2022-2023学年上海中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 将函数y=sin(2x−π3)图象上的点P(π4,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则( )
A. t=12，s的最小值为π6B. t= 32，s的最小值为π6
C. t=12，s的最小值为π3D. t= 32，s的最小值为π3
2. 我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角θ的面度数为5π12，则csθ2=( )
A. 6+ 24B. 6− 24C. 3+14D. 3−14
3. 将函数f(x)=2sin(3x+π4)的图象向下平移1个单位，得到g(x)的图象，若g(x1)⋅g(x2)=9，其中x1，x2∈[0,4π]，则x1x2的最大值为( )
A. 9B. 375C. 3D. 1
4. 设函数f(x)=3sinx+2csx+1.若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立，则bcsca的值等于( )
A. −12B. 12C. −1D. 1
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
5. 一个扇形的面积为1，周长为4，则它圆心角的弧度数为______．
6. 角θ的终边经过点P(4,y)，且sinθ=−35，则tanθ=______．
7. 若tanθ=−2，则 ______ ．
8. 已知cs(π3+α)=13(0<α<π2)，则sin(π+α)=______．
9. 函数y=(sinx+csx)2的最小正周期是______．
10. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，其面积S=13(a2+c2−b2)，则tanB=______
11. 已知函数的最小正周期为2π3，当x∈[0,π3]时，函数g(x)=f(x)+m恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是______ ．
12. 已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−π3,π4]上的最小值为−2，则ω的取值范围是：______ ．
13. 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b=2 2，∠A=45°，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是 (只需填写一个适合的答案)
14. 定义：关于x的两个不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a,b)和(1b,1a)，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x2−4 3xcs2θ+2<0与不等式2x2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式，且θ∈(0,π)，则θ= ______ ．
15. 设，若不等式对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是______ ．
16. 若不等式对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,−π<φ<0)的最小正周期为T，且在内的图像经过B(π6,0)，C(2π3,0)，三点，求f(x)=Asin(ωx+φ)的表达式．
18. (本小题8.0分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA=2sinC1−2csC，b=1．
(1)求a的值；
(2)若c= 7，求△ABC外接圆的面积．
19. (本小题8.0分)
设a为常数，函数f(x)=asin2x+cs(2π−2x)+1(x∈R)．
(1)设a= 3，求函数y=f(x)的单调区间及周期T；
(2)若函数y=f(x)为偶函数，求此函数的值域．
20. (本小题12.0分)
已知 A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪(如图)，M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC=θ．
(1)用θ及R表示S1和S2；
(2)求S1S2的最小值．
21. (本小题12.0分)
对于函数f(x)(x∈D)，若存在非零常数T，使得对任意的x∈D，都有f(x+T)≥f(x)成立，我们称函数f(x)为“T函数”，若对任意的x∈D，都有f(x+T)>f(x)成立，则称函数f(x)为“严格T函数”．
(1)求证：f(x)=sinx，x∈R是“T函数”；
(2)若函数f(x)=kx+sin2x是“π2函数”，求k的取值范围；
