【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练： 68　二项分布、超几何分布、正态分布（含答案）

这是一份【浙江专用】2026年高考数学一轮复习课时训练： 68　二项分布、超几何分布、正态分布（含答案），共5页。试卷主要包含了已知随机变量X~N,且P=0，2B等内容，欢迎下载使用。
A.0.2B.0.3
C.0.7D.0.8
2.(15分)(2024·浙江绍兴模拟)临近新年,某水果店购入A,B,C三种水果,数量分别是36箱、27箱、18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱,进行质量检查.
(1)A,B,C三种水果各应抽多少箱?
(2)若抽出的9箱水果中,有5箱质量上乘,4箱质量一般,现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.
①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数,求随机变量X的分布列和数学期望;
②设事件A=“抽取的4箱水果中,既有质量上乘的,也有质量一般的水果”,求事件A发生的概率.
3.(15分)(2024·四川成都二模)某省举办了一次高三年级化学模拟考试(满分100分),其中甲市有20 000名学生参加.根据经验,本次模拟考试该省总体成绩及各市成绩都近似服从正态分布N(μ,σ2).
(1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分,87分以上共有455人.甲市学生A的成绩为76分,试估计学生A在甲市的大致名次;
(2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取40人,记Y表示在本次化学考试中成绩在[μ-3σ,μ+3σ]之外的人数,求P(Y≥1)及Y的数学期望.
参考数据:0.997 340≈0.897 5.
参考公式:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
4.(15分)(2024·浙江安吉模拟)为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况,在该地区随机选取了10所学校进行研究,得到如下数据:
(1)从这10所学校中随机选取1所,已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40,求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率;
(2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所,设“基地学校”的个数为X,求X的分布列和数学期望;
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营,对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训,并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定:在一轮测试中,这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”,则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中,某同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为35,每个动作互不影响,每轮测试也互不影响.如果该同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次,那么至少要进行多少轮测试?(结果不要求证明)
5.(15分)(2024·浙江宁波模拟)某次高三数学测试中选择题有单选和多选两种题型组成.单选题每题有A,B,C,D四个选项,有且仅有一个选项正确,选对得5分,选错得0分,多选题每题有A,B,C,D四个选项,有两个或三个选项正确,全部选对得5分,部分选对得2分,有错误选择或不选择得0分.
(1)若小明对其中5道单选题完全没有答题思路,只能随机选择一个选项作答,每题选到正确选项的概率均为14,且每题的解答相互独立,记小明在这5道单选题中答对的题数为随机变量X.
①求P(X=3);
②求使得P(X=k)取最大值时的整数k.
(2)若小明在解答最后一道多选题时,除发现A,C选项不能同时选择外,没有答题思路,只能随机选择若干选项作答.已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为12,问:小明应如何作答才能使该题得分的期望最大(写出小明得分的最大期望及作答方式).
答案：
1.C 解析 由题意可知其均值为3,2和4关于3对称,
所以P(X≤2)=P(X≥4)=0.3,
因此P(X>2)=1-P(X≤2)=0.7.
2.解 (1)由题意知,3636+27+18×9=4,2736+27+18×9=3,1836+27+18×9=2,
所以A,B,C三种水果各应抽4箱、3箱、2箱.
(2)①由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=C54C94=5126,
P(X=1)=C53·C41C94=40126=2063,
P(X=2)=C52·C42C94=60126=1021,
P(X=3)=C51·C43C94=20126=1063,
P(X=4)=C44C94=1126,
所以随机变量X的分布列为
所以随机变量X的期望为E(X)=0×5126+1×2063+2×1021+3×1063+4×1126=169.
②由题意可知,A=“抽取的4箱水果中,都是质量上乘的,或都是质量一般的水果”,
所以P(A)=1-P(A)=1-P(X=0)-P(X=4)=1-5126-1126=2021.
3.解 (1)用X表示本次模拟考试甲市成绩,由题可知X近似服从正态分布,即X~N(μ,σ2).
因为甲市平均成绩为65分,所以N=65.
因为45520 000=0.022 75,
所以P(X>87)=0.022 75.又P(X>μ+2σ)=1-P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)2≈1-0.954 52=0.022 75,
所以μ+2σ=65+2σ≈87,即σ≈11,
所以X~N(65,112),
所以μ+σ=65+11=76,
所以P(X>76)=1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)2≈1-0.682 72=0.158 65.
因为甲市学生A在该次考试中成绩为76分,所以甲市成绩高于学生A的学生人数约为20 000×P(X>76)=20 000×0.158 65=3 173,所以学生A在甲市的大致名次为3 174名.
(2)由题可知该省成绩近似服从正态分布,所以在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取1人,其成绩在[μ-3σ,μ+3σ]之内的概率约为0.997 3,所以其成绩在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率约为0.002 7.
由题可知随机变量Y服从二项分布,即Y~B(40,0.002 7),
所以P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0.997 340≈1-0.897 5=0.102 5,
E(Y)=40×0.002 7=0.108.
4.解 (1)由题设可得如下数据:
设M=“学校参与‘自由式滑雪’人数超过40”,N=“该校参与‘单板滑雪’超过30人”,则P(M)=410=25,而P(MN)=210,故P(N|M)=12.故已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40,该校参与“单板滑雪”超过30人的概率为12.
(2)参与“自由式滑雪”人数在40以上的学校共4所,X的所有可能取值为0,1,2,
所以P(X=0)=C40·C62C102=13,P(X=1)=C41·C61C102=815,P(X=2)=C42·C60C102=215,
所以X的分布列为
所以E(X)=1×815+2×215=45.
(3)记事件Q=“该同学在一轮测试中获得‘优秀’”,则P(Q)=C32(35)2×(1-35)+C33(35)3=81125,
由题意,甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布B(n,81125),
由题意列式81125n≥8,得n≥1 00081,因为n∈N*,所以n的最小值为13,故至少要进行13轮测试.
5.解 (1)①因为X~B(5,14),
所以P(X=3)=C53(14)3(34)2=45512.
②因为P(X=k)=C5k(14)k(34)5-k,k=0,1,…,5,
P(X=k+1)P(X=k)=C5k+114k+1(34) 4-kC5k(14) k(34) 5-k=13·5-kk+1=13(-1+6k+1).
令P(X=k+1)P(X=k)≥1,解得k≤12,所以当k=1时,P(X=k)最大,此时P(X=1)=4051 024.
(2)由题知,A,C选项不能同时选择,故小明可以选择单选、双选和三选.
正确答案是两选项的可能情况为AB,AD,BC,BD,CD,每种情况出现的概率均为12×15=110.
正确答案是三选项的可能情况为ABD,BCD,每种情况出现的概率为12×12=14.
若小明做出的决策是单选,则E(A)=E(C)=2×110×2+14×2=910,
E(B)=E(D)=3×110×2+12×2=85;
若小明做出的决策是双选,则E(AB)=E(AD)=E(BC)=E(CD)=110×5+14×2=1,E(BD)=110×5+12×2=32;
若小明做出的决策是三选,则E(ABD)=E(BCD)=14×5=54.
经比较,小明选择单选B或单选D的得分期望最大,最大值为85分.X
0
1
2
3
4
P
5126
2063
1021
1063
1126
活动项目
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
自由式滑雪
27
15
43
41
32
26
56
36
49
20
单板滑雪
46
52
26
37
58
18
25
48
32
30
X
0
1
2
P
13
815
215