示圆柱的高）
【典例一】如图是由同样大小的小方块堆积起来的，已知每个小方块棱长是，它的体积是 立方厘米．
【分析】先数出小正方体的个数，再乘1个小正方体的体积即为所求立方体的体积．
【解答】解：
答：它的体积是 12立方厘米．
故答案为：12．
【点评】此题考查了规则立体图形的体积，数出小正方体的个数，是解答此题的关键．
【典例二】如图是圆柱沿一平面切掉一块后的剩余部分，请计算它的体积．
【分析】观察图形可知，这个立体图形的体积等于底面直径为8厘米，高18厘米的圆柱体的体积与底面直径8厘米，高为厘米的半圆柱的体积，据此利用圆柱的体积公式计算即可解答．
【解答】解：
（立方厘米）
答：这个立体图形的体积是1004.8立方厘米．
【点评】此题考查不规则图形的体积的计算方法，此题关键是明确右边部分的半圆柱的体积．
【典例三】智强公司计划生产两种模型，都是圆柱体挖去一个等底等高的圆锥，尺寸如图（单位：厘米）．你认为哪种模型的实际体积大，为什么？取
【分析】要想知道哪种模型的实际体积大，先分别求出两种圆柱的体积，然后再分别减去挖去的圆锥的体积，然后比较即可．
【解答】解：
（立方厘米）；
（立方厘米）．
188.4立方厘米立方厘米．
答：第一种模型的实际体积大．
【点评】此题考查了运用圆柱体与圆锥体的体积公式解决实际问题的能力．
一、选择题
1．一个长方体被挖掉一小块（如图），下面说法正确的是（ ）。
A．体积减少，表面积增加B．体积减少，表面积不变C．体积减少，表面积也减少
【答案】A
【分析】一个长方体被挖掉一小块，凹下去图形有4个面，而原来缺失的图形是2个面，所以凹下去图形的表面积大于原来缺失的面的面积，可见组合图形的表面积增加了。一个长方体被挖掉一小块，组合体的体积是用大长方体的体积减去挖去的图形的体积即可得解，所以组合图形的体积减少了。据此解答。
【解答】根据分析得，一个长方体被挖掉一小块，组合图形的表面积增加了2个面的面积，组合图形的体积减少了，小于原来长方体的体积。
故答案为：A
【点评】从一个立体图形中挖去部分后，再观察这个立体图形的表面积和体积有什么变化，这种题有一定的难度，需要同学们仔细看图、认真分析，培养空间观察和想象能力。
2．如图，一个棱长为3厘米的正方体，在它的一个角挖掉一个棱长为1厘米的小正方体，这个正方体的（ ）。
A．体积减少，表面积增加B．体积减少，表面积减少C．体积减少，表面积不变
【答案】C
【分析】大正方体挖去一个小正方体，凹下去图形的三个面的面积刚好能补上原来缺失的三个面的面积，所以大正方体的表面积没有改变。用正方体的表面积公式求解即可。组合体的体积用大正方体的体积减去小正方体的体积即可。据此解答。
【解答】挖之前的体积：（立方厘米）
挖之后的体积：
＝27－1
＝26（立方厘米）
即这个正方体的体积减少了；
挖之前的表面积：（平方厘米）
挖之后的表面积：（平方厘米）
54＝54
即这个正方体的表面积不变。
故答案为：C
【点评】此题的解题关键是弄清立体图形切割后表面积和体积的变化情况。
3．如图，将这个容器倒过来后，水面的高度是（ ）厘米。
A．16B．12C．11D．9
【答案】C
【分析】观察图形可知，容器中水的体积＝下面的圆锥的容积＋有水部分的圆柱的容积，圆柱和圆锥的底面积相等。设圆柱和圆锥的底面积是S平方厘米，感觉圆柱的容积＝底面积×高，圆锥的容积＝底面积×高×，分别用含有字母的式子表示圆柱和圆锥的容积，继而求出水的体积。将这个容器倒过来后，水的体积不变，形状变为底面积为S的圆柱，用水的体积除以S即可求出水面的高度。
【解答】设圆柱和圆锥的底面积是S。
6S×＋（15－6）S
＝2S＋9S
＝11S（平方厘米）
11S÷S＝11（厘米）
则水面的高度是11厘米。
故答案为：C
4．茉茉用几个棱长为1厘米的小正方体木块搭一个几何体，下面是从不同方向看到的图形，这个几何体的体积是（ ）立方厘米。
