（几何图形专项讲义）专题4++等积变形（位移、割补及排水问题）-小升初数学模块化思维提升（通用版）

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、等积变形（位移、割补）的主要方法：
（1）三角形内等底等高的三角形；
（2）平行线内等底等高的三角形；
（3）公共部分的传递性；
（4）极值原理（变与不变）。
2、体积的等积变形主要是用排水法，主要有以下几种情形：
（1）当物体浸没于容器中时，要根据物体的体积等于容器内下降（升高）部分水的体积这一隐含条件来解题；
（2）当物体仍有部分露于水面时，要根据水的体积未变，只是底面积变了，且体积=底面积×高这一隐含条件来解题；
（3）要使得高相等，要记得把物质的体积看做一个整体，然后根据总体积未变，只是底面积变了，且体积=底面积×高这一隐含条件来解题。
【典例一】我国古代数学家刘徽利用“出入相补”原理计算平面图形的面积，其原理是：把一个图形分割、移补，而面积保持不变。下面没有用到这个原理的是
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，我国古代数学家刘徽利用“出入相补”原理来计算平面图形的面积，根据数学常识即可完成判断。
【解答】解：观察图形可知，不是根据“出入相补”原理来推导的。
故选：。
【点评】此题重点考查数学常识“出入相补”原理的掌握情况。
【典例二】如图1、图2所示，梯形上底长3厘米，下底长6厘米，高为3厘米，为边上任意一点，求阴影部分的面积。
你认为东东的想法怎么样？写出你这样判断的理由。
【分析】三角形的面积底高，点如果不是、两点，那么点分成底在边上的两个三角形，它们的高相等，两个底的和是，所以这两个三角形的面积和就是以为底，以梯形的高为高的三角形的面积，由此判断。
【解答】解：东东的想法是正确的。
原因如下：点分成底在边上的两个三角形，如题目中的图1、图2，它们的高相等，两个底的和是。
根据三角形的面积底高可知：阴影部分两个三角形的面积和三角形的面积。
所以无论落在何处，面积都是。
【点评】本题考查了学生对于三角形面积公式的理解和掌握情况，关键是明确分成的两个三角形的高是原来梯形的高，两个底的和是原来梯形的下底。
【典例三】一个容器中已注满水，有大、中、小三个球．第一次把小球沉入水中，第二次把小球取出，把中球沉入水中，第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中，现知道每次从容器中溢出水量的情况是：第一次是第二次的，第三次是第二次的1.5倍．求三个球的体积之比．
【分析】根据题意，先设小球的体积是1，由此即可表示出每次溢出的水，再根据溢出的水与小球的关系，即可求出答案．
【解答】解：第一次溢出的水是小球的体积，假设为1，
第二次溢出的水是中球的体积小球的体积，
第三次溢出的水是大球的体积小球的体积中球的体积，
第一次是第二次的，所以中球的体积为，
第三次是第二次的1.5倍，第二次是2；
，
答：三个球的体积之比是：．
【点评】解答此题的关键是，根据题意，找出对应量，即可解答．解答此题的主要依据是：排出的水的体积就等于放入水中的物体的体积．
一．选择题（共4小题）
1．芳芳模仿我国古代数学家刘徽利用“出入相补”的原理计算平面图形的面积，如图所示，下列说法中不正确的是
A．长方形的长等于三角形高的一半
B．长方形的面积等于三角形的面积
C．长方形的宽等于三角形的底的一半
【分析】通过观察图形可知，把三角形“转化”为长方形，这个长方形的长等于三角形的高，长方形的宽等于三角形底的一半，长方形的面积等于三角形的面积；据此解答即可。
【解答】解：根据图意可得：这个长方形的长等于三角形的高；
长方形的面积等于三角形的面积；
长方形的宽等于三角形底的一半；
所以选项说法错误。
故选：。
【点评】此题考查的目的是理解掌握三角形面积公式的推导方法及应用。
