【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练：32　平面向量基本定理及向量坐标运算（含答案）

这是一份【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练：32　平面向量基本定理及向量坐标运算（含答案），共8页。试卷主要包含了已知向量a=,b=,则a·=，故选C等内容，欢迎下载使用。
1.(2025·八省联考,4)已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a-b)=( )
A.2B.1
C.0D.-1
2.(2024·江苏苏州期中)已知D是△ABC的边BC上的点,且BC=3BD,则AD=( )
A.AB-ACB.13AB-13AC
C.23AB+13ACD.AB+AC
3.(2024·浙江温州模拟)已知平面向量a,b满足a=(-2,1),|b|=35,a与b方向相同,则b的坐标是( )
A.(3,-6)B.(6,-3)
C.(-6,3)D.(-3,6)
4.(2024·江苏南京宁海中学校考)已知非零向量e1,e2不共线,如果AB=e1+e2,AC=-3e1+7e2,AD=2e1-3e2,则四点A,B,C,D( )
A.一定共线
B.恰是空间四边形的四个顶点
C.一定共面
D.肯定不共面
5.(2025·浙江衢州模拟)三角尺主要用于几何图形的绘制和角度的测量,在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图,这是由两块直角三角尺拼出的一个几何图形,其中∠BAC= 90°,∠DBE=90°,∠BDE=30°,|AB|=|AC|,|BD|=|BC|.连接AD,若AD=xAB+yAC,则x-y=( )
A.1B.2
C.2D.32
6.(多选题)(2024·浙江嘉兴模拟)若{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底,则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是( )
A.{e1+e2,e1-e2}
B.{e1-e2,e2-e1}
C.{2e2-3e1,6e1-4e2}
D.{3e1-e2,e1-13e2}
7.(2024·山东济宁模拟)已知平面向量a=(-1,2),b=(m,-3),若a+2b与a共线,则m= .
8.已知在平面直角坐标系中,点P1(0,1),P2(2,5),当P是线段P1P2靠近P1的一个四等分点时,点P的坐标为 .
9.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC和OB的交点P的坐标是 .
10.(13分)(2024·北京期中)设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.
(1)求证:A,B,D三点共线;
(2)若BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.
综合提升练
11.(2024·广东珠海模拟)古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中,提到了蜂巢,称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构,从而储存更多的蜂蜜,提升了空间利用率,体现了动物的智慧,得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示,则AB=( )
A.-32CE+56DEB.-56CE+32DE
C.-23CE+56DED.-56CE+23DE
12.(2024·浙江台金七校联考)设O为△ABC的内心,AB=AC=13,BC=10, AO=mAB+nAC(m,n∈R),则m+n=( )
A.1336B.1318
C.518D.536
13.(2024·浙江绍兴模拟)已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=CD=1,AD=3,若BD=xBC+yBA,则x-y=( )
A.34B.1
C.54D.32
14.(2024·四川自贡期末)如图,在平面四边形ABCD中,∠CBA=∠CAD=90°,∠ACD =30°,AB=BC,点E在线段BC上满足BE=12EC,若AC=λAD+μAE(λ,μ∈R),则λμ= .
15.(2024·江西赣州模拟)在平行四边形ABCD中,点E,F分别满足DC=2DE=4EF,
BC=2BG,若AF=λAE+μAG,则λ+μ= .
16.(13分)(2024·江西南昌模拟)如图,在平行四边形ABCD中,点E是AB的中点,F,G是AD,BC的三等分点.其中AF=23AD,BG=23BC,设AB=a,AD=b.
(1)用a,b表示EF,EG;
(2)如果|a|=43|b|,用向量的方法证明:EF⊥EG.
创新应用练
17.(13分)(2024·浙江杭州模拟)在平面直角坐标系中,已知点P1(2,1),P2(22,2),…, Pn(2n,n),…,其中n是正整数.对平面上的一个点A0,记A1为A0关于点P1的对称点,A2为A1关于点P2的对称点,…,An为An-1关于点Pn的对称点,….
(1)设A0(a,b),求向量A0A2的坐标;
(2)对任意偶数n(n≥2),试问:Pn-1Pn和An-2An之间有怎样的关系;
(3)对任意偶数n(n≥2),用n表示向量A0An的坐标.
答案：
1.B 解析 ∵a=(0,1),b=(1,0),∴a-b=(-1,1),∴a·(a-b)=0×(-1)+1×1=1.故选B.
2.C 解析 因为BC=3BD,
所以AC-AB=3(AD-AB),
所以AD=23AB+13AC.
3.C 解析 因为a与b方向相同,所以设b=λa=λ(-2,1),λ>0,
又因为|b|=|λa|=|λ|(-2)2+12=|λ|×5=35,所以λ=3,所以b=3a=3(-2,1)=(-6,3).故选C.
4.C 解析 因为非零向量e1,e2不共线,所以AC+2AD=(-3e1+7e2)+2(2e1-3e2)=e1+e2=AB,由平面向量基本定理可知,四点A,B,C,D共面.
5.A 解析 如图,以A为坐标原点,AB,AC的方向分别为x轴,y轴的正方向,建立平面直角坐标系.
设AB=1,则A(0,0),B(1,0),C(0,1),故AB=(1,0),AC=(0,1).
作DF⊥AB,交线段AB的延长线于点F,由题意可知∠ABC=∠DBF=45°,
又|BD|=|BC|,所以|AB|=|BF|=1,则|BF|=|DF|=1,所以D(2,1),所以AD=(2,1).
因为AD=xAB+yAC,所以x=2,y=1,则x-y=1.故选A.
