（模块化思维提升）专题11-最短线路问题-小升初数学思维拓展几何图形专项训练（通用版）

这是一份（模块化思维提升）专题11-最短线路问题-小升初数学思维拓展几何图形专项训练（通用版），共12页。

1、通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的，人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．
如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究面仅限于可展开为平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段.
2、当我们遇到的球面是不能展成一个平面的．我们用过A、B两点及地球球心O的平面及截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短路程线。
【典例一】如图，小明家到学校有3条东西向的马路和5条南北向的马路．他每天步行从家到学校（只能向东或向南走），最多有多少种不同的走法？
【解答】解：标数法如下：
答：最多有15种不同的走法．
【典例二】如图是连接城市、、的公路网，一辆汽车从地出发，经过到，可以选择不绕远路的不同路线共有几种？
【分析】由图可知，由到有6种方法，由到有7种不绕远路的方法（把绕远的路线去掉），然后根据乘法原理即可解决．
【解答】解：由到有6种方法，由到有7种不绕远路的方法，根据乘法原理可知：
由经过到有种方法．
答：选择不绕远路的不同路线共有42种．
【点评】寻找不绕远路的路线，要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复数，也不遗漏．
【典例三】如图所示，小宁从家到少年宫，如果只是向东或向北走，一共有多少种不同的路线可走？
【分析】先将路线标上数字，分别写出路线，再计数．
【解答】解：如图所示：，
路线有：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
共有7条路线．
答：一共有7种不同的路线可走．
【点评】解决本题要有顺序地写出路线，做到不重不漏．
一．选择题（共3小题）
1．观察图：从西村到东村，走 路线最近．
A．西村荒地少年宫东村B．西村体育场东村
C．西村少年宫东村
2．如图，一只小虫要从点爬到点，如果这只小虫只能向上爬或向右爬，那么，请你帮忙给它选择最短的路线，你认为最短的路线有 条．
A．1B．2C．3D．4
3．如图所示，从到需沿图中线段行走，那么由经到的最短路线有 条．
A．2B．12C．20D．40
二．填空题（共8小题）
4．一长方体长、宽、高分别为3、2、1厘米，一只小虫从一顶点出发，沿棱爬行，如果要求不走重复路线，小虫回到出发顶点所走最长路径是 厘米，最短路径是 厘米．
5．如图，三只蚂蚁分别站在同一条直线的不同点上，如果它们同时用同样的速度朝箭头所指的方向爬行， 蚂蚁最先吃到米粒，理由是 。
6．如图是小明家到学校的三条线路图，如果让你帮助小明推荐一条上学最近的路线，推荐第 条，请用数学语言说明理由： 。
7．沿着格子线（如图），从点经过点到达点，沿最短路线走，有 种不同的走法．
8．如图，在长、宽、高分别为，，的长方体上有一只蚂蚁从顶点出发，要爬到顶点，这只蚂蚁爬过的线路正好最短并经过点，则长 ．
9．一个旅游团从地出发，最后目的地是处，他们要游览图上所有的古迹．图上的数字是千米．这些旅游者要按最短的路线游览，距离是 千米．
10．如图，正方形和正方形的边长都是3厘米．一条小虫从点出发，先爬到点，然后沿箭头所指方向（经过点后不拐弯）再连续爬行2003厘米后，它离 点最近．
11．如图中、、处分别有一个篮球，东东从点去抢球，他去 处最近，能最快抢到球。
三．解答题
12．图是一个正方体纸盒。一只蚂蚁从爬到，最近的路线是什么？从爬到，最近的路线又是什么？
13．下图是一张道路图，每段路旁标注的数字表示小山羊走完这段路所需的分钟数。问：小山羊从出发走到最快需要多少分钟？
14．一个长方体的长、宽、高分别是，，，一只蚂蚁从顶点出发，沿棱爬行，如果要求不走重复路线，那么蚂蚁回到出发时的顶点时，所走的最长路径是多少厘米？
15．周末，乐乐要去找酷酷玩，从乐乐家到酷酷家有下面几条路可以走。你能说出哪条路最近，哪条路最远吗？
16．某个旅游景点的地图如图所示，其中、、、、、是6个景点，连线表示这两个景点之间有道路相连，数字表示走这段路所需要的时间（单位：分钟）。现在要从开始游览全部景点，并返回，最少需要多久？（不计算在景点逗留的时间）
17．操作题．
小明家住甲村，奶奶家住乙村．小明星期天要从家里出发北山坡打柴，又到南山坡打柴，最后送到奶奶家．小明怎样走路程最近（画图表示）．
18．如图，在街道上有、、、、五栋居民楼，为使五栋楼的居民到车站的距离之和最短，车站应立于何处？