(3)对于定义域为R的函数f(x)，f(0)=0.函数sinf(x)是奇函数，且对任意的正实数T，sinf(x)均是“严格T函数”.若f(a)=π2，，求a+b的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象和性质，属于中档题．
将x=π4代入y=sin(2x−π3)得：t=12，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．
【解答】
解：将x=π4代入y=sin(2x−π3)得：t=sinπ6=12，
将函数y=sin(2x−π3)图象上的点P向左平移s个单位，
得到P′(π4−s,12)，
若P′位于函数y=sin2x的图象上，
则sin(π2−2s)=cs2s=12，
则2s=±π3+2kπ，k∈Z，
则s=±π6+kπ，k∈Z，
由s>0得s的最小值为π6，
故选：A．

2.【答案】B
【解析】解：设角θ所在的扇形的半径为r，由扇形的面积公式可得S=12|θ|⋅r2，
则12|θ|=Sr2=5π12，
可得csθ2=cs5π12=cs(π4+π6)=csπ4csπ6−sinπ4sinπ6= 22× 32− 22×12= 6− 24．
故选：B．
设角θ所在的扇形的半径为r，利用面度数的定义及扇形的面积公式可得θ，利用两角和的余弦公式即可求解csθ2的值．
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
首先求出函数g(x)的关系式，进一步利用函数的最小值确定x的值，最后求出结果．
【解答】
解：将函数f(x)=2sin(3x+π4)的图象向下平移1个单位，
得到g(x)=)=2sin(3x+π4)−1的图象．
所以：当x1，x2∈[0,4π]，且g(x)=)=2sin(3x+π4)−1取最小值时，
g(x1)⋅g(x2)=9，
所以：令：3x+π4=3π2，7π2，11π2，15π2，19π2，23π2时，
解得：x=5π12，13π12…，，
故：当x2=5π12，x1=45π12时，x1x2的最大值为9．
故选A．
4.【答案】C
【解析】解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f(x)+f(x−π)=3sinx+2csx+1+3sin(x−π)+2cs(x−π)+1=2，
于是取a=b=12，c=π，则对任意的x∈R，af(x)+bf(x−c)=1，由此得bcsca=−1．
故选：C．
作为一个选择题，可以令c取特殊值π来求解，找出一个符合af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立的a、b、c，代入bcsca可求出所求．
本题主要考查了函数恒成立问题，以及赋值法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
5.【答案】2
【解析】解：∵扇形的面积为1，周长为4，
∴12lr=12r+l=4，l=2，r=1，
∴扇形圆心角的弧度数α=lr=2．
故答案为：2．
由扇形的面积为1，周长为4，能够求出l=2，r=1，由此能求出扇形圆心角的弧度数．
本题考查扇形的面积公式和周长公式的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
6.【答案】−34
【解析】解：角θ的终边经过点P(4,y)，且sinθ=−35=y 16+y2，
∴y=−3，则tanθ=y4=−34，
故答案为：−34．
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
7.【答案】16
【解析】解：
，
，
，
故答案为：16．
先利用同角三角函数基本关系分别求得sin2θ和cs2θ的值，利用二倍角公式求得cs2θ的值，继而代入原式．
本题主要考查了二倍角公式的应用，同角三角函数基本关系的应用．过程中的结论可作为常用公式用来解决选择填空题．
8.【答案】 3−2 26
【解析】解：∵0<α<π2，
∴π3+α∈(π3,5π6)，
又cs(π3+α)=13，
∴sin(π3+α)=2 23，
∴sin(π+α)=−sinα=−sin[(π3+α)−π3]
=−sin(π3+α)csπ3+cs(π3+α)sinπ3
=−2 23×12+13× 32= 3−2 26．
故答案为： 3−2 26．
由已知求出π3+α的范围，进一步求得sin(π3+α)，则由sin(π+α)=−sinα=−sin[(π3+α)−π3]，展开两角差的正弦得答案．
本题考查三角函数的化简求值，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．
9.【答案】π
【解析】解：函数y=(sinx+csx)2=1+2sinxcsx=1+sin2x，
故它的最小正周期等于2πω=π，
故答案为：π．
利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数y=1+sin2x，根据最小正周期等于2πω 求出结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，正弦函数的周期性及其求法，属于基础题．
10.【答案】43
【解析】解：因为S=13(a2+c2−b2)，由S=12acsinB，a2+c2−b2=2accsB，