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】由几何体的平面图形可以知道，几何体分为两层，第一层4个小正方体，第二层有1个小正方体，据此解答。
【解答】由分析可知，该几何体由5个小正方体组成，如下图所示：
体积：1×1×1×5＝5（立方厘米）
故答案为：B
【点评】本题考查由平面图形确定立体图形，考查学生的空间想象能力，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。
5．下图是由棱长为1分米的正方体盒子沿墙角搭成的，它的体积是（ ）。
A．8立方分米B．9立方分米C．10立方分米D．11立方分米
【答案】C
【分析】观察图形可知，该图形共有10个正方体，根据正方体的体积公式：V＝a3，据此求出1个正方体的体积，再乘正方体的个数即可。
【解答】1×1×1×10
＝1×10
＝10（立方分米）
故答案为：C
【点评】本题考查正方体的体积，明确该图形共有多少个正方体是解题的关键。
6．下面的图形中，（ ）的体积最大。
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】A．根据圆柱的体积公式V＝πr2h求解；
B．根据圆柱的体积公式V＝πr2h求解；
C．根据圆锥的体积公式V＝πr2h求解；
D．图形的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，根据圆柱和圆锥的体积公式求解；
先分别求出四个选项中各图形的体积，再比较大小，得出结论。
【解答】A．π×（2r）2×h＝4πr2h
B．π×r2×（2h）＝2πr2h
C．×π×（3r）2×h＝3πr2h
D．π×（2r）2×2h－×π×（2r）2×h
＝8πr2h－πr2h
＝πr2h
πr2h＞4πr2h＞3πr2h＞2πr2h
所以，D选项体积最大。
故答案为：D
【点评】本题考查圆柱体积、圆锥体积公式的运用以及组合体的体积求法。
7．一个大正方体木块，从顶点处挖去一个小正方体后，下列说法正确的是（ ）。
A．体积和表面积都变小B．体积变小，表面积变大
C．体积变小，表面积不变D．体积和表面积都不变
【答案】C
【分析】一个大正方体从顶点处挖去一个小正方体后，凹下去图形的三个面的面积刚好能补上原来缺失的三个面的面积，所以大正方体的表面积没有改变。从顶点处挖去一个小正方体后，组合体的体积是用大正方体的体积减去小正方体的体积，所以组合体的体积与之前大正方体的体积相比，体积变小了。
【解答】根据分析得，一个大正方体木块，从顶点处挖去一个小正方体后，表面积没有变化，组合体的表面积等于大正方体的表面积，而体积变小了，组合体的体积小于大正方体的体积。
故答案为：C
【点评】从一个立体图形中挖去部分后，再观察这个立体图形的表面积有什么变化，这种题有一定的难度，需要同学们仔细看图、认真分析，培养空间观察和想象能力。
8．下图的长方体若拿走涂色小正方体，下列说法正确的是（ ）。
A．表面积不变，体积减少B．表面积增加，体积不变
C．表面积和体积都不变D．表面积和体积都减少了
【答案】A
【分析】大长方体若拿走涂色小正方体，凹下去图形的三个面的面积刚好能补上原来缺失的三个面的面积，所以大长方体的表面积没有改变。组合体的体积用大长方体的体积减去小正方体的体积即可得解，所以组合体的体积与之前的大长方体相比，体积减少了。据此解答。
【解答】根据分析得，长方体若拿走涂色小正方体，表面积没有变化，等于原来长方体的表面积；组合体的体积等于大长方体的体积减去小正方体的体积，所以组合体的体积减少了。
故答案为：A
【点评】从一个立体图形中拿去部分后，再观察这个立体图形的表面积和体积有什么变化，这种题有一定的难度，需要同学们仔细看图、认真分析，培养空间观察和想象能力。
二、填空题
