【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练： 65　随机事件的概率与古典概型（含答案）

这是一份【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练： 65　随机事件的概率与古典概型（含答案），共7页。试卷主要包含了已知随机变量X的分布列如表，4B等内容，欢迎下载使用。
1.(2024·北京顺义模拟)已知随机变量X的分布列如表:(其中a为常数)
则P(1≤X≤3)等于( )
A.0.4B.0.5
C.0.6D.0.7
2.向上抛掷一枚质地均匀的骰子两次,用(a,b)表示向上的点数,事件A=“两次点数之和小于10”,事件B=“两次点数之和能被5整除”,则事件A∩B可表示为( )
A.{(5,5)}
B.{(4,6),(5,5)}
C.{(6,5),(5,5)}
D.{(4,6),(6,4),(5,5)}
3.从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球,那么互斥不对立的事件是( )
A.“恰有一个黄球”与“恰有一个蓝球”
B.“至少有一个黄球”与“都是黄球”
C.“至少有一个黄球”与“都是蓝球”
D.“至少有一个黄球”与“至少有一个蓝球”
4.(2024·江西吉安模拟)已知事件A,B是互斥事件,P(A)=16,P(B)=23,则P(A∪B)=( )
A.118B.49
C.12D.23
5.(2022·全国甲,文6)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A.15B.13
C.25D.23
6.(多选题)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)一个袋子中有4个红球,6个绿球,采用不放回方式从中依次随机取出2个球.事件A=“两次取到的球颜色相同”;事件B=“第二次取到红球”;事件C=“第一次取到红球”.下列说法正确的是( )
A.A⊆B
B.事件B与事件C是互斥事件
C.P(AB)=215
D.P(B+C)=23
7.(2022·全国乙,文14)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为 .
8.(2024·山东枣庄一模)盒子内装有编号为1,2,3,…,10的10个除编号外完全相同的玻璃球.从中任取三球,则其编号之和能被3整除的概率为 .
9.(13分)(2024·湖南岳阳模拟)甲、乙两人准备参加某电视台举办的地理知识抢答赛.比赛规则为:每轮比赛每人随机在题库中抽取一道题作答,答对得1分,答错或不答得0分,最后得分多的获胜.为了在比赛中取得比较好的成绩,甲、乙两人在比赛前进行了针对性训练,训练后的答题情况如下表:
若比赛中每个人回答正确与否相互之间没有影响,且用频率代替概率.
(1)估计甲、乙两人在比赛时答对题的概率;
(2)设事件A=“某轮比赛中甲得1分或乙得1分”,求P(A).
10.(15分)某学校共有学生2 000名,各年级男、女生人数如下表:
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到八年级女生的概率为0.19.
(1)求x的值;
(2)已知y≥245,z≥245,求九年级中女生比男生少的概率;
(3)已知z=218,在全校学生中随机抽取一名学生,则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少?
综合提升练
11.(2024·河北保定二模)已知圆周率π=3.141 592…,把圆周率通过四舍五入精确到0.1n(n=1,2,3,4,5)的近似值分别记为a1,a2,a3,a4,a5,若从a1,a2,a3,a4,a5中任取2个数ai,aj(1≤iaj的概率为( )
A.110B.15
C.310D.25
12.(2024·安徽马鞍山三模)甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务,每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位,每个岗位至少有一名志愿者,则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为( )
A.320B.950
C.625D.1225
13.(多选题)某品牌计算机售后保修期为1年,其维修记录资料经统计可以得到如下结论,这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%,需要维修2次的占6%,需要维修3次的占4%.设Ak=“一年内需要维修k次”,k=0,1,2,3,则下列事件的概率正确的是( )
A.在一年内需要维修的概率为0.25
B.在一年内不需要维修的概率为0.75
C.在一年内维修不超过1次的概率为0.9
D.在一年内最多需要维修2次的概率为0.94
14.(2024·浙江宁波模拟)设A,B是一个随机试验中的两个事件,记A,B为事件A,B的对立事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.3,P(AB+AB)=0.5,则P(AB)= .