2．如图，甲（底面直径8厘米），乙（底面直径10厘米），两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出）后，甲乙两个容器水面高度是
A．甲高B．乙高C．一样高D．无法判断
【分析】由题意可知，两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，即原来水面高度相同，要比较后来甲乙两个容器中的水面高度，只要比较两个圆柱形容器中上升部分水的高度即可；由于是分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出），所以两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于体积相同的铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的，又因为圆柱的体积底面积高，体积一定时则底面积与高成反比例，已知甲底面直径8厘米，乙底面直径10厘米，即甲的底面积小于乙的底面积，则甲升高的高度要大于乙升高的高度，所以后来甲容器中的水面高；据此解答．
【解答】解：由于原来水面高度相同，要比较后来甲乙两个容器中的水面高度，只要比较两个圆柱形容器中上升部分水的高度即可；
分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出），所以两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于体积相同的铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的；
又因为圆柱的体积底面积高，体积一定时则底面积与高成反比例，已知甲底面直径8厘米，乙底面直径10厘米，即甲的底面积小于乙的底面积，则甲升高的高度要大于乙升高的高度；
所以后来甲容器中的水面高；
故选：．
【点评】此题考查了体积的等积变形，关键是明确两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的．
3．如图，长方形的面积与圆的面积相等，已知阴影部分的面积是，圆的周长是 ．
A．18.84B．75.36C．37.68
【分析】求圆的周长，需要求出圆的半径；由图形可知长方形的长相当于圆的周长的一半，宽相当于圆的半径；因为已知圆的面积和长方形面积相等，又由已知阴影部分的面积是，可求长方形的面积，即可求出圆的半径，据此解答即可．
【解答】解：
；
，
．
答：圆的周长是．
故选：．
【点评】此题变相的考查圆的面积的推导过程，解答此题的关键是得出阴影部分面积是圆面积的．
4．我国古代数学家刘徽利用“出入相补”原理计算平面图形的面积，下面没有用到这个原理的是
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，我国古代数学家刘徽利用“出入相补”原理来计算平面图形的面积，根据数学常识即可完成判断。
【解答】解：没有用到这个原理求面积。
故选：。
【点评】此题重点考查数学常识“出入相补”原理的掌握情况。
二．填空题（共7小题）
5．一个长方体水箱，高15分米，里面水深6分米，把一个圆柱体铁块完全浸没在水中后，这时水面高度是9.6分米，接着又把一个圆锥体铁块完全浸没在水中．已知圆柱体铁块与圆锥体铁块底面半径的比是，高的比是，现在水面的高度是 10.4 分米．
【分析】根据题意，设圆柱的底面半径为3，高为2，则圆锥的底面半径为2，高为3，根据圆柱的体积计算公式“”、圆锥的体积计算公式“”、即可求出圆柱铁块与圆锥铁块的体积之比，再用水面升高的高度分米，除以圆柱体铁块的份数乘圆锥体铁块的份数就是此时水面上升的高度，再加上9.6分米即为现在的水面高度．
【解答】解：圆柱铁块的体积：圆锥铁块的体积
（分米）
（分米）
答：现在水面高度是10.4分米．
故答案为：10.4．
【点评】解答此题的关键是根据圆柱体积公式、圆锥体积公式及已知条件求出圆柱铁块与圆锥铁块的体积之比，再根据分析或列比例求出放入圆锥铁块后水面上升的高度．