9．一个180米长的水库大坝，横断面积是一个梯形，下底15米，上底5米，高21米，这个大坝的体积是( )立方米。
【答案】37800
【分析】先根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据求出横断面积，因为大坝的体积＝底面积×高，所以再用横断面积乘水库大坝的长度，即可求出这个大坝的体积。
【解答】（5＋15）×21÷2×180
＝20×21÷2×180
＝210×180
＝37800（立方米）
【点评】此题的解题关键是灵活运用梯形的面积公式和立体图形的体积公式解决实际问题。
10．将9个棱长为1厘米的小正方体按图方式摆放在桌上，露在外面的面积是( )平方厘米，这个图形的体积是( )立方厘米。
【答案】 24 9
【分析】根据图形可知，外露的面积等于这个组合图形的表面积减去它的底面积，该组合图形，从正面、后面和上面看，都有6个小正方形，从左面和右面看，都有3个小正方形；
先算出1个小正方体的体积，组合体是由9个小正方体组成，用1个小正方体体积乘9即可。
【解答】露在外面的面积为：
1×1×6×3＋1×1×3×2
＝1×6×3＋1×3×2
＝6×3＋3×2
＝18＋6
＝24（平方厘米）
1个正方体体积是：
1×1×1
＝1×1
＝1（立方厘米）
组合体体积为：
1×9＝9（立方厘米）
【点评】本题考查了正方体体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式同时注意运算的正确性。
11．在棱长为3厘米的正方体木块的每个面的中心上打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1厘米的正方形（如图），挖洞后木块的体积是( )立方厘米。
【答案】20
【分析】所剩木块的体积是原正方体的体积减去挖去的三个洞（长方体）的体积。三个洞在正方体的正中心相交成一个棱长1cm的正方体，在减去三个洞的体积时多减了两个相交的正方体的体积。正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。
【解答】3×3×3－1×1×3×3＋1×1×1×2
＝27－9＋2
＝20（立方厘米）
挖洞后木块的体积是20立方厘米。
12．下图是由一个圆柱与一个圆锥组成（单位：厘米），这个组合图形的体积是( )立方厘米。
【答案】160.14
【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，可求得圆锥的体积； 根据圆柱的体积＝底面积×高求出圆柱的体积，再求和就是组合图形的体积。
【解答】组合图形的体积：
（立方厘米）
所以这个组合图形的体积是160.14立方厘米。
【点评】本题考查圆柱、圆锥的体积，解答本题的关键是掌握圆柱、圆锥的体积计算公式。
13．如图，四边形ABCD是一个直角梯形，以AB为轴并将这个梯形旋转一周，得到一个立体图形。它的体积是( )立方厘米。
【答案】150.72
【分析】以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周而得到的旋转体为：上部是一个底面半径为3厘米，高为6－5＝1厘米的圆锥体，下部是一个底面半径为3厘米，高为5厘米的圆柱体，由此利用圆柱与圆锥的体积公式即可解答。
【解答】
（立方厘米）
即这个立体图形的体积是150.72立方厘米。
14．如图的图形是用棱长1cm的正方体拼成的。
(1)它的体积是( )cm3。
(2)从( )面看到的图形是，从( )面看到的图形是。
【答案】(1)9
(2) 左 上
【分析】（1）正方体体积＝棱长×棱长×棱长，由此求出一个小正方体的体积。题中图形由9个小正方体组成，将一个小正方体的体积乘9，求出9个小正方体的体积；
（2）根据图形，结合空间观念和三视图，填空即可。
【解答】（1）1×1×1＝1（cm3）
1×9＝9（cm3）
