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53离散型随机变量的分布列及数字特征 专项训练—2024届艺术班高考数学一轮复习（文字版 含答案）
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则E(5X＋4)等于( )
A．15 B．11
C．2．2 D．2．3
解析：选A ∵E(X)＝1×0．4＋2×0．3＋4×0．3＝2．2，
∴E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2．2＋4＝15．
2．(2023·杭州期中)随机变量X的分布列为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝n))＝eq \f(a,n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＝1，2，3，4))，其中a是常数，则P(12A．eq \f(55,68) B．eq \f(55,136)
C．eq \f(4,5)D．eq \f(5,6)
解析：选A 因为P(X＝n)＝eq \f(a,（n＋2）)(n＝1，2，3，4)，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝1))＝eq \f(a,1×3)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝2))＝eq \f(a,2×4)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝3))＝eq \f(a,3×5)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝4))＝eq \f(a,4×6)，
则eq \f(a,1×3)＋eq \f(a,2×4)＋eq \f(a,3×5)＋eq \f(a,4×6)＝1，解得a＝eq \f(30,17)，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝1))＝eq \f(10,17)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝2))＝eq \f(15,68)，
所以P(12＝eq \f(10,17)＋eq \f(15,68)＝eq \f(55,68)．
故选：A．
3．一射手对靶射击，直到命中或子弹打完为止，每次命中的概率为0．6，现有4发子弹，则停止射击后剩余子弹数目的均值为( )
A．2．44B．3．376
C．2．376 D．2．4
解析：选C X＝k表示停止射击后剩余子弹的数目，
P(X＝3)＝0．6，
P(X＝2)＝0．4×0．6，
P(X＝1)＝0．42×0．6，
P(X＝0)＝0．43×(0．6＋0．4)，
∴E(X)＝3×0．6＋2×0．4×0．6＋1×0．42×0．6＝2．376．故选C．
4．签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为( )
A．5B．5．25
C．5．8 D．4．6
解析：选B 由题意可知，X可以为3，4，5，6，P(X＝3)＝eq \f(1,Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,20)，P(X＝4)＝eq \f(Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(3,20)，P(X＝5)＝eq \f(Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(3,10)，P(X＝6)＝eq \f(Ceq \\al(2,5),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,2)．由数学期望的定义可求得E(X)＝3×eq \f(1,20)＋4×eq \f(3,20)＋5×eq \f(3,10)＋6×eq \f(1,2)＝5．25．
5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为eq \f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为eq \f(1,3)，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为( )
A．eq \f(241,81) B．eq \f(266,81)
C．eq \f(274,81)D．eq \f(670,243)
解析：选B 依题意，知X的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为(23)2＋(13)2＝eq \f(5,9)．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(X＝2)＝eq \f(5,9)，P(X＝4)＝eq \f(4,9)×eq \f(5,9)＝eq \f(20,81)，P(X＝6)＝(49)2＝eq \f(16,81)，故E(X)＝2×eq \f(5,9)＋4×eq \f(20,81)＋6×eq \f(16,81)＝eq \f(266,81)．
6．(2023·河北统考)2022年7月24日14时22分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭成功发射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,3)；B通过初赛、复赛的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X元，则X的数学期望为( )
A．300元 B．eq \f(1000,3)元
C．350元D．eq \f(2000,3)元
解析：选B 由题知X的所有可能取值为150，250，350，450，
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝150))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,18)，
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝250))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(5,18)，
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝350))＝2×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9)，
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝450))＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，
所以数学期望Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X))＝150×eq \f(1,18)＋250×eq \f(5,18)＋350×eq \f(4,9)＋450×eq \f(2,9)＝eq \f(1000,3)(元)．故选：B．
7．(2023·烟台二模)口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为X，则D(X)＝( )
A．eq \f(2,9) B．eq \f(4,9)
C．eq \f(2,27)D．eq \f(8,3)
解析：选A 由题意，X可能取值为2，3，
X＝2包含事件为取出的两个球为1，2，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝2))＝eq \f(1,Ceq \\al(2,3))＝eq \f(1,3)．
X＝3包含事件为取出的两个球为1，3或2，3，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝3))＝eq \f(2,Ceq \\al(2,3))＝eq \f(2,3)．
