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    2022-2023学年上海中学高一(下)期中数学试卷(含解析)

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    这是一份2022-2023学年上海中学高一(下)期中数学试卷(含解析),共14页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    第I卷(选择题)
    一、单选题(本大题共4小题,共16.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
    1. 将函数y=sin(2x−π3)图象上的点P(π4,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′,若P′位于函数y=sin2x的图象上,则( )
    A. t=12,s的最小值为π6B. t= 32,s的最小值为π6
    C. t=12,s的最小值为π3D. t= 32,s的最小值为π3
    2. 我们学过用角度制与弧度制度量角,最近,有学者提出用“面度制”度量角,因为在半径不同的同心圆中,同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数,从而称这个常数为该角的面度数,这种用面度作为单位来度量角的单位制,叫做面度制.在面度制下,角θ的面度数为5π12,则csθ2=( )
    A. 6+ 24B. 6− 24C. 3+14D. 3−14
    3. 将函数f(x)=2sin(3x+π4)的图象向下平移1个单位,得到g(x)的图象,若g(x1)⋅g(x2)=9,其中x1,x2∈[0,4π],则x1x2的最大值为( )
    A. 9B. 375C. 3D. 1
    4. 设函数f(x)=3sinx+2csx+1.若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立,则bcsca的值等于( )
    A. −12B. 12C. −1D. 1
    第II卷(非选择题)
    二、填空题(本大题共12小题,共36.0分)
    5. 一个扇形的面积为1,周长为4,则它圆心角的弧度数为______.
    6. 角θ的终边经过点P(4,y),且sinθ=−35,则tanθ=______.
    7. 若tanθ=−2,则 ______ .
    8. 已知cs(π3+α)=13(0<α<π2),则sin(π+α)=______.
    9. 函数y=(sinx+csx)2的最小正周期是______.
    10. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,其面积S=13(a2+c2−b2),则tanB=______
    11. 已知函数的最小正周期为2π3,当x∈[0,π3]时,函数g(x)=f(x)+m恰有两个不同的零点,则实数m的取值范围是______ .
    12. 已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−π3,π4]上的最小值为−2,则ω的取值范围是:______ .
    13. 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清,只能看到:在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知b=2 2,∠A=45°,求边c,显然缺少条件,若他打算补充a的大小,并使得c只有一解,a的可能取值是 (只需填写一个适合的答案)
    14. 定义:关于x的两个不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a,b)和(1b,1a),则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式x2−4 3xcs2θ+2<0与不等式2x2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式,且θ∈(0,π),则θ= ______ .
    15. 设,若不等式对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是______ .
    16. 若不等式对任意△ABC都成立,则实数k的最小值为______ .
    三、解答题(本大题共5小题,共48.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17. (本小题8.0分)
    函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,−π<φ<0)的最小正周期为T,且在内的图像经过B(π6,0),C(2π3,0),三点,求f(x)=Asin(ωx+φ)的表达式.
    18. (本小题8.0分)
    在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知tanA=2sinC1−2csC,b=1.
    (1)求a的值;
    (2)若c= 7,求△ABC外接圆的面积.
    19. (本小题8.0分)
    设a为常数,函数f(x)=asin2x+cs(2π−2x)+1(x∈R).
    (1)设a= 3,求函数y=f(x)的单调区间及周期T;
    (2)若函数y=f(x)为偶函数,求此函数的值域.
    20. (本小题12.0分)
    已知 A、B两地相距2R,以AB为直径作一个半圆,在半圆上取一点C,连接AC、BC,在三角形ABC内种草坪(如图),M、N分别为弧AC、弧BC的中点,在三角形AMC、三角形BNC上种花,其余是空地.设花坛的面积为S1,草坪的面积为S2,取∠ABC=θ.
    (1)用θ及R表示S1和S2;
    (2)求S1S2的最小值.
    21. (本小题12.0分)
    对于函数f(x)(x∈D),若存在非零常数T,使得对任意的x∈D,都有f(x+T)≥f(x)成立,我们称函数f(x)为“T函数”,若对任意的x∈D,都有f(x+T)>f(x)成立,则称函数f(x)为“严格T函数”.
    (1)求证:f(x)=sinx,x∈R是“T函数”;
    (2)若函数f(x)=kx+sin2x是“π2函数”,求k的取值范围;
    (3)对于定义域为R的函数f(x),f(0)=0.函数sinf(x)是奇函数,且对任意的正实数T,sinf(x)均是“严格T函数”.若f(a)=π2,,求a+b的值.
    答案和解析
    1.【答案】A
    【解析】
    【分析】
    本题考查的知识点是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象和性质,属于中档题.
    将x=π4代入y=sin(2x−π3)得:t=12,进而求出平移后P′的坐标,进而得到s的最小值.