所以，它的体积是9cm3。
（2）从左面看到的图形是，从上面看到的图形是。
【点评】本题考查了正方体的体积和观察物体，有一定空间观念，掌握正方体的体积公式是解题的关键。
15．下面的物体是由棱长为1厘米的小正方体搭成的，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。至少再增加( )个小正方体就能搭成一个大正方体。
【答案】 18 4 4
【分析】由图可知，这个立体图形六个面中每个面露出3个小正方形，立体图形的表面积＝每个小正方形的面积×露出小正方形的个数；求出一个小正方体的体积，立体图形的体积＝小正方体的体积×小正方体的个数；再增加4个小正方体刚好组成一个棱长为2厘米的大正方体，据此解答。
【解答】表面积：1×1×（3×6）
＝1×1×18
＝18（平方厘米）
体积：1×1×1×（1＋3）
＝1×1×1×4
＝4（立方厘米）
分析可知，至少再增加4个小正方体就能搭成一个大正方体。
【点评】本题主要考查组合体表面积和体积的计算方法，准确数出正方形的数量和小正方体的总数量是解答题目的关键。
16．如图，以梯形的上底所在直线为轴，将梯形旋转一周，得到的几何体的体积是( )。
【答案】122.46
【分析】由题图可知，旋转后的几何体相当于一个圆柱挖去一个圆锥。圆柱的底面半径等于原梯形的高，圆柱的高等于原梯形的下底，根据圆柱的体积公式“”，求出其体积；圆锥的底面半径等于原梯形的高，圆锥的高等于原梯形的下底与上底的差，根据圆锥的体积公式“”求出圆锥的体积，再用圆柱的体积减去圆锥的体积就是梯形旋转一周后得到的几何体的体积，由此解答即可。
【解答】
＝28.26×5
＝141..3（立方厘米）；
＝28.26×2÷3
＝18.84（立方厘米）；
；
【点评】解答本题的关键是明确旋转后的几何体相当于一个圆柱挖去一个圆锥；圆柱和圆锥的底面半径和高分别相当于梯形的哪一部分。
三、计算题
17．计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米）
【答案】表面积428平方厘米，体积507立方厘米
【分析】正方体表面积＝棱长×棱长×6，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，由此列式求出正方体和长方体的表面积，再相加求出表面积之和。正方体和长方体相接的部分是两个正方形，再将表面积之和减去两个正方形的面积，即可求出组合体的表面积；
正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，据此列式先分别求出正方体和长方体的体积，再相加求出组合体的体积。
【解答】表面积：
3×3×6＋（12×5＋12×8＋5×8）×2－3×3×2
＝54＋（60＋96＋40）×2－18
＝54＋196×2－18
＝54＋392－18
＝446－18
＝428（平方厘米）
体积：
3×3×3＋12×5×8
＝27＋480
＝507（立方厘米）
18．求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。
【答案】214.2立方厘米
【分析】观察图形可知，图形的体积＝圆柱的体积×＋长方体的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算即可求解。
【解答】3.14×22×10×＋6×10×2
＝3.14×4×10×＋60×2
＝94.2＋120
＝214.2（立方厘米）
图形的体积是214.2立方厘米。
四、解答题
19．麦收季节，王伯伯做了一个粮仓，形状如图。
（1）粮仓的占地面积是多少平方米？
（2）这个粮仓最多能盛多少吨粮食？（小麦：750kg/m3，墙壁厚度忽略不计）
【答案】（1）12.56平方米；（2）22608千克