19．西湖小区有一个由三个大小不同的等边三角形组成的绿化美化园区（如图），从地到地，走哪条路最近？走这条路和走这条路的路程一样吗？为什么？
20．“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩．聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？
21．如图：从甲地到乙地有两条线路，哪条线路近一些？
参考答案
一．选择题（共3小题）
1．【分析】从西村到东村，有三条路：，西村荒地少年宫东村；，西村体育场东村；，西村少年宫东村；
根据图易知：荒地、少年宫、西村构成一个三角形，两边之和（西村荒地的路程荒地少年宫的路程）大于第三边（西村少年宫的路程），所以的路程要比的路程近；
估测可知：西村体育场的路程与西村少年宫的路程相差不大，而体育场东村的路程比少年宫东村的路程要远的多，所以的路程要比的路程进．
【解答】解：由图可知：
从西村到东村，走“西村少年宫东村”路线最近．
故选：．
【点评】本题根据三角形两边之和大于第三边，以及估测的方法求解．
2．【答案】
【分析】动手画一画，找出走得方格的边长最少的路线就最短．
【解答】解：如图所示：
，
共有3条最短的路线，都走过3个方格的边长．
故选：．
【点评】寻找最短路线，不能走“回头路”，要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复数，也不遗漏．
3．【答案】
【分析】要使行走的路线最短，只能横向向右行走或纵向向下行走，以此为依据，从到只有2种走法；然后利用求最短路线的方法：“标数法”就可一次标出每个交叉点的走法．
【解答】解：根据分析画图如下：
所以由经到的最短路线有20条．
故选：．
二．填空题（共8小题）
4．【分析】长方形的顶点都是奇点，要将它们都变成偶点才能从一个顶点出发，回到原顶点且路线不重复，这就需要去掉4条棱．但显然不可能都去掉长度为1厘米的或去掉3条长度为1厘米的，这样它的路就断了，但可去掉两条1厘米、两条2厘米的梭，所以最长路径是（厘米），最短路径是厘米．
【解答】解：如图，长方形的顶点都是奇点，要将它们都变成偶点才能从一个顶点出发，回到原顶点且路线不重复，这就需要去掉4条棱．但显然不可能都去掉长度为1的或去掉3条长度为1厘米的．
故去掉，，，，后，可沿走．共长（厘米）
最短路径，假设从点出发，到点，再到点，再到点，然后回到点，路径最短为：
（厘米）．
故答案为：18，6．
【点评】本题通过画图来解决比较直观．
5．【答案】乙，直线外的一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
【分析】根据“垂线段最短”的性质解答。
【解答】解：如图，三只蚂蚁分别站在同一条直线的不同点上，如果它们同时用同样的速度朝箭头所指的方向爬行，乙蚂蚁最先吃到米粒，理由是直线外的一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
故答案为：乙，直线外的一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
【点评】解答本题的关键是熟练掌握“垂线段最短”的性质。
6．【答案】②，两点之间垂线段最短。
【分析】从小明家到学校有3条路，第一条路：小明家邮局学校；第二条路：小明家学校；第三条路：小明家商店学校；第一条路和第二条路组成了一个三角形，两边之和大于第三边，所以①②。第二路和第三条路组成近似三角形，同理③②。
【解答】解：根据分析可得；③②，①②
故答案为：②，两点之间垂线段最短。
【点评】本题考查了学生对三角形性质的掌握。
7．【分析】要使行走的路线最短，只能横向向右行走或纵向向上行走，以此为依据，从到只有2种走法；然后利用求最短路线的方法，列举出即可．
【解答】解：由图可知：最短路线是7个格子，
路线为：①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
从点经过点到达点，沿最短路线走，有8种不同的走法；
故答案为：8．
【点评】此题考查了排列与组合问题，解题的关键是得到从经点到只能向右或向上，注意按顺序依次数出，做到不重复不遗漏．
8．【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答，如图连接，交于点，这就是蚂蚁爬行的最短路线，
根据题干可知：分米，分米，又因为，所以，由此即可求得的长度．
【解答】解：根据展开图分析和两点之间线段最短可得：就是蚂蚁爬行的最短路线，且，
，
（分米），
答：的长为分米．故答案为：．
9．【分析】要想走的路程最短，则需要尽量不迂回走，少走弯路即可，所以路线为：，再把各段路程相加即可．
【解答】解：最短路线为：，