    【解答】
    解:将x=π4代入y=sin(2x−π3)得:t=sinπ6=12,
    将函数y=sin(2x−π3)图象上的点P向左平移s个单位,
    得到P′(π4−s,12),
    若P′位于函数y=sin2x的图象上,
    则sin(π2−2s)=cs2s=12,
    则2s=±π3+2kπ,k∈Z,
    则s=±π6+kπ,k∈Z,
    由s>0得s的最小值为π6,
    故选:A.

    2.【答案】B
    【解析】解:设角θ所在的扇形的半径为r,由扇形的面积公式可得S=12|θ|⋅r2,
    则12|θ|=Sr2=5π12,
    可得csθ2=cs5π12=cs(π4+π6)=csπ4csπ6−sinπ4sinπ6= 22× 32− 22×12= 6− 24.
    故选:B.
    设角θ所在的扇形的半径为r,利用面度数的定义及扇形的面积公式可得θ,利用两角和的余弦公式即可求解csθ2的值.
    本题主要考查了扇形的面积公式的应用,考查了转化思想,属于基础题.
    3.【答案】A
    【解析】
    【分析】
    本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.
    首先求出函数g(x)的关系式,进一步利用函数的最小值确定x的值,最后求出结果.
    【解答】
    解:将函数f(x)=2sin(3x+π4)的图象向下平移1个单位,
    得到g(x)=)=2sin(3x+π4)−1的图象.
    所以:当x1,x2∈[0,4π],且g(x)=)=2sin(3x+π4)−1取最小值时,
    g(x1)⋅g(x2)=9,
    所以:令:3x+π4=3π2,7π2,11π2,15π2,19π2,23π2时,
    解得:x=5π12,13π12…,,
    故:当x2=5π12,x1=45π12时,x1x2的最大值为9.
    故选A.
    4.【答案】C
    【解析】解:令c=π,则对任意的x∈R,都有f(x)+f(x−π)=3sinx+2csx+1+3sin(x−π)+2cs(x−π)+1=2,
    于是取a=b=12,c=π,则对任意的x∈R,af(x)+bf(x−c)=1,由此得bcsca=−1.
    故选:C.
    作为一个选择题,可以令c取特殊值π来求解,找出一个符合af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立的a、b、c,代入bcsca可求出所求.
    本题主要考查了函数恒成立问题,以及赋值法的应用,同时考查了运算求解的能力,属于中档题.
    5.【答案】2
    【解析】解:∵扇形的面积为1,周长为4,
    ∴12lr=12r+l=4,l=2,r=1,
    ∴扇形圆心角的弧度数α=lr=2.
    故答案为:2.
    由扇形的面积为1,周长为4,能够求出l=2,r=1,由此能求出扇形圆心角的弧度数.
    本题考查扇形的面积公式和周长公式的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
    6.【答案】−34
    【解析】解:角θ的终边经过点P(4,y),且sinθ=−35=y 16+y2,
    ∴y=−3,则tanθ=y4=−34,
    故答案为:−34.
    由题意利用任意角的三角函数的定义,求得tanθ的值.
    本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.
    7.【答案】16
    【解析】解:



    故答案为:16.
    先利用同角三角函数基本关系分别求得sin2θ和cs2θ的值,利用二倍角公式求得cs2θ的值,继而代入原式.
    本题主要考查了二倍角公式的应用,同角三角函数基本关系的应用.过程中的结论可作为常用公式用来解决选择填空题.
    8.【答案】 3−2 26
    【解析】解:∵0<α<π2,
    ∴π3+α∈(π3,5π6),
    又cs(π3+α)=13,
    ∴sin(π3+α)=2 23,
    ∴sin(π+α)=−sinα=−sin[(π3+α)−π3]
    =−sin(π3+α)csπ3+cs(π3+α)sinπ3
    =−2 23×12+13× 32= 3−2 26.
    故答案为: 3−2 26.
    由已知求出π3+α的范围,进一步求得sin(π3+α),则由sin(π+α)=−sinα=−sin[(π3+α)−π3],展开两角差的正弦得答案.
    本题考查三角函数的化简求值,关键是“拆角配角”思想的应用,是中档题.
    9.【答案】π
    【解析】解:函数y=(sinx+csx)2=1+2sinxcsx=1+sin2x,
    故它的最小正周期等于2πω=π,
    故答案为:π.
    利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式可得函数y=1+sin2x,根据最小正周期等于2πω 求出结果.
    本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用,正弦函数的周期性及其求法,属于基础题.
    10.【答案】43
    【解析】解:因为S=13(a2+c2−b2),由S=12acsinB,a2+c2−b2=2accsB,
    所以:12acsinB=13×2accsB,
    所以:3sinB=4csB,
    所以:tanB=43.
    故答案为:43.
    由已知利用余弦定理,三角形面积公式可解得3sinB=4csB,即可解得tanB的值.
    本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式,同角三角函数基本关系式的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.