【分析】1）根据圆的面积公式：S＝πr2，即可求出粮仓的占地面积是多少平方米。
（2）求出圆柱体积公式V＝Sh和圆锥的体积公式V＝13Sh，计算出各自的面积后再相加，即可求出这个粮仓的体积，用粮仓的体积乘750，即可求出最多能盛多少千克粮食。
【解答】（1）3.14×（4÷2）2
＝3.14×4
＝12.56（平方米）
答：粮仓的占地面积是12.56平方米。
（2）（12.56×1.2÷3＋12.56×2）×750
＝（5.024＋25.12）×750
＝30.144×750
＝22608（千克）
答：这个粮仓最多能盛22608千克粮食。
20．如图，一个粮仓的主体部分是近似的圆柱，顶部是近似的圆锥，高如图所示，量得底面内部周长是18.84米。
（1）这个粮仓的空间有多大？
（2）将这个粮仓装满稻谷，如果每立方米稻谷大约重0.6吨，用一辆载重10吨的卡车至少要运多少次才能把它运完？
【答案】（1）94.2立方米
（2）6次
【分析】（1）粮仓的空间＝圆柱的容积＋圆锥的容积，圆柱的容积＝底面积×高，圆锥的容积＝底面积×高÷3，据此列式解答；
（2）粮仓的容积就是稻谷的体积，稻谷体积×每立方米吨数＝稻谷总吨数；稻谷总吨数÷卡车载重，最后无论剩下多少稻谷，都得需要运一次，结果用进一法保留近似数即可。
【解答】（1）18.84÷3.14÷2＝3（米）
3.14×32×3＋3.14×32×1÷3
＝3.14×9×3＋3.14×9×1÷3
＝84.78＋9.42
＝94.2（立方米）
答：这个粮仓的空间有94.2立方米。
（2）94.2×0.6÷10
＝56.52÷10
≈6（次）
答：用一辆载重10吨的卡车至少要运6次才能把它运完。
21．为提升学生科学素养，培养学生创新思维和动手能力，学校开展了校园科技节活动。科技兴趣小组的同学手工制作了神舟飞船模型，下图是模型的一部分，它的体积是多少？
【答案】125.6立方分米
【分析】这个立体图形由一个圆锥和一个圆柱组成，已知圆锥的底面直径是4分米，高是6分米，根据圆锥体积＝13×底面积×高， 可求出圆锥的体积；已知圆柱的底面直径是4分米，高是8分米，根据圆柱体积＝底面积×高，可求出圆柱的体积，最后把两部分体积相加即可。
【解答】圆锥体积：
＝
＝
＝25.12（立方分米）
圆柱体积：
＝
＝
＝100.48（立方分米）
总体积：（立方分米）
答：它的体积是125.6立方分米。
22．雨哗哗地不停地下着。如果在雨地放一个如图1那样的长方体的容器（单位：厘米），雨水将它灌满要用1小时。雨水灌满图2、图3容器各需多长时间？
【答案】3小时、1.5小时
【分析】（1）图1只要根据容积公式“长方体的体积＝底面积×高”代入数字，然后求出容积和底面积（接水面积）的比，即可得出；
（2）图2、图3可以看做是一个长20厘米、宽10厘米、高10厘米的长方体，和棱长为10厘米的正方体。根据长方体的体积＝底面积×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长（底面积×高）；求出容积和底面积（接水面积）的比，即可得出。
【解答】图1所示的容积中，容积∶接水面积＝（30×20×10）∶（30×20）＝6000∶600＝10∶1，需1小时接满；
图2所示的容器中，容积∶接水面积＝（20×10×10＋10×10×10）∶（10×10）＝3000∶100＝30∶1，需3小时接满；
图3所示的容器中，容积∶接水面积＝（20×10×10＋10×10×10）∶（20×10）＝3000∶200＝15∶1，需1.5小时接满；
答：雨水灌满图2的容器需3小时、雨水灌满图3的容器需1.5小时。
【点评】此题考查了组合图形的体积的计算方法，这里抓住注入的时间与注入的体积成正比例的关系进行解答是解决此题的关键。
23．高铝砖是一种新型材料烧制成的建筑材料，具有耐高温的优点，经常用于高温窑炉内衬和作为装饰材料等。下面是某公司生产的一种高铝砖的样式图。这样一块高铝砖的体积是多少立方厘米？