6．我国古代数学家刘徽利用“出入相补”原理计算平面图形的面积。出入相补原理是指：把一个图形分割、移补，而面积不变。如图所示，拼成的平行四边形的面积是，底是，则三角形的面积是 12 ，高是 。
【分析】通过观察图形可知，把三角形“转化”为平行四边形，这个三角形的底等于平行四边形的底，三角形的高等于平行四边形的高的2倍；已知三角形的面积和底，求高，用“三角形的面积底”；据此解答即可。
【解答】解：拼成的平行四边形的面积是，底是，则三角形的面积是12平方厘米。
（厘米）
答：三角形的面积是，高是。
故答案为：12；4。
【点评】此题考查的目的是理解掌握三角形面积公式的推导方法及应用。
7．一级台阶的长10米、宽0.8米、高0.5米，从一楼到二楼有12级台阶，二楼到六楼每层有18级台阶，台阶的表面积 1092 平方米．
【分析】根据题意可知：每级台阶的上面是长方形，长10米，宽0.8米，高0.5米；台阶的表面积包括每级台阶的上面，而且还包括每级台阶的前面．因此先求一级台阶的面积，再乘台阶总数量即可．
【解答】解：
（级
（平方米）
答：台阶的表面积1092平方米．
故答案为：1092．
【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题．
8．如图，大正方形的边长是，小正方形的边长是，那么图中阴影部分的面积是 50 。
【分析】连接，阴影部分面积三角形面积三角形面积三角形面积；三角形的底厘米，高厘米；三角形的底厘米，高厘米；三角形底厘米，高厘米。
【解答】解：连接，阴影部分面积三角形面积三角形面积三角形面积。

（平方厘米）
故答案为：50。
【点评】本题有多种方法，本解法运用拆分的方法，把阴影分部拆分成几个部分。
9．如图，正方形的边长为，三角形的面积是，图中阴影部分的面积是 12
【分析】如图：
连接，根据等底等高的两个三角形的面积相等，可知三角形的面积等于三角形的面积，又因为三角形的面积是长方形面积的一半，三角形的面积是长方形面积的一半，所以只要计算出正方形的面积，再除以2，即可求出梯形的面积，减去三角形的面积，即可求出阴影部分的面积。
【解答】解：
（平方厘米）
答：图中阴影部分的面积是。
故答案为：12。
【点评】本题考查阴影部分面积的计算。通过等积变形的方法进行计算即可，注意计算的准确性。
10．如图，外侧大正方形的边长是10厘米，图中阴影部分的面积是27.5平方厘米，那么圆内的大正方形面积是小正方形面积的 5 倍．
【分析】把序号1的阴影面积移到2，3的移到4，5的移到6，可知总阴影部分的面积大正方形的面积四分之一圆内小正方形的面积四分之一，然后求出大正方形的面积四分之一，再用总阴影部分的面积大正方形的面积四分之一圆内小正方形的面积四分之一，进而求出圆内小正方形的面积；再求出圆内大正方形的面积，最后求出圆内的大正方形面积是小正方形面积的几倍．
【解答】解：由分析可知：总阴影部分的面积大正方形的面积四分之一圆内小正方形的面积四分之一（平方厘米），
大正方形的面积四分之一：（平方厘米），
所以圆内小正方形的面积四分之一：（平方厘米），
则圆内小正方形的面积（平方厘米），
圆内大正方形的面积：
（平方厘米），
圆内的大正方形面积是小正方形面积的：
（倍；
故答案为：5．
【点评】解答此题认真观察图形之间的关系，将图形重组，发现总阴影部分的面积大正方形的面积四分之一圆内小正方形的面积四分之一是解题的关键．
11．一个棱长是的正方体容器装满了水后，倒入一个底面积是的圆锥形容器正好装满，这个圆锥的高是 36分米 ．
【分析】倒入前后的水的体积不变，由此先利用正方体的容积公式求出水的体积，再利用圆锥的高水的体积底面积即可解答．
【解答】解：（立方分米）
（分米）
答：这个圆锥形容器的高是36分米．
故答案为：36分米．
【点评】此题考查了正方体和圆锥的体积公式的灵活应用，此题中水的体积就是正方体和圆锥的容积，抓住水的体积不变进行解答是关键．
三．解答题（共8小题）
12．桌面上有一个的长方形。
