【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练：16　导数概念及其意义、导数运算（含答案）

这是一份【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练：16　导数概念及其意义、导数运算（含答案），共7页。试卷主要包含了下列求导运算错误的是，已知直线l与曲线C1，设直线l为曲线C等内容，欢迎下载使用。
1.(2024·江苏南通期末)已知函数f(x)=x2,则limΔx→0f(2+Δx)-f(2)Δx=( )
A.1B.2
C.4D.6
2.(2024·浙江绍兴二模)曲线f(x)=x+aln x在点(1,1)处的切线与直线y=2x平行,则a=( )
A.1B.2
C.-1D.-2
3.(2024·河南郑州期中)已知f(x)=3f'(1)x-x2+ln x+1,则f(1)=( )
A.12B.52
C.32D.0
4.(2025·安徽开学考试)已知直线y=ax与曲线f(x)=ln(x+b)相切于点(0,f(0)),则a+b的值为( )
A.1B.2
C.3D.4
5.(多选题)(2024·浙江嘉兴模拟)下列求导运算错误的是( )
A.若f(x)=cs x,则f'(x)=-sin x
B.若f(x)=e-2x+1,则f'(x)=e-2x+1
C.若f(x)=xex,则f'(x)=1-xex
D.若f(x)=xln x,则f'(x)=1x
6.(多选题)(2024·浙江绍兴模拟)已知函数f(x)=sin x+sin(1-x),f'(x)为f(x)的导函数,则下列结论正确的是( )
A.f(-x)=f(1+x)
B.f(x)+f(π+x)=0
C.f'(12)=f(12)
D.f'(x)=f(x+π2)
7.(2024·广东广州模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=x3-xf'(2),则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 .
8.已知直线l与曲线C1:y=x2和C2:y=-1x均相切,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 .
9.(2025·浙江开学考试)曲线f(x)=ex在x=0处的切线恰好是曲线g(x)=ln(x+a)的切线,则实数a= .
10.(15分)设直线l为曲线C:y=lnxx在点(1,0)处的切线.
(1)求直线l的方程;
(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方.
综合提升练
11.(2024·江西上饶模拟)函数f(x)的图象如图所示,下列数值排序正确的是( )
A.f'(1)>f'(2)>f'(3)>0
B.f'(1)0)与曲线y=-x2+nx-6(x>0)的公切线,则( )
A.m=-2
B.m=-1
C.n=6
D.n=7
13.(多选题)(2024·辽宁沈阳模拟)下列四条曲线中,直线y=2x与其相切的有( )
A.y=2ex-2
B.y=2sin x
C.y=3x+1x
D.y=x3-x-2
14.(2024·湖南长沙联考)过点(2,0)作曲线f(x)=xex的两条切线,切点分别为(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),则x1+x2=( )
A.-2B.-2
C.2D.2
15.(2024·河南新乡模拟)在曲线y=2x3-1x的所有切线中,与直线y=7x+6平行的共有( )
A.4条B.3条
C.2条D.1条
16.(2025·浙江桐乡模拟)过点(-1,0)作曲线y=x3-x的切线,则切线的方程为 .
17.(15分)已知f(x)=f'(1)x2-x+2ln x.
(1)求f'(1)并写出f(x)的表达式;
(2)记g(x)=12(f(x)+x2+x)+a,若曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线也是曲线g(x)的切线,求a的值.
创新应用练
18.(2024·广东佛山期中)经过曲线y=7x3-x与y=-x3-5x+3的公共点,且与曲线f(x)=ex+1和g(x)=ex+1的公切线l垂直的直线方程为( )
A.8x+8y+7=0
B.8x+8y-7=0
C.8x-8y+1=0
D.8x-8y-1=0
19.(多选题)(2024·浙江Z20名校联盟模拟)曲线的法线定义:过曲线上的点,且垂直于该点处切线的直线即为该点处的法线.已知点P(4,4)是抛物线C:x2=2py(p>0)上的点,F是C的焦点,点P处的切线l1与y轴交于点T,点P处的法线l2与x轴交于点A,与y轴交于点G,与C交于另一点B,点M是PG的中点,则以下结论正确的是( )
A.点T的坐标是(0,-2)
B.l2的方程是x+2y-12=0
C.|TG|2=|PA|·|PB|
D.过点M的C的法线(包括l2)共有两条
答案：
1.C 解析 由题意limΔx→0f(2+Δx)-f(2)Δx=f'(2),因为f(x)=x2,所以f'(x)=2x,即f'(2)=4.故选C.
2.A 解析 f'(x)=1+ax,则f'(1)=1+a,因为曲线f(x)在点(1,1)处的切线与直线y=2x平行,所以f'(1)=1+a=2,解得a=1.