所以：12acsinB=13×2accsB，
所以：3sinB=4csB，
所以：tanB=43．
故答案为：43．
由已知利用余弦定理，三角形面积公式可解得3sinB=4csB，即可解得tanB的值．
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
11.【答案】(−3,−2]
【解析】解：函数f(x)=2 3sinωx2csωx2+2cs2ωx2(ω>0)，
可得f(x)= 3sinωx+csωx+1=2sin(ωx+π6)+1，
∵f(x)的周期为2π3，
∴2πω=2π3，
可得：ω=3，
那么f(x)=2sin(3x+π6)+1，
当x∈[0,π3]时，则3x+π6∈[π6,7π6]，
函数g(x)=f(x)+m恰有两个不同的零点，等价于f(x)图象与函数y=−m只有两个交点问题，
根据正弦函数图象可得：2×12+1≤−m<2×1+1，
即2≤−m<3，
∴实数m的取值范围是(−3,−2]．
故答案为：(−3,−2]．
利用二倍角和辅助角化简，根据周期为2π3，可得ω的值，当x∈[0,π3]时，函数g(x)=f(x)+m恰有两个不同的零点，转化为f(x)图象与函数y=−m只有两个交点问题，即可求解．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简确定解析式，零点问题转化为交点问题是解决本题的关键．属于中档题．
12.【答案】[32,+∞)
【解析】解：由于函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−π3,π4]上的最小值为−2，
∴ω⋅(−π3)≤−π2，或ω⋅(π4)≥3π2，
求得ω≥32，或ω≥6，∴ω≥32，
故答案为：[32,+∞)．
由条件根据正弦函数的图象特征，五点法作图可得ω⋅(−π3)≤−π2，或ω⋅(π4)≥3π2，分别求得ω的范围，再取并集，即得ω的取值范围．
本题主要考查正弦函数的图象特征，五点法作图，属于基础题．
13.【答案】a的值满足{2}∪[2 2,+∞)即正确．
【解析】
【分析】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
由正弦定理可得，可得a={2}∪[2 2,+∞)，即可确定一个a的可能取值．
【解答】
解：由已知及正弦定理asinA=bsinB，可得a 22=2 2sinB，
可得，可得：a={2}∪[2 2,+∞)．
可得a的可能取值是2 2．
故答案为：a的值满足{2}∪[2 2,+∞)即正确．

14.【答案】π3或5π6
【解析】解：不等式x2−4 3xcs2θ+2<0与不等式2x2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式，
设不等式x2−4 3xcs2θ+2<0的对应方程两个根为a、b，
则不等式2x2+4xsin2θ+1<0对应方程两个根为：1a、 1b
所以−2sin2θ=1a+1b=a+bab=4 3cs2θ2
即：tan2θ=− 3因为θ∈(0,π)，所以θ=π3或5π6
故答案为：π3或5π6
先设出不等式x2−4 3xcs2θ+2<0的对应方程两个根为a、b，推出不等式x2−4 3xcs2θ+2<0的对应方程两个根为a、b，利用韦达定理，求得关于θ的三角方程，根据θ的范围求解即可．
本题是新定义的创新题，考查逻辑思维能力，考查韦达定理等有关知识，是中档题．
15.【答案】(−∞,−2]∪[1,+∞)
【解析】解：令，
易知g(x)在R上为奇函数，且单调递增，
又因为，
即有恒成立，
设t=csx，t∈[−1,1]，
则有t2+(1−a)t−a2≤0在t∈[−1,1]上恒成立，
又因为，
所以，解得a≤−2或a≥1，
所以a的取值范围为：(−∞,−2]∪[1,+∞)．
故答案为：(−∞,−2]∪[1,+∞)．
令，则有g(x)在R上为奇函数，且单调递增，原不等式等价于cs2x+(1−a)csx−a2≤0恒成立，设t=csx，t∈[−1,1]，则有t2+(1−a)t−a2≤0在t∈[−1,1]上恒成立，结合二次函数的性质求解即可．
本题考查了函数的奇偶性、单调性、二次函数根的分布及转化思想，属于中档题．
16.【答案】144
【解析】解：，
则由正弦定理可得，，即，
由三角形的性质可知，a+b>c，
则，
当时，取得最大值144，
故，即实数k的最小值为144．
故答案为：144．
根据已知条件，结合正弦定理，以及分离参数法可得，，再结合三角性质的性质，以及二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查三角函数的求解，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：当B(π6,0)，C(2π3,0)是一周期内的两个相邻的零点，则，∴T=π，∴ω=2，
，又−π<φ<0，∴A=2，φ=−π3，所以函数f(x)=2sin(2x−π3)；
当B(π6,0)，C(2π3,0)是一周期内的两个不相邻的零点，则，∴ω=4，
，又−π<φ<0，∴A=2 33，φ=−2π3，所以函数f(x)=2 33sin(4x−2π3).