小思说：“我在数学课上学习过圆柱是可以通过长方形旋转形成。我可以用这个长方形的长和宽分别为轴，旋转形成两个圆柱。”
小丽说：“我觉得这两个圆柱的体积是相同的，因为是用同一个长方形旋转形成的。”
（1）圆柱的底面半径为 2 ，高为 ；圆柱的底面半径为 ，高为 。
（2）小丽的说法是□正确□错误）的。（在正确答案前的□内画“” 在下面的方框内用画图、文字、公式等方式说明理由。
【分析】（1）以长为轴旋转，宽为圆柱的底面半径，长为高；以宽为轴旋转，长是圆柱的底面半径，宽是高；据此解答；
（2）分别计算圆柱的体积，再画图即可。
【解答】解：（1）圆柱的底面半径为，高为；圆柱的底面半径为，高为。
（2）小丽的说法是□正确□错误的。
理由如图：
故答案为：2，4；4，2。
【点评】本题考查了圆柱体的体积公式的灵活运用。
13．我国古代伟大数学家刘徽在研究平面图形面积时提出了“以盈补虚”的思想方法，即以多余补不足，本质上是等积变换。请你观察下面两幅图，你能运用这种方法解释并推导出三角形和梯形的面积公式吗？
【分析】根据三角形、梯形面积公式的推导过程可知，都是通过“转化”，把三角形转化长方形、梯形转化为平行四边形，根据长方形和平行四边形的面积公式推导出三角形、梯形的面积公式。据此解答。
【解答】解：如图：
把三角形通过分割、移补，拼成一个长方形，这个长方形的长等于三角形的底，长方形的宽等于三角形高的一半，因为长方形的面积长宽，所以三角形的面积底高；
同理：把图形通过分割、移补，拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形上下底之和，平行四边形的高等于梯形高的一半，因为平行四边形的面积底高，所以梯形的面积（上底下底）高。
【点评】此题考查的目的是理解掌握三角形、梯形面积公式的推导过程及应用。
14．五一班的淘气和芳芳在探索梯形面积时，用了如下不同的方法：
（1）你认为淘气的方法可行吗？请说明理由。
（2）请你帮忙完成芳芳的思维过程和拓展练习。
①将图1中的梯形剪成两部分，再拼成图2，那么图2的形状是： 平行四边形 。
②用图1中的字母表示图2的底、高与面积：则图2的底是 ，高是 ，面积是 。
③如果图2阴影部分面积是，正好占它所在整个图形面积的三分之一，那么图2空白部分的面积是 。
④这学期通过平行四边形的面积计算公式，运用数学 思想还推导出了 的面积计算公式。
【分析】（1）他的方法可行。理由：淘气把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，梯形的上底和下底的和刚好是平行四边形的长，转化后的平行四边形的宽与原
来梯形的高相等，平行四边形的面积长宽，则梯形的面积（上底下底）高。
（2）①根据图示可知图1转化为图2后，图2时平行四边形。
②图2的底是图1的上底长和下底长，即，高是的一半，即，面积是底高，即。
③阴影部分正好占它所在整个图形面积的是6，已知一个数的几分之几是几，求这个数用除法计算，即计算出整个图形的面积，然后则空白部分占整个图形的，用整个图形的面积乘对应的分率即可求解；
④运用数学转化思想还推导出了三角形的面积计算公式。
据此解答。
【解答】解：（1）他的方法可行。理由：淘气把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，梯形的上底和下底的和刚好是平行四边形的长，转化后的平行四边形的宽与原来梯形的高相等，平行四边形的面积长宽，则梯形的面积（上底下底）高。
（2）①将图2的形状是：平行四边形。。
②图2的底是图1的上底长和下底长之和，即 ，高是图1高的一半，即，面积是底高，即。
③
即图2空白部分的面积是。
④这学期通过平行四边形的面积计算公式，运用数学转化思想还推导出了三角形的面积计算公式。
故答案为：①平行四边形；②，，；③；④转化，三角形。
【点评】本题考查了等积转化的应用。
15．某宾馆要在楼梯上铺一条宽的地毯（如图），地毯的总面积至少是多少？