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X))＝2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3)，
D(X)＝22×eq \f(1,3)＋32×eq \f(2,3)－(83)2＝eq \f(2,9)．故选：A．
8．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X，则E(X)为( )
A．1B．1．5
C．2 D．2．5
解析：选B X可取0，1，2，3，P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(3,6),Ceq \\al(3,6)·Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,20)，P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,6)·Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(3,6)·Ceq \\al(3,6))＝eq \f(9,20)，P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,6)·Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(3,6)·Ceq \\al(3,6))＝eq \f(9,20)，P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,6),Ceq \\al(3,6)·Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,20)，故E(X)＝0×eq \f(1,20)＋1×eq \f(9,20)＋2×eq \f(9,20)＋3×eq \f(1,20)＝1．5．
9．(2023·西安测试)已知离散型随机变量X的分布列为
若Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X))<1．6，则正整数a＝______．
解析：由0．2＋0．4＋b＝1，得b＝0．4，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X))＝0×0．2＋2×0．4＋a×0．4<1．6，则a＜2，
所以正整数a＝1．
答案：1
10．(2023·滨州期中)已知两个离散型随机变量ξ，η，满足η＝3ξ＋1，ξ的分布列如下：
当Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ))＝eq \f(2,3)时，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(η))＝________．
解析：由题意可知：a＋b＋eq \f(1,6)＝1，且
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ))＝b＋eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，解得a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,3)，
所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ))＝eq \f(1,2)×(23)2＋eq \f(1,3)×(1−23)2＋eq \f(1,6)×(2−23)2＝eq \f(5,9)，所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(η))＝Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3ξ＋1))＝9Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ))＝9×eq \f(5,9)＝5．
答案：5
11．(2023·重庆南开中学模拟)某电视台招聘节目主持人，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为eq \f(2,3)，乙笔试部分每环节通过的概率依次为eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，乙面试部分每个环节通过的概率依次为eq \f(3,4)，eq \f(2,3)．若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该电视台的节目主持人．甲、乙两人通过各个环节相互独立．
(1)求乙能参与面试的概率；
(2)记甲本次应聘通过的环节数为X，求X的分布列以及数学期望．
解：(1)若乙笔试部分三个环节全部通过或通过两个，则能参与面试，
故乙能参与面试的概率P＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,2)．
(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，5，
P(X＝0)＝(13)3＝eq \f(1,27)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)×(13)2×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)×(23)2×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,27)，
P(X＝3)＝(23)3×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋Ceq \\al(2,3)×(23)2×eq \f(1,3)×(13×12+23×12)＝eq \f(22,81)，
P(X＝4)＝(23)3×(13×12+23×12)＋Ceq \\al(2,3)×(23)2×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(8,27)，
P(X＝5)＝(23)3×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(8,81)．
则X的分布列为
故E(X)＝0×eq \f(1,27)＋1×eq \f(2,9)＋2×eq \f(2,27)＋3×eq \f(22,81)＋4×eq \f(8,27)＋5×eq \f(8,81)＝eq \f(232,81)．
12．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如下表：
(1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A，(100－x)万元投资项目B，f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值．
解：(1)根据题意，知Y1和Y2的分布列分别如下表：
从而E(Y1)＝5×0．8＋10×0．2＝6，
D(Y1)＝(5－6)2×0．8＋(10－6)2×0．2＝4，
E(Y2)＝2×0．2＋8×0．5＋12×0．3＝8，
D(Y2)＝(2－8)2×0．2＋(8－8)2×0．5＋(12－8)2×0．3＝12．
(2)f(x)＝D(x100Y1)＋D(100−x100Y2)
＝(X100)2·D(Y1)＋eq \f(100－x,100)2D(Y2)
＝eq \f(4,1002)[x2＋3(100－x)2]
＝eq \f(1,2500)(4x2－600x＋30000)．
当x＝eq \f(600,2×4)＝75时，f(x)取得最小值3．X
1
2
4
P
0．4
0．3
0．3
X
0
2
a
P
0．2
0．4
b
ξ
0
1
2
P
a
b
eq \f(1,6)
X
0
1
2
3
4
5
P
eq \f(1,27)
eq \f(2,9)
eq \f(2,27)
eq \f(22,81)
eq \f(8,27)
eq \f(8,81)
X1
