上海市上海中学2024-2025学年高一下学期4月期中测试数学试题（B卷）（原卷版+解析版）

这是一份上海市上海中学2024-2025学年高一下学期4月期中测试数学试题（B卷）（原卷版+解析版），共23页。
考生注意：
1．带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具.
2．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟
3．请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分
一．填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1. 1小时内秒针转过了______．（用弧度制表示）
2 已知，则___________
3. 函数的图象的一部分如图所示，则的初相为______．
4. 函数的图象的对称中心的坐标是___________.
5. 已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是_____.
6. 已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是________．
7. 已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为________．
8. 已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是_______.
9. 设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______.
10. 定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为________．
11. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则________．
12. 设集合有______个真子集．
二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）
13. 函数的最大值为（ ）
A 1B. C. 2D. 3
14. 已知函数，则函数的部分图象可以为（ ）
A. B. C. D.
15. 在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（ ）
①；
②；
③；
④.
A. 1B. 2C. 3D. 4
16. 已知函数，给出下列结论：
①是周期函数； ②在区间上是增函数；
③若，则； ④函数在区间上有且仅有1个零点．
则上述结论中正确的序号为（ ）
A. ①B. ①③C. ①②③D. ②③④
三．解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）
17. 记的内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求外接圆面积的最小值．
18. 幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数.
（1）求f（x）的表达式；
（2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t取值范围.
19. 如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，．
（1）求索道的长；
（2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？
20 已知函数
（1）求函数的最小正周期
（2）当时，求函数的最大值和最小值
（3）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围
21. 已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数.
（1）分别判断和是否为“”函数；
（2）若函数是“”函数，求取值范围；
（3）若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：.
2024~2025学年上海市上海中学高一下学期期中测试卷（B卷）
数学试卷
（考试时间120分钟 满分150分）
考生注意：
1．带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具.
2．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟
3．请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分
一．填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1. 1小时内秒针转过了______．（用弧度制表示）
【答案】
【解析】
【分析】利用任意角的定义结合弧度制的性质求解即可.
【详解】因为1小时内分针转过了，所以1小时内秒针转过了.
故答案为：
2. 已知，则___________
【答案】##
【解析】
【分析】由，根据二倍角公式即可求解.
【详解】由，所以
，
故答案为：.
3. 函数的图象的一部分如图所示，则的初相为______．
【答案】##
【解析】
【分析】由图象利用“五点法”求出函数的解析式，从而可求出初相.
【详解】由图可知，
周期，所以，所以，
因为点在函数图象上，
所以，所以，
所以，
因，所以，
所以，
所以初相为，
故答案为：
4. 函数的图象的对称中心的坐标是___________.
【答案】，
【解析】
【分析】方法一：根据正弦函数的性质，利用图象变换方法；方法二：根据正弦函数的性质，利用整体代入方法求解.
【详解】方法一：图象变换法：
函数的对称中心是形如的点，其中为整数.
变换后的函数分析：函数是由原函数经过横向压缩3倍、
向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的.
对称中心变换：
横向压缩3倍后，原对称中心的横坐标变为
向左平移个单位后，横坐标变为 .
向上平移1个单位后，纵坐标变为1.
函数 的图像的对称中心的坐标为：,.
方法二：利用正弦函数的性质直接求解法:
求解对称中心：对称中心的横坐标满足方程 ，解得 ,纵坐标恒为1.
最终，函数 的图象的对称中心的坐标为：：,.
故答案为：,.
5. 已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】求出的范围，利用正弦函数图像的性质计算即可；
【详解】函数，其中，在区间上恰有2个零点，
，.求得，则的取值范围为.
故答案为：.
6. 已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】问题化为在上单调递增，且，结合正弦函数图象及相关性质列不等式求参数范围.
【详解】由，则，
由题意在上单调递增，且，
所以，则，故，
综上，，则，故.
故答案为：
7. 已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为________．
【答案】
【解析】
【详解】由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得 ,且,所以
考点:本题主要考查三角函数的性质.
8. 已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据对称性求得，结合对数函数的性质求得正确答案.
【详解】不妨设，画出的图象如下图所示，
，所以.
令，解得，
所以，所以.
故答案为：
9. 设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】作出正弦型三角函数的图象，利用其对称性和周期性求出点横坐标，再代入计算即可.
【详解】作出函数，的大致图象，如图，令，，
解得，，
则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，（可以同时往左或往右移动正整数倍周期长度）
即，关于直线，对称，，
由于，故，
而，关于直线，对称，
故点横坐标为，
将点横坐标代入，得．
故答案为：.
10. 定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数新定义，将已知不等式等价转化成，利用同角的三角函数基本关系式化简右式，借助于基本不等式即可求得其最值即可.
【详解】由已知可得，
即，
因为，所以，
则，
因，当且仅当时等号成立，
此时，故.
故答案为：.
11. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意作图，通过图象可知，等腰直角三角形的斜边的长度为三角函数的一个周期，利用等腰直角三角形的性质求出边长，再由三角函数的周期公式求得的值.
【详解】
如图所示（根据对称性，其它情况与此本质相同），
在函数与的交点中，，
令，又，所以，
因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形，
故等腰直角三角形斜边上的高为，即，
所以，则.
故答案为：.
12. 设集合有______个真子集．
【答案】##
【解析】
【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得集合的元素个数为1013，继而得到真子集个数.
【详解】由题意，当时，，此时，，
因是奇数，是偶数，且中的任意两组角都不关于对称，所以的取值各不相同，
因此当时，集合中的取值会随着的增大而增大，所以当时，集合中共有个元素；
当时，易知
又因，故，
即时的取值与时的取值相同，
根据集合元素的互异性可知，时，并没有增加集合中的元素个数，
当，易得：
，
可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0，
故可得集合的元素个数为1013个，故集合的真子集有个.
