【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练： 67　离散型随机变量及其分布列、数字特征（含答案）

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(1)取两次,求恰好一红一白的概率;
(2)取两次,记取到白球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列及均值;
(3)在第2次取出的球是红球的条件下,求第1次取出的球是白球的概率.
2.(15分)(2024·浙江名校协作体模拟)甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛,约定赛制如下:每场比赛赢者积2分,输者积0分;比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的赢者与轮空者进行下一场比赛,输者下一场轮空;积分首先累计到4分者获得比赛胜利,比赛结束.已知甲与乙比赛时,甲赢的概率为p1,甲与丙比赛时,甲赢的概率为p2,乙与丙比赛时,乙赢的概率为p3.
(1)若p1=p2=p3=0.5,求比赛结束时,三人总积分X的分布列与期望;
(2)若p1+p3>1,假设乙获得了指定首次比赛选手的权利,为获得比赛的胜利,试分析乙的最优指定策略.
3.(17分)(2024·浙江温州模拟)在坐标平面内0≤x≤n,0≤y≤n(n≥1)的区域,随机生成一个横、纵坐标均为整数的一个整点P(a,b)(a,b∈Z),记该点到坐标原点的距离是随机变量X.
(1)当n=2时,写出X的分布列和期望.
(2)记随机变量a与b分别表示P(a,b)的横、纵坐标.
①求出a+b的期望E(a+b);
②现在实际上选取了四个点P1(3,4),P2(6,7),P3(2,5),P4(1,3).尝试运用样本的平均值去估计数学期望,以此来得到估计值n^(结果精确到1).
(3)记方差D(X),试证明D(X)P(B).
故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局.
3.解 (1)整点有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),故X的取值为0,1,2,2,5,22,则分布列为
所以E(X)=23+23+259.
(2)①P(a=i)=P(b=i)=1n+1(i=0,1,2,…,n),所以E(a+b)=E(a)+E(b)=1n+1×(0+1+2+…+n)×2=n.
②a1+b1=7,a2+b2=13,a3+b3=7,a4+b4=4,所以平均数是7.75.
所以取E(a+b)=n=7.75,所以n^=8.
(3)先求E(X2)=∑i,j=1ni2+j2(n+1)2=2n3+3n2+n3n2+6n+3