创新应用练
15.(多选题)设m,n∈{-2,-1,0,1,2,3},曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法不正确的是( )
A.曲线C表示双曲线的概率为15
B.曲线C表示椭圆的概率为16
C.曲线C表示圆的概率为110
D.曲线C表示两条直线的概率为15
16.(2025·浙江杭州模拟)“四进制”是一种以4为基数的计数系统,使用数字0,1,2,3来表示数值.四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方(从0开始),然后将所有乘积相加.例如:四进制数013转换为十进制数为0×42+1×41+3×40=7;四进制数0033转换为十进制数为0×43+0×42+3×41+3×40=15;四进制数1230转换为十进制数为1×43+2×42+3×41+0×40=108.现将所有由1,2,3组成的4位(如:1231,3211)四进制数转化为十进制数,在这些十进制数中任取一个,则这个数能被3整除的概率为 .
答案：
1.B 解析 根据分布列概率和为1,可得0.2+0.1+a+0.3+0.2+0.1=1,则a=0.1,P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.1+0.1+0.3=0.5.
2.D 解析 由已知得,事件A={(5,5),(6,6),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5)},事件B={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(5,5),(4,6),(6,4)},所以事件A∩B={(4,6),(6,4),(5,5)}.
3.A 解析 从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球,不同的取球情况共有以下4种:
①3个球全是黄球;②2个黄球和1个蓝球;③1个黄球和2个蓝球;④3个球全是蓝球.
A选项,两个事件可以同时不发生,是互斥不对立的事件,故A正确;B选项,当①发生时,两个事件同时发生,不是互斥事件,故B错误;C选项,“至少有一个黄球”是情况①②③,“都是蓝球”是情况④,必然有其中之一发生,是对立事件,故C错误;D选项,当②或③发生时,两个事件同时发生,不是互斥事件,故D错误.
4.C 解析 P(B)=1-P(B)=13,
∵事件A,B是互斥事件,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=16+13=12.
5.C 解析 从6张卡片中无放回随机抽取2张,所有可能的结果是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种,其中数字之积是4的倍数的结果是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)共6种,故所求概率为615=25,故选C.
6.CD 解析 若两次取到绿球,则事件A发生,事件B不发生,故A⊈B,故A错误;事件B与事件C可能同时发生,故B错误;
事件AB=“两次都取到红球”,P(AB)=4×310×9=215,故C正确;事件B+C包含的取球颜色为{(红,红),(绿,红),(红,绿)},P(B+C)=4×3+6×4×210×9=23,故D正确.故选CD.
7.310 解析 设除甲、乙外,其余三名同学为A,B,C.从甲、乙等5名同学中随机选3名,则所有的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),(甲,A,B),(甲,B,C),(甲,A,C),(乙,A,B),(乙,B,C),(乙,A,C),(A,B,C),共10个.甲、乙都入选的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),有3个.由古典概型公式计算,得甲、乙都入选的概率为310.
8.720 解析 依题意,问题相当于从1,2,3,…,10的10个数中任取3个,这3个数的和能被3整除的概率,显然试验的样本空间Ω含有的样本点总数为n(Ω)=C103=120,它们等可能.10个数中能整除3的有3,6,9;除以3余数是1的有1,4,7,10;除以3余数是2的有2,5,8.
设事件A=“取出的3个数的和能被3整除”,则n(A)=2C33+C43+C31C31C41=42,
所以P(A)=n(A)n(Ω)=42120=720.
9.解 (1)由题意,可以估计甲在比赛时答对题的概率为p1=120-24120=45,乙在比赛时答对题的概率为p2=120-20120=56.
(2)设事件B=“某轮比赛中甲得1分”,事件C=“某轮比赛中乙得1分”,
由(1)知P(B)=p1=45,P(C)=p2=56,
则事件A=BC∪BC∪BC,
所以P(A)=P(BC)+P(BC)+P(BC)=P(B)P(C)+P(B)P(C)+P(B)P(C)=45×16+15×56+45×56=2930.
(或P(A)=1-P(B C)=1-15×16=2930)
10.解 (1)∵x2 000=0.19,∴x=380.
(2)设事件A=“九年级女生比男生少”,九年级女生数、男生数记为(y,z),
由(1)知x=380,∴y+z=2 000-(373+377+380+370)=500,y,z∈N.
试验的样本空间Ω={(245,255),(246,254),(247,253),…,(255,245)},共11个样本点,
A={(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251)},共5个样本点.
∴P(A)=n(A)n(Ω)=511.