则总路程为：
，
（千米）．
答：这些旅游者要按最短的路线游览，距离是790千米．
故答案为：790．
【点评】解决本题的关键是找出最短路线，再计算．
10．【分析】通过分析，小虫从点出发，爬行8条边又回到点，即小虫的爬行周期为8条边，据此求出小虫连续爬行2003厘米，爬过的正方形的边数，从而求出小虫到达的位置，做出判断．
【解答】解：发现小虫爬行8条边又回到点，也就是小虫的爬行周期为8条边；
连续爬行2003厘米，共爬行正方形的边数为：（条（厘米），也就是爬行了667条边后，又往前爬行了2厘米；
那么667条边有几个周期呢？（个周期）（条边），小虫这时爬行到点后，又向前爬行了3条边，到达点；因为小虫爬行了667条边后，又往前爬行了2厘米，所以小虫应超过点2厘米，应在距离点厘米处．
综上，小虫离点最近．
故答案为：．
【点评】此题求出小虫爬过的正方形的边数和爬行周期，是解决问题的关键．
11．【答案】。
【分析】根据点到直线的距离垂线段最短判断即可。
【解答】解：根据点到直线的距离垂线段最短可得：图中、、处分别有一个篮球，东东从点去抢球，他去处最近，能最快抢到球。
故答案为：。
【点评】本题主要考查了最短线路问题，解题的关键是明确点到直线的距离垂线段最短。
三．解答题
12．【答案】
【分析】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答。
【解答】解：绿色为爬到最近的路线。
黄色为爬到最近的路线。
【点评】本题考查两点之间直线最短。
13．【答案】18分钟。
【分析】分经过左上角的点到，从经过中间的交叉点到，或从经过右下角的点到，三种情况求解。
【解答】解：从经过左上角的点到至少要：（分钟）
从经过中间的交叉点到至少要：（分钟）
从经过右下角的点到至少要：（分钟）
答：小山羊从出发走到最快需要18分钟。
14．【答案】18厘米。
【分析】要使蚂蚁所走的路径最长，应从点出发，在上面走2条长和1条宽，接下来在后面都1条高，再在下面走2条长和1条宽；最后在前面走1条高回到出发点，进而确定走的长、宽、高的条数，然后根据已知数据，列式计算，即可解答。
【解答】解：
答：所走的最长路径是18厘米。
15．【答案】第②条路最近，第①条和第③条路最远。
【分析】观察图形可得：先向下走的这条路线①的总长度是长方形的一个长与宽的和；对路线③进行平移，可得此条路线的总长度也是长方形的一个长与宽的和；再结合两点之间线段最短，可知②线路最短，本题即可解答。
【解答】解：分析可知：第②条路最近，第①条和第③条路最远。
16．【答案】240分钟。
【分析】本题是一道有关优化、万以内数的加减法的题目；由于到和到所需要的时间要比到的时间长很多，如果走不重复路线的话时间不是最短的，最短路径为。
【解答】解：根据题意分析可知，最短路径为。
（分钟）
答：最少需要240分钟。
17．【分析】根据两点之间，直线段最短，这就是一种极端情况；如图，用“对称”方法找出甲和乙，连接甲乙后交北山坡于，交南山坡于．据此解答．
【解答】解：两点之间，直线段最短，这就是一种极端情况．如图，用“对称”方法找出甲和乙，连接甲乙后交北山坡于，交南山坡于；
小明应在处打柴，在处打柴．小明应按一下线路走：甲村乙村，此时路程最近．
18．【答案】栋居民楼处。
【分析】将五栋居民楼看成5个点，因为两点之间线段最短，又因为点的个数是奇数，所以要使五栋楼的居民到车站的距离之和最短，车站应设在点。
【解答】解：将五栋居民楼看成5个点，由点于的个数是奇数，点位于五个点的中间，
所以要使五栋楼的居民车站的距离之和最短，车站应设在栋居民楼处。
19．【分析】根据两点之间线段最短可知：走最近；
依据等边三角形的特点可知：等边三角形三条边的长度相等，分别求出走这条路和走这条路的路程，再进行比较即可．
【解答】解：①根据两点之间线段最短，
答：要想从地到地，走路最近；
②走这条路的路程：（米
走这条路的路程：（米，
走这条路和走这条路的路程一样远；
答：走这条路和走这条路的路程一样，都是180米．
【点评】答此题的主要依据是：等边三角形的特点，分别求出走这条路和走这条路的路程．
20．【分析】将图中主要线段都标上符号，将最短路线写出即可．
【解答】解：如图所示：最短路线有：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
（其中后面4种走法有的需要线段结合，但是最后的和与前几个路线的和相等．
共有10条．答：从北京到黄山的最短路线共有10条．
21．【分析】如图，第一条路，就是过点的路，是由一个半径是的半圆的弧，用即3.14乘半圆的半径即可求得；第二条路，就是过点的路，它由半径是的半圆弧和半径是的半圆的弧，同理求出这两个半圆的弧再与第一条路进行比较．
【解答】解：如图，
第一条路（过点的路），
第二条路（过点的路）
，
，因此，两条路同样长；故答案为：同样长