【分析】这个地毯的长度应该是楼梯的水平长6.2米与垂直高2.8米的和，宽就是2米，根据长方形的面积公式进行解答即可．
【解答】解：，
，
（平方米）；
答：地毯的总面积至少是18平方米．
【点评】本题运用长方形的面积公式进行解答即可，注意地毯的长度的计算是本题的关键．
16．小林先用橡皮泥捏成一个底面积是，高是的圆柱（如图），然后对它进行“等积变形”。
①如果把这个圆柱捏成一个长方体，那么相关数据可能是多少？请你画出草图，并标出关键数据。
②如果把这个圆柱捏成一个圆锥，那么相关数据可能是多少？请你画出草图，并标出关键数据。
【分析】①根据圆柱的体积与长方体的体积相等，找到符合题意的长方体的长、宽、高，画图即可；
②根据圆锥的体积公式：，结合圆锥的体积等于等底等高的圆柱体积的，计算圆锥的底面半径和高，作图即可。
【解答】解：①（立方厘米）
如图：
（画法不唯一）
②底面积相等，圆锥的高是圆柱高的3倍，则体积相等。
（厘米）
如图：
（画法不唯一）
【点评】本题主要考查圆柱、圆锥、长方体体积公式的应用。
17．在底面边长为60厘米的正方形的一个长方体的容器里，直立着一个长1米，底面为正方形，边长15厘米的四棱柱铁棍．这时容器里的水半米深．现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱切棍浸湿部分长多少厘米？
【分析】根据“这时容器中的水深50厘米”，可知原来铁棍被水浸湿的部分是在50厘米处，后来将铁棍提起24厘米，就会露出浸湿的24厘米，同时将铁棍提起，水位肯定是要下降的，据此只要把水位下降的高度求出来（用长、宽都是15厘米，高是24厘米铁块的体积除以容器的底面积），进而加上提起的24厘米，即为露出水面的铁棍上被水浸湿的那部分的长度，列式解答即可．
【解答】解：水位下降的高度：
（厘米）
露出水面被水浸湿的部分：
（厘米）
答：露出水面的铁棍上被水浸湿的部分长25.6厘米．
【点评】解决此题明确露出水面的铁棍上被水浸湿的部分是由两部分组成的：水位下降高度和铁棍提起高度；关键是先求出水位下降高度是多少，进而得解．
18．在内侧棱长为20厘米的正方体容器里装满水，将容器如图倾斜放置，流出的水正好装满一个内侧长25厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体容器．求图中线段的长度．
【分析】首先根据长方体的容积公式，求出长25厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体容器的容积，它的容积等于内侧棱长为20厘米的正方体流出水的体积，如图连接，使等于，用流出水的体积的2倍除以内侧棱长为20厘米的正方体容器底面积，可求出的长度，用20减的长度即为的长度．据此解答即可．
【解答】解：如图：
（厘米）
答：线段的长度是15厘米．
【点评】此题解答关键是理解，长25厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体容器的容积等于内侧棱长为20厘米的正方体流出水的体积，再根据正方体的容积公式解答即可．
19．如图是直角三角形中有一个内接正方形，求图中阴影部分的面积．单位：厘米．提示：分拆图形时常用“分割、填补、组合、旋转”等方法．
【分析】根据题干分析可得，大直角三角形和小直角三角形是相似三角形，（三个角分别相等的三角形是相似三角形），将小三角形绕点旋转，一直角边与大三角形直角边重合，就组成了一个新直角三角形，如图所示：大小三角形的面积之和就是一个大三角形的面积即图中阴影部分的面积．
【解答】解：根据题干分析可得：
（平方厘米），
答：图中阴影部分的面积是108平方厘米．
故答案为：108平方厘米．
【点评】此题关键是将小三角形旋转与大三角形组成一个新直角三角形，从而利用三角形面积公式进行计算．小东是这样想的：为边上任意一点，不妨让点落在点处（如图3所示），这样阴影部分就是三角形，面积是。当点落在其它位置时，虽然阴影部分的形状不同，但面积应该是不会变的，仍是。