3.C 解析 因为f(x)=3f'(1)x-x2+ln x+1,则f'(x)=3f'(1)-2x+1x,所以f'(1)=3f'(1)-2+1,解得f'(1)=12,所以f(1)=3f'(1)-1+1=32.故选C.
4.B 解析 由题意,直线y=ax与曲线f(x)=ln(x+b)相切于点(0,f(0)),即切点为(0,0),所以ln b=0,解得b=1,所以f(x)=ln(x+1),则f'(x)=1x+1,可得f'(0)=1,即切线的斜率为1,所以a=1,所以a+b=2.故选B.
5.BD 解析 对于A,f'(x)=(cs x)'=-sin x,故A正确;对于B,f'(x)=e-2x+1·(-2x+1)'=-2e-2x+1,故B错误;对于C,f'(x)=ex(1-x)e2x=1-xex,故C正确;对于D,f'(x)=ln x+x·1x=ln x+1,故D错误.故选BD.
6.ABD 解析 由已知得f'(x)=cs x-cs(1-x),f(-x)=sin(-x)+sin(1+x)=f(1+x),故A正确:
f(x)+f(π+x)=sin x+sin(1-x)+sin(π+x)+sin(1-π-x)=sin x+sin(1-x)-sin x-sin(1-x)=0,故B正确;
f'(12)=cs12-cs12=0,而f(12)=2sin12≠0,所以f'(12)=f(12)不成立,故C错误;
f'(x)=cs x-cs(1-x)=sin(x+π2)+sin(1-x-π2)=f(x+π2),故D正确.故选ABD.
7.6x-y-16=0 解析 对函数f(x)=x3-xf'(2),求导可得f'(x)=3x2-f'(2),得f'(2)=3×22-f'(2),因而切线的斜率k=f'(2)=6,又f(2)=23-2×f'(2)=8-12=-4,可得切线方程为y+4=6(x-2),即6x-y-16=0.
8.2 解析 由已知得函数y=x2与y=-1x的导函数分别为y'=2x,y'=1x2.设C1,C2上的切点分别为(x1,y1),(x2,y2),则有y1-y2x1-x2=2x1=1x22=x12+1x2x1-x2,解得x1=2,y1=4,x2=12,y2=-2,故l:y=4x-4,l与坐标轴的交点分别为(1,0),(0,-4),则围成的三角形的面积为12×1×4=2.
9.2 解析 对于f(x)=ex,易知f'(x)=ex,曲线f(x)=ex在x=0处的切线斜率为k=e0=1,切点为(0,1),则曲线f(x)=ex在x=0处的切线方程为y=x+1,显然g'(x)=1x+a,设直线y=x+1与曲线g(x)=ln(x+a)相切的切点为(x0,ln(x0+a)),由1x0+a=1,ln(x0+a)=x0+1,解得x0=-1,a=2.
10.(1)解 设f(x)=lnxx,则f'(x)=1-lnxx2,所以f'(1)=1,所以直线l的方程为y=x-1.
(2)证明 令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线l的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).
g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f'(x)=x2-1+lnxx2.
当00,故g(x)单调递增.
所以g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).
所以除切点之外,曲线C在直线l下方.
11.D 解析 作曲线在点(1,f(1)),(2,f(2)),(3,f(3))处的切线(图略),记其斜率依次为k1,k2,k3,结合图象可得0>k1>k2>k3,由导数的几何意义可得k1=f'(1),k2=f'(2),k3=f'(3),所以0>f'(1)>f'(2)>f'(3).故选D.
12.AD 解析 设直线y=3x+m与曲线y=x3(x>0)相切于点(a,a3),与曲线y=-x2+nx-6(x>0)相切于点(b,3b+m),对于函数y=x3(x>0),y'=3x2,则3a2=3(a>0),解得a=1.所以13=3+m,即m=-2.对于函数y=-x2+nx-6(x>0),y'=-2x+n,则-2b+n=3(b>0),又-b2+nb-6=3b-2,所以-b2+b(3+2b)-6=3b-2,又b>0,所以b=2,n=7.
13.ABD 解析 直线y=2x的斜率为k=2.
A选项中,y'=2ex,令2ex=2,得x=0,当x=0时,y=0,因为点(0,0)在直线y=2x上,所以直线y=2x与曲线y=2ex-2相切;B选项中,y'=2cs x,令2cs x=2,得x=2kπ(k∈Z),当x=2kπ时,y=0,因为点(0,0)在直线y=2x上,所以直线y=2x与曲线y=2sin x相切;C选项中,y'=3-1x2,令3-1x2=2,得x=±1,当x=1时,y=4,当x=-1时,y=-4,因为(1,4),(-1,-4)都不在直线y=2x上,所以直线y=2x与曲线y=3x+1x不相切;D选项中,y'=3x2-1=2,得x=±1,当x=1时,y=-2,当x=-1时,y=-2,其中(-1,-2)在直线y=2x上,所以直线y=2x与曲线y=x3-x-2相切.故选ABD.