【解析】根据B，C是一个周期内的两个相邻的零点，或不相邻两个零点分情况求得ω，进而求得A和φ，即可得到函数的解析式．
本题主要考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由已知tanA=2sinC1−2csC，，
化为：2sin(A+C)=sinA，∴2sinB=sinA，
由正弦定理可得：2b=a，b=1．
∴a=2．
(2)由余弦定理可得：，即csC=−12，易得C=2π3，
设△ABC的外接圆半径为R，则，解得R= 213，
所以△ABC的外接圆面积为πR2=7π3．
【解析】(1)由已知tanA=2sinC1−2csC，可得sinAcsA=2sinC1−2csC，化为：2sin(A+C)=sinA，2sinB=sinA，再利用正弦定理即可得出．
(2)由余弦定理可得：csC=−12，易得C=2π3，设△ABC的外接圆半径为R，利用正弦定理可得R．
本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为a= 3，所以函数f(x)=asin2x+cs(2π−2x)+1
= 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)+1，
令2x+π6∈[2kπ−π2,2kπ+π2],k∈Z，
解得x∈[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z，
函数的周期T=2π2=π；
(2)因为函数是偶函数，则f(−x)=f(x)，
即asin(−2x)+cs(2π+2x)+1=asin2x+cs(2π−2x)+1，
即−asin2x+cs2x=asin2x+cs2x，所以a=0，
所以f(x)=cs2x+1，当x∈R时，cs2x∈[−1,1]，
所以cs2x+1∈[0,2]，
故函数f(x)的值域为[0,2]．
【解析】(1)代入a的值，化简函数f(x)的解析式，根据正弦函数的单调性以及求出函数f(x)的单调递增区间以及周期；
(2)根据偶函数的定义求出a的值，然后化简函数f(x)，再由三角函数的性质即可求出函数的值域．
本题考查了三角函数的单调性以及频率，考查了三角函数的奇偶性以及值域问题，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为∠ABC=θ，则，，
则．
设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC．
设MO交AC与点E．
则．
所以：；
同理可得三角形BNC的面积为，
．
，
令，则2sinθcsθ=t2−1．
．
∴S1S2的最小值为 2−1．
【解析】(1)先利用θ及R表示出AC、BC的长，进而求出S2；再设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC，即可求出三角形AMC、三角形BNC的面积，进而求得S1；
(2)先利用(1)的结论求出S1S2关于θ的表达式；再结合三角函数以及函数单调性的知识即可求出S1S2的最小值．
本题主要考查三角函数知识与实际生活相结合问题．解决本题的关键在与利用三角形的有关知识求出S1和S2．
21.【答案】(1)证明：取非零常数T=2π，
对任意的x∈R，，
，即，
∴f(x)=sinx，x∈R是“T函数”；
解：(2)∵函数f(x)=kx+sin2x是“π2函数”，D=R，
，
即，整理得，，
，
，即，
故；
(3)∵对任意x∈R，对任意的正实数T，都有f(x+T)>f(x)，
∴f(x)在R上为增函数，
设g(x)=sin(f(x))，
∵函数sin(f(x))是奇函数，
∴g(x)为R上的奇函数，即g(x)图像关于原点对称，
，
，，
，
∴a+b=0．
【解析】(1)取T=2π，由题目中的定义，即可证得；
(2)由题意得，整理得，由余弦函数的值域，即可求出k的范围；
(3)由题意得出f(x)在R上为增函数，设g(x)=sin(f(x))，得出g(x)为R上的奇函数，由奇函数的对称性及g(a)和g(b)的值，即可得出a+b的值．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．