5%
10%
P
0．8
0．2
X2
2%
8%
12%
P
0．2
0．5
0．3
Y1
5
10
P
0．8
0．2
Y2
2
8
12
P
0．2
0．5
0．3
则E(5X＋4)等于( )
A．15 B．11
C．2．2 D．2．3
解析：选A ∵E(X)＝1×0．4＋2×0．3＋4×0．3＝2．2，
∴E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2．2＋4＝15．
2．(2023·杭州期中)随机变量X的分布列为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝n))＝eq \f(a,n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＝1，2，3，4))，其中a是常数，则P(12
C．eq \f(4,5)D．eq \f(5,6)
解析：选A 因为P(X＝n)＝eq \f(a,（n＋2）)(n＝1，2，3，4)，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝1))＝eq \f(a,1×3)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝2))＝eq \f(a,2×4)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝3))＝eq \f(a,3×5)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝4))＝eq \f(a,4×6)，
则eq \f(a,1×3)＋eq \f(a,2×4)＋eq \f(a,3×5)＋eq \f(a,4×6)＝1，解得a＝eq \f(30,17)，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝1))＝eq \f(10,17)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝2))＝eq \f(15,68)，
所以P(12
故选：A．
3．一射手对靶射击，直到命中或子弹打完为止，每次命中的概率为0．6，现有4发子弹，则停止射击后剩余子弹数目的均值为( )
A．2．44B．3．376
C．2．376 D．2．4
解析：选C X＝k表示停止射击后剩余子弹的数目，
P(X＝3)＝0．6，
P(X＝2)＝0．4×0．6，
P(X＝1)＝0．42×0．6，
P(X＝0)＝0．43×(0．6＋0．4)，
∴E(X)＝3×0．6＋2×0．4×0．6＋1×0．42×0．6＝2．376．故选C．
4．签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为( )
A．5B．5．25
C．5．8 D．4．6
解析：选B 由题意可知，X可以为3，4，5，6，P(X＝3)＝eq \f(1,Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,20)，P(X＝4)＝eq \f(Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(3,20)，P(X＝5)＝eq \f(Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(3,10)，P(X＝6)＝eq \f(Ceq \\al(2,5),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,2)．由数学期望的定义可求得E(X)＝3×eq \f(1,20)＋4×eq \f(3,20)＋5×eq \f(3,10)＋6×eq \f(1,2)＝5．25．
5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为eq \f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为eq \f(1,3)，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为( )
A．eq \f(241,81) B．eq \f(266,81)
C．eq \f(274,81)D．eq \f(670,243)
解析：选B 依题意，知X的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为(23)2＋(13)2＝eq \f(5,9)．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(X＝2)＝eq \f(5,9)，P(X＝4)＝eq \f(4,9)×eq \f(5,9)＝eq \f(20,81)，P(X＝6)＝(49)2＝eq \f(16,81)，故E(X)＝2×eq \f(5,9)＋4×eq \f(20,81)＋6×eq \f(16,81)＝eq \f(266,81)．
6．(2023·河北统考)2022年7月24日14时22分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭成功发射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,3)；B通过初赛、复赛的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X元，则X的数学期望为( )
A．300元 B．eq \f(1000,3)元
C．350元D．eq \f(2000,3)元
解析：选B 由题知X的所有可能取值为150，250，350，450，
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝150))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,18)，
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝250))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(5,18)，
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝350))＝2×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9)，
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝450))＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，
所以数学期望Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X))＝150×eq \f(1,18)＋250×eq \f(5,18)＋350×eq \f(4,9)＋450×eq \f(2,9)＝eq \f(1000,3)(元)．故选：B．
7．(2023·烟台二模)口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为X，则D(X)＝( )
A．eq \f(2,9) B．eq \f(4,9)
C．eq \f(2,27)D．eq \f(8,3)
解析：选A 由题意，X可能取值为2，3，
X＝2包含事件为取出的两个球为1，2，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝2))＝eq \f(1,Ceq \\al(2,3))＝eq \f(1,3)．
X＝3包含事件为取出的两个球为1，3或2，3，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝3))＝eq \f(2,Ceq \\al(2,3))＝eq \f(2,3)．
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X))＝2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3)，