14.D 解析 由题意得f'(x)=(x+1)ex,过点(2,0)作曲线f(x)=xex的两条切线,设切点坐标为(x0,x0ex0),则(x0+1)ex0=x0ex0x0-2,即(x02-2x0-2)ex0=0,由于ex0>0,故x02-2x0-2=0,Δ=12>0,由题意可知x1,x2为x02-2x0-2=0的两个实数解,故x1+x2=2,故选D.
15.B 解析 由y'=6x2+1x2,令6x2+1x2=7,得x=±1或x=±66.当x=1时,切点为(1,1),不在直线y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合,满足题意;当x=-1时,切点为(-1,-1),在直线y=7x+6上,切线与直线y=7x+6重合,舍去;当x=66时,切点为(66,-17618),不在直线y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合,满足题意;当x=-66时,切点为(-66,17618),不在直线y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合,满足题意.故在曲线y=2x3-1x的所有切线中,与直线y=7x+6平行的共有3条,故选B.
16.2x-y+2=0或x+4y+1=0 解析 由y=x3-x,得y'=3x2-1.设切点坐标为(x0,x03-x0),则切线斜率为3x02-1,切线方程为y-(x03-x0)=(3x02-1)(x-x0),代入点(-1,0),得2x03+3x02-1=0,即(x0+1)2(2x0-1)=0,解得x0=-1或x0=12.当x0=-1时,切线方程为2x-y+2=0;当x0=12时,切线方程为x+4y+1=0.
17.解 (1)由f(x)=f'(1)x2-x+2ln x,求导可得f'(x)=2f'(1)x-1+2x,由f'(1)=2f'(1)-1+2,解得f'(1)=-1,则f(x)=-x2-x+2ln x.
(2)g(x)=12(f(x)+x2+x)+a=ln x+a,求导可得g'(x)=1x,由y=ex+2x,得y'=ex+2,故曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线斜率k=e0+2=3,所以曲线y=ex+2x在(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),化简可得y=3x+1,令g'(x)=1x=3,解得x=13,将其代入切线方程y=3x+1可得y=2,代入g(x)得g(13)=ln13+a,所以ln13+a=2,解得a=2+ln 3.
18.B 解析 由y=7x3-x,y=-x3-5x+3,消去y整理得8x3+4x-3=0.
令F(x)=8x3+4x-3,则F'(x)=24x2+4>0,所以F(x)=8x3+4x-3在R上单调递增,又F(12)=8×(12)3+4×12-3=0,所以方程组y=7x3-x,y=-x3-5x+3的解为x=12,y=38,即曲线y=7x3-x与y=-x3-5x+3的公共点的坐标为(12,38).
设直线l与曲线f(x)=ex+1和曲线g(x)=ex+1分别相切于(x1,ex1+1),(x2,ex2+1),而f'(x)=ex,g'(x)=ex+1,所以f'(x1)=ex1,g'(x2)=ex2+1,所以ex1=ex2+1,ex2+1-ex1-1x2-x1=ex1,解得x1=0,x2=-1,
所以f'(0)=e0=1,即公切线l的斜率为1,故与l垂直的直线的斜率为-1,所以所求直线方程为y-38=-(x-12),整理得8x+8y-7=0.故选B.
19.BCD 解析 对于A,将点P(4,4)代入x2=2py,得p=2,则y=x24,y'=x2,当x=4时,y'=2,
故l1的方程为y-4=2(x-4),令x=0,则y=-4,所以点T的坐标是(0,-4),故A错误;
对于B,因为l1⊥l2,所以l2的方程为y-4=-12(x-4),整理得x+2y-12=0,故B正确;
对于C,易得l2与x轴的交点A的坐标为(12,0),与y轴的交点G的坐标为(0,6),联立x+2y-12=0,x2=4y,解得x=-6,y=9或x=4,y=4.
与C的另一个交点B的坐标为(-6,9),
则|TG|2=100,|PA|=45,|PB|=55,∴|TG|2=|PA|·|PB|,故C正确;
对于D,易得点M的坐标为(2,5),设点Q(x0,y0)为抛物线上一点,当点Q是原点时,Q处的法线为y轴,显然不过点M,当点Q不是原点时,则Q处的法线方程为y-y0=-2x0(x-x0),将点M(2,5)代入得,5-y0=-2x0(2-x0),又x02=4y0,则x03-12x0-16=0,∴(x0-4)(x0+2)2=0,故x0=4或x0=-2,∴过点M的C的法线(包括l2)共有两条,故D正确.
故选BCD.