(3)设B=“抽到女生”,C=“抽到九年级学生”,由(2)知y+z=500,又z=218,∴y=282,∴全校女生共有373+380+282=1 035(名),
则有P(B)=1 0352 000=207400,P(C)=5002 000=14,P(B∩C)=2822 000=1411 000.
∴该学生是女生或九年级学生的概率为P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(B∩C)=207400+14-1411 000=1 2532 000.
11.C 解析 由题意可得a1=3.1,a2=3.14,a3=3.142,a4=3.141 6,a5=3.141 59,试验的样本空间为Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5)},共10个样本点,设事件A=“ai>aj”,则A={(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5)},共3个样本点,所以所求概率为n(A)n(Ω)=310.
12.C 解析 若人数配比为3∶1∶1时,则有C53A33=60(种)不同安排方法;若人数配比为2∶2∶1时,则有C51C31C42=90(种)不同安排方法;所以共有60+90=150(种)不同安排方法.
若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为3∶1∶1时,则有C31A33=18(种)不同安排方法;
若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为2∶2∶1时,则有C32A33=18(种)不同安排方法,所以共有18+18=36(种)不同安排方法.所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为P=36150=625.
13.ABC 解析 依题意得P(A1)=0.15,P(A2)=0.06,P(A3)=0.04,且A0,A1,A2,A3两两互斥,由题可知Ω=A0∪A1∪A2∪A3,所以P(A0)=1-[P(A1)+P(A2)+P(A3)]=0.75.
记事件A=“一年内需要维修”,则A=A1∪A2∪A3,所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.15+0.06+0.04=0.25,故A正确;
记事件B=“一年内不需要维修”,则B=A0,所以P(B)=P(A0)=0.75,故B正确;
记事件C=“在一年内维修不超过1次”,则C=A0∪A1,所以P(C)=P(A0)+P(A1)=0.75+0.15=0.9,故C正确;
记事件D=“一年内最多需要维修2次”,则D=A3,所以P(D)=1-P(D)=1-P(A3)=1-0.04=0.96,故D错误.
故选ABC.
14.0.3 解析 由题意得P(B)=1-P(B)=0.7,AB,AB为互斥事件,即AB∩AB=⌀,所以P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=0.5,又P(B)=P(AB)+P(AB)=0.7,P(A)=P(AB)+P(AB)=0.6,所以2P(AB)+P(AB)+P(AB)=1.3,所以P(AB)=0.4,则P(AB)=P(B)-P(AB)=0.7-0.4=0.3.
15.ACD 解析 对于A,当mn0,n0,n>0,m≠n时,曲线C表示椭圆,所以有A32=6种,所以曲线C表示椭圆的概率为6C61C61=16,故B正确;
对于C,当m=n>0时,曲线C表示圆,有3种情况,所以曲线C表示圆的概率为3C61C61=112,故C不正确;
对于D,当m=0,n>0或m>0,n=0时,曲线C表示两条直线,当m=0,n>0时,有3种情况,当m>0,n=0时,有3种情况,共6种情况,所以曲线C表示两条直线的概率为6C61C61=16,故D不正确.
故选ACD.
16.13 解析 设a,b,c,d∈{1,2,3},则4位四进制数abcd转换为十进制数为a×43+b×42+c×4+d=a×(1+3)3+b×(1+3)2+c×(1+3)+d=a(C30+C31·3+C32·32+C33·33)+b(C20+C21·3+C22·32)+3c+c+d=a(C31·3+C32·32+C33·33)+b(C21·3+C22·32)+3c+a+b+c+d,若这个数能被3整除,则a+b+c+d能被3整除.
当这个四进制数由1,2,3,3组成时,有A42=12(个);当这个四进制数由1,1,2,2组成时,有C42=6(个);这个四进制数由1,1,1,3组成时,有C41=4(个);这个四进制数由2,2,2,3组成时,有C41=4(个);这个四进制数都由3组成时,有1个.
因为由1,2,3组成的4位四进制数共有34=81(个),所以能被3整除的概率P=12+6+4+4+181=13.X
0
1
2
3
4
5
P
0.2
0.1
a
0.3
0.2
0.1
选手
练习题目个数
答错个数
甲
120
24
乙
120
20
性别
七年级
八年级
九年级
女
373
x
y
男
377
370
z