D(X)＝22×eq \f(1,3)＋32×eq \f(2,3)－(83)2＝eq \f(2,9)．故选：A．
8．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X，则E(X)为( )
A．1B．1．5
C．2 D．2．5
解析：选B X可取0，1，2，3，P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(3,6),Ceq \\al(3,6)·Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,20)，P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,6)·Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(3,6)·Ceq \\al(3,6))＝eq \f(9,20)，P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,6)·Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(3,6)·Ceq \\al(3,6))＝eq \f(9,20)，P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,6),Ceq \\al(3,6)·Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,20)，故E(X)＝0×eq \f(1,20)＋1×eq \f(9,20)＋2×eq \f(9,20)＋3×eq \f(1,20)＝1．5．
9．(2023·西安测试)已知离散型随机变量X的分布列为
若Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X))<1．6，则正整数a＝______．
解析：由0．2＋0．4＋b＝1，得b＝0．4，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X))＝0×0．2＋2×0．4＋a×0．4<1．6，则a＜2，
所以正整数a＝1．
答案：1
10．(2023·滨州期中)已知两个离散型随机变量ξ，η，满足η＝3ξ＋1，ξ的分布列如下：
当Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ))＝eq \f(2,3)时，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(η))＝________．
解析：由题意可知：a＋b＋eq \f(1,6)＝1，且
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ))＝b＋eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，解得a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,3)，
所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ))＝eq \f(1,2)×(23)2＋eq \f(1,3)×(1−23)2＋eq \f(1,6)×(2−23)2＝eq \f(5,9)，所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(η))＝Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3ξ＋1))＝9Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ))＝9×eq \f(5,9)＝5．
答案：5
11．(2023·重庆南开中学模拟)某电视台招聘节目主持人，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为eq \f(2,3)，乙笔试部分每环节通过的概率依次为eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，乙面试部分每个环节通过的概率依次为eq \f(3,4)，eq \f(2,3)．若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该电视台的节目主持人．甲、乙两人通过各个环节相互独立．
(1)求乙能参与面试的概率；
(2)记甲本次应聘通过的环节数为X，求X的分布列以及数学期望．
解：(1)若乙笔试部分三个环节全部通过或通过两个，则能参与面试，
故乙能参与面试的概率P＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,2)．
(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，5，
P(X＝0)＝(13)3＝eq \f(1,27)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)×(13)2×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)×(23)2×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,27)，
P(X＝3)＝(23)3×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋Ceq \\al(2,3)×(23)2×eq \f(1,3)×(13×12+23×12)＝eq \f(22,81)，
P(X＝4)＝(23)3×(13×12+23×12)＋Ceq \\al(2,3)×(23)2×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(8,27)，
P(X＝5)＝(23)3×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(8,81)．
则X的分布列为
故E(X)＝0×eq \f(1,27)＋1×eq \f(2,9)＋2×eq \f(2,27)＋3×eq \f(22,81)＋4×eq \f(8,27)＋5×eq \f(8,81)＝eq \f(232,81)．
12．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如下表：
(1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A，(100－x)万元投资项目B，f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值．
解：(1)根据题意，知Y1和Y2的分布列分别如下表：
从而E(Y1)＝5×0．8＋10×0．2＝6，
D(Y1)＝(5－6)2×0．8＋(10－6)2×0．2＝4，
E(Y2)＝2×0．2＋8×0．5＋12×0．3＝8，
D(Y2)＝(2－8)2×0．2＋(8－8)2×0．5＋(12－8)2×0．3＝12．
(2)f(x)＝D(x100Y1)＋D(100−x100Y2)
＝(X100)2·D(Y1)＋eq \f(100－x,100)2D(Y2)
＝eq \f(4,1002)[x2＋3(100－x)2]
＝eq \f(1,2500)(4x2－600x＋30000)．
当x＝eq \f(600,2×4)＝75时，f(x)取得最小值3．X
1
2
4
P
0．4
0．3
0．3
X
0
2
a
P
0．2
0．4
b
ξ
0
1
2
P
a
b
eq \f(1,6)
X
0
1
2
3
4
5
P
eq \f(1,27)
eq \f(2,9)
eq \f(2,27)
eq \f(22,81)
eq \f(8,27)
eq \f(8,81)
X1
5%
10%
P
0．8
0．2
X2
2%
8%
12%
P
0．2
0．5
0．3
Y1
5
10
P
0．8
0．2
Y2
2
8
12
P
0．2
0．5
0．3
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