【答案】156250立方厘米
【分析】
观察图形可知，高铝砖的体积＝长为（25＋25＋25）厘米、宽为50厘米、高50厘米的长方体的体积－长为25厘米、宽为50厘米、高为（50－25）厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。
【解答】（25＋25＋25）×50×50－（50－25）×25×50
＝75×50×50－25×25×50
＝187500－31250
＝156250（立方厘米）
答：这样一块高铝砖的体积是156250立方厘米。
24．下图是由一些小正方体积木堆成的。在这个基础上（原来的积木不动）要把它堆成一个正方体，至少需要多少块小正方体积木？（不考虑完全被遮住的小正方体）
【答案】54块
【分析】观察图形可知，图中一共有6＋4＝10个小正方体，最长的棱长是4个小正方体组成的，所以拼组后的大正方体的棱长最小由4个小正方体组成，由此利用正方体的体积公式求出所需要的小正方体的总个数，再减去图中已有的10个小正方体即可进行选择。
【解答】观察图形可知，图中一共有6＋4＝10个小正方体，拼组后的大正方体的棱长至少需要4个小正方体，所以拼组这个大正方体至少需要：
4×4×4
＝16×4
＝64（块）
64－10＝54（块）
答：至少还需要54块小正方体积木。
25．商店把同样的盒装饼干摆成3堆（如下图）。这3堆饼干的体积相等吗？为什么？
【答案】相等；原因见详解
【分析】数出三堆的饼干盒数即可解答。
【解答】这3堆饼干的体积相等。
左边堆：8盒饼干；
中间堆：8盒饼干；
右边堆：8盒饼干；
因为每盒饼干的体积一定，每堆饼干的数量相等，所以这三堆饼干的体积相等。
26．如图，从长30厘米、宽20厘米、高10厘米的大长方体中挖去一个长、宽都是8厘米，高10厘米的小长方体，你能计算出剩余部分的表面积和体积吗？
【答案】2392平方厘米；5360立方厘米
【分析】剩余部分的表面积＝大长方体表面积＋小长方体前后左右4个面的面积－小长方体上下两个面的面积；剩余部分的体积＝大长方体体积－小长方体体积。
【解答】（30×20＋30×10＋20×10）×2
＝（600＋300＋200）×2
＝1100×2
＝2200（平方厘米）
8×10×4＝320（平方厘米）
2200＋320－8×8×2
＝2520－128
＝2392（平方厘米）
30×20×10－8×8×10
＝6000－640
＝5360（立方厘米）
答：剩余部分的表面积2392平方厘米，体积5360立方厘米。
【点评】关键是认真观察剩余部分的形状，掌握长方体表面积和体积公式。
27．长方体、正方体和圆柱的体积都可以用“V＝Sh”计算。想一想，下面这个图形的体积也可以用“V＝Sh”计算吗？把你的想法写下来并求出这个图形的体积。（单位：cm）
【答案】可以用“V＝Sh”计算；144立方厘米
【分析】题干中的图形底面是一个五边形，且立体图形的高与底面垂直，与长方体、正方体、圆柱类似，可以运用底面积×高来计算体积。可将底面的五边形过左右两个顶点作线段分为一个底为6里面、高为（4－3）厘米的三角形和一个上底为4厘米、下底为6厘米、高为3厘米的梯形，根据三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，计算两者面积相加得到底面积，再乘高可得出答案。
【解答】下面的这个图形底面是五边形，且上底面和下底面完全相同，有5条高且高与底面垂直，与长方体、正方体、圆柱类似，可以用底面积×高来计算体积，即V＝Sh。
这个图形的面积为：
（立方厘米）
答：这个图形可以用“V＝Sh”计算；体积为144立方厘米。
【点评】本题主要考查的是长方体、正方体、圆柱体积计算公式推广到底面为多边形的柱体中，解题的关键是熟练掌握体积计算公式，进而将底面分割为容易计算的图形面积，计算得出答案。