故答案为：.
二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）
13. 函数的最大值为（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】运用拆角变换，逆用差角的正弦公式，化简函数式，即可求得其最值.
【详解】因


，故其最大值为1.
故选：A.
14. 已知函数，则函数的部分图象可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性可排除BD，再取特殊值可判断AC，从而得解
【详解】因为的定义域为，且
，
所以为奇函数，
故BD错误；
当时，令，易得，
解得，
故易知的图象在轴右侧的第一个交点为，
又，故C错误，A正确；
故选：A
15. 在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（ ）
①；
②；
③；
④.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可.
【详解】①由正弦定理，，则，即，
故或，即或，
故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误；
②，则，
即，故.
因为，故或，
即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误；
③，则，
即，
故，
即，
即，故.
因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确；
④，则，
即，
故，
故，
即，故.
因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确.
综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件.
故选：B
16. 已知函数，给出下列结论：
①是周期函数； ②在区间上是增函数；
③若，则； ④函数在区间上有且仅有1个零点．
则上述结论中正确序号为（ ）
A. ①B. ①③C. ①②③D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】先求出解析式，再对①②③④一一验证：对于①：利用周期的定义验证；对于②：取特殊数值排除；对于③：利用三角函数的有界性进行计算，即可判断；对于④：可以求出零点，进行判断.
【详解】函数，
对于①：由所以函数的最小正周期为，故①正确；
对于②：由于，，，，
故函数在上不是单调增函数，故②错误；
对于③：函数的最大值为1，若，
则，
所以，，，
故；故③正确；
对于④：当时，，
由于，即，解得或，
所以函数有两个零点，故④错误．
故选：B.
三．解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）
17. 记的内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求外接圆面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，运用和角公式化简求得，即得；
（2）由余弦定理，结合基本不等式和条件可得，再由正弦定理求得外接圆半径的最小值即可.
【小问1详解】
由整理得：，
由正弦定理，可得
即，
因为，所以，即，
又因为，所以．
【小问2详解】
由正弦定理，外接圆的半径，
要使外接圆的半径最小，只需最小，
由余弦定理，，
当且仅当时取等号，此时，则．
故外接圆面积的最小值为．
18. 幂函数的图像关于y轴对称，且在区间上是严格增函数.
（1）求f（x）的表达式；
（2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由幂函数的单调性及得m的可能值，再验证奇偶性，得的解析式；
（2）将条件转化为在上恒成立，求在上的最大值即可.
【小问1详解】
因为幂函数为偶函数，在区间上是严格增函数，
则在区间上单调递减，所以，解得，
又因为，所以或2，
当或2时，不是偶函数，舍去；
当时，是偶函数，合题意，所以.
【小问2详解】
对任意实数，不等式恒成立，
即在上恒成立，
设，，
因为在上单调递减，所以，
所以，即.
19. 如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，．
（1）求索道的长；
（2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【答案】（1）m （2）（3）（单位：m/min）
【解析】
【详解】（1）在中，因为，，
所以，，
从而．
由正弦定理，得（）．
（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，
所以由余弦定理得，
由于，即，
故当时，甲、乙两游客距离最短．
（3）由正弦定理，
得（）．
乙从出发时，甲已走了（），还需走710才能到达．
设乙步行的速度为，由题意得，解得，
所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在（单位：）范围内．
考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用.
【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.
20. 已知函数
（1）求函数的最小正周期
（2）当时，求函数的最大值和最小值
（3）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）先由降幂公式，倍角公式，辅助角公式化简，再代入周期公式求解即可；
（2）由已知结合的范围，利用正弦函数的性质求解即可；
（3）由已知不等式结合辅助角公式进行化简可得，然后结合正弦函数的单调性求解即可.
【小问1详解】
，
则最小正周期为.
【小问2详解】
；
则函数的最大值为，最小值为.
【小问3详解】
，
因为，
，
因为对任意的，当时，恒成立，
则对任意的，当时，恒成立，
，
不妨设，则问题转化成在上单调递减，
所以，其中，解得，
所以的取值范围为.
21. 已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数.
（1）分别判断和是否为“”函数；
（2）若函数是“”函数，求的取值范围；
（3）若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，都有：.
【答案】（1）不是，是
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数的定义证明即可.
（2）利用函数的定义建立不等式，求解参数范围即可.
（3）由题意得到是以为周期的周期函数，不妨设，按分类讨论，并结合“”函数的定义和函数周期性的性质证明结论即可.
【小问1详解】
对于，
由正切函数性质得的定义域不为，则不为“”函数，
对于，，
由和差化积公式得，
两侧同时取绝对值得，
由余弦函数性质得，
则，
如图，我们设，则，圆为单位圆，
则扇形的弧长为，扇形面积为，，
由图象得三角形面积一定小于扇形面积，故，即.
当时，，故对于恒成立；
当时，显然成立；
当时，由上可得，，所以；
当时，，故对于恒成立，
综上可得对于恒成立，
故，
即，则是“”函数.
【小问2详解】
若函数是“”函数，则，
即，故，
因为，所以，得到，
解得，即的取值范围为.
小问3详解】
由题意得是以为周期的周期函数，不妨设，
当时，而函数为上的“”函数，
则，
当时，不妨设，且，
由题意得是以为周期的周期函数，得，
又因为函数为上的“”函数，
所以
，
则对任意的，均有，
由于是以为周期的周期函数，则对任意，
存在，使得，
从而，
故对任意的，均有.