6.BCD 解析 对于A,若存在实数λ,使得e1+e2=λ(e1-e2),则1=λ,1=-λ,无解,所以e1+e2与e1-e2不共线,可以作为基底,故A不符合题意;
对于B,因为e1-e2=-(e2-e1),则e1-e2与e2-e1是共线向量,不能作为平面向量的基底,故B符合题意;
对于C,因为2e2-3e1=-12(6e1-4e2),则2e2-3e1与6e1-4e2是共线向量,不能作为平面向量的基底,故C符合题意;
对于D,因为3e1-e2=3(e1-13e2),则3e1-e2与e1-13e2是共线向量,不能作为平面向量的基底,故D符合题意.故选BCD.
7.32 解析 a=(-1,2),b=(m,-3),则a+2b=(-1+2m,-4),又(a+2b)∥a,故4=2(-1+2m),解得m=32.
8.(12,2) 解析 因为P是线段P1P2靠近P1的一个四等分点,所以P1P=14P1P2,
设P(x,y),则有(x,y-1)=14(2,4)⇒x=14×2,y-1=14×4⇒x=12,y=2⇒P(12,2).
9.(3,3) 解析 设P(x,y),则OP=(x,y),因为OB=(4,4),且OP与OB共线,所以x4=y4,即x=y.
又AP=(x-4,y),AC=(-2,6),且AP与AC共线,则得(x-4)·6-y·(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).
10.(1)证明 由已知得BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,
∵AB=2e1-8e2,∴AB=2BD.又∵AB与BD有公共点B,∴A,B,D三点共线.
(2)解 由(1)可知BD=e1-4e2,
∵BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,
∴BF=λBD(λ∈R),即3e1-ke2=λe1-4λe2,即λ=3,-k=-4λ,解得k=12.
11.B 解析 以D为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
不妨设AD=2,则A(-1,3),B(5,53),D(0,0),E(9,3),C(0,43),
故AB=(6,43),CE=(9,-33),DE=(9,3).
设AB=xCE+yDE,则6=9x+9y,43=-33x+3y,
解得x=-56,y=32,所以AB=-56CE+32DE.
12.B 解析 如图,取BC的中点E,连接AE,
因为AB=AC=13,BC=10,所以AE⊥BC,AE=132-(12×10)2=12,
所以△ABC的内心O在线段AE上,OE为△ABC的内切圆的半径.因为S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC,所以12AE·BC=12OE·(AB+AC+BC),所以12×12×10=12OE·(13+13+10),得OE=103,
所以AO=AE-OE=12-103=263,所以AO=1318AE,又AE=12(AB+AC),所以AO=1336AB+1336AC,
又AO=mAB+nAC,所以m=n=1336,所以m+n=1318.故选B.
13.B 解析 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,过点A垂直于AB的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(1,0),C(1,1),则BC=(0,1),BA=(-1,0),从而BD=xBC+yBA=x(0,1)+y(-1,0)=(-y,x).
因为AD=AB+BD=(1,0)+(-y,x)=(1-y,x),且AD=3,
所以(1-y)2+x2=3,化简得x2+y2=2+2y.
因为CD=CB+BD=(0,-1)+(-y,x)=(-y,x-1),且CD=1,所以(-y)2+(x-1)2=1,
化简得x2+y2=2x,所以2+2y=2x,即x-y=1.故选B.
14.334 解析 如图,以A为坐标原点,以直线AB为x轴,以过点A垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.不妨设AB=BC=2,则有A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(2,23),AC=22,又∠ACD=30°,所以AD=ACtan 30°=263.
过点D作DF垂直x轴于点F,易知∠DAF=45°,则DF=263sin 45°=263×22=233,
所以D(-233,233).则AC=(2,2),AD=(-233,233),AE=(2,23).
因为AC=λAD+μAE,所以(2,2)=λ(-233,233)+μ(2,23),
所以-233λ+2μ=2,233λ+23μ=2,解得λ=32,μ=32,
则λμ的值为334.
15.76 解析 以{AB,AD}为基底向量,则可得AF=AD+DF=34AB+AD,AE=AD+DE=12AB+AD,AG=AB+BG=AB+12AD.因为AF=λAE+μAG,即AF=λAE+μAG=λ(12AB+AD)+μ(AB+12AD)=(12λ+μ)AB+(λ+12μ)AD,可得12λ+μ=34,λ+12μ=1,两式相加得32(λ+μ)=74,可得λ+μ=76.
16.(1)解 由题意得EF=AF-AE=23AD-12AB=-12a+23b,EG=EB+BG=12AB+23BC=12a+23b.
(2)证明 由(1)得EF·EG=(-12a+23b)·(12a+23b)=-14a2+49b2=-14×(43|b|)2+49b2=0,所以EF⊥EG.
17.解 (1)依题意可得A1(4-a,2-b),A2(4+a,2+b),又A0(a,b),所以A0A2=(4,2).
(2)设An-2(xn-2,yn-2),An-1(xn-1,yn-1),An(xn,yn),
则根据题意可得xn-2+xn-1=2n,yn-2+yn-1=2(n-1)和xn-1+xn=2n+1,yn-1+yn=2n,
作差得xn-xn-2=2n,yn-yn-2=2,即An-2An=(xn-xn-2,yn-yn-2)=(2n,2).而Pn-1Pn=(2n-1,1),所以An-2An=2Pn-1Pn.
(3)由(2)可得对任意偶数n(n≥2),有An-2An=(2n,2),
所以A0A2=(22,2),A2A4=(24,2),A4A6=(26,2),…,An-2An=(2n,2),
累加得A0An=(22,2)+(24,2)+(26,2)+…+(2n,2)=(4(1-4n2)1-4,2×n2)=(2n+2-43,n),
故A0An=(2n+2-43,n),n=2k,k∈N*.