    11.【答案】(−3,−2]
    【解析】解:函数f(x)=2 3sinωx2csωx2+2cs2ωx2(ω>0),
    可得f(x)= 3sinωx+csωx+1=2sin(ωx+π6)+1,
    ∵f(x)的周期为2π3,
    ∴2πω=2π3,
    可得:ω=3,
    那么f(x)=2sin(3x+π6)+1,
    当x∈[0,π3]时,则3x+π6∈[π6,7π6],
    函数g(x)=f(x)+m恰有两个不同的零点,等价于f(x)图象与函数y=−m只有两个交点问题,
    根据正弦函数图象可得:2×12+1≤−m<2×1+1,
    即2≤−m<3,
    ∴实数m的取值范围是(−3,−2].
    故答案为:(−3,−2].
    利用二倍角和辅助角化简,根据周期为2π3,可得ω的值,当x∈[0,π3]时,函数g(x)=f(x)+m恰有两个不同的零点,转化为f(x)图象与函数y=−m只有两个交点问题,即可求解.
    本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数公式将函数进行化简确定解析式,零点问题转化为交点问题是解决本题的关键.属于中档题.
    12.【答案】[32,+∞)
    【解析】解:由于函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−π3,π4]上的最小值为−2,
    ∴ω⋅(−π3)≤−π2,或ω⋅(π4)≥3π2,
    求得ω≥32,或ω≥6,∴ω≥32,
    故答案为:[32,+∞).
    由条件根据正弦函数的图象特征,五点法作图可得ω⋅(−π3)≤−π2,或ω⋅(π4)≥3π2,分别求得ω的范围,再取并集,即得ω的取值范围.
    本题主要考查正弦函数的图象特征,五点法作图,属于基础题.
    13.【答案】a的值满足{2}∪[2 2,+∞)即正确.
    【解析】
    【分析】
    本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于中档题.
    由正弦定理可得,可得a={2}∪[2 2,+∞),即可确定一个a的可能取值.
    【解答】
    解:由已知及正弦定理asinA=bsinB,可得a 22=2 2sinB,
    可得,可得:a={2}∪[2 2,+∞).
    可得a的可能取值是2 2.
    故答案为:a的值满足{2}∪[2 2,+∞)即正确.

    14.【答案】π3或5π6
    【解析】解:不等式x2−4 3xcs2θ+2<0与不等式2x2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式,
    设不等式x2−4 3xcs2θ+2<0的对应方程两个根为a、b,
    则不等式2x2+4xsin2θ+1<0对应方程两个根为:1a、 1b
    所以−2sin2θ=1a+1b=a+bab=4 3cs2θ2
    即:tan2θ=− 3因为θ∈(0,π),所以θ=π3或5π6
    故答案为:π3或5π6
    先设出不等式x2−4 3xcs2θ+2<0的对应方程两个根为a、b,推出不等式x2−4 3xcs2θ+2<0的对应方程两个根为a、b,利用韦达定理,求得关于θ的三角方程,根据θ的范围求解即可.
    本题是新定义的创新题,考查逻辑思维能力,考查韦达定理等有关知识,是中档题.
    15.【答案】(−∞,−2]∪[1,+∞)
    【解析】解:令,
    易知g(x)在R上为奇函数,且单调递增,
    又因为,
    即有恒成立,
    设t=csx,t∈[−1,1],
    则有t2+(1−a)t−a2≤0在t∈[−1,1]上恒成立,
    又因为,
    所以,解得a≤−2或a≥1,
    所以a的取值范围为:(−∞,−2]∪[1,+∞).
    故答案为:(−∞,−2]∪[1,+∞).
    令,则有g(x)在R上为奇函数,且单调递增,原不等式等价于cs2x+(1−a)csx−a2≤0恒成立,设t=csx,t∈[−1,1],则有t2+(1−a)t−a2≤0在t∈[−1,1]上恒成立,结合二次函数的性质求解即可.
    本题考查了函数的奇偶性、单调性、二次函数根的分布及转化思想,属于中档题.
    16.【答案】144
    【解析】解:,
    则由正弦定理可得,,即,
    由三角形的性质可知,a+b>c,
    则,
    当时,取得最大值144,
    故,即实数k的最小值为144.
    故答案为:144.
    根据已知条件,结合正弦定理,以及分离参数法可得,,再结合三角性质的性质,以及二次函数的性质,即可求解.
    本题主要考查三角函数的求解,考查转化能力,属于中档题.
    17.【答案】解:当B(π6,0),C(2π3,0)是一周期内的两个相邻的零点,则,∴T=π,∴ω=2,
    ,又−π<φ<0,∴A=2,φ=−π3,所以函数f(x)=2sin(2x−π3);
    当B(π6,0),C(2π3,0)是一周期内的两个不相邻的零点,则,∴ω=4,
    ,又−π<φ<0,∴A=2 33,φ=−2π3,所以函数f(x)=2 33sin(4x−2π3).
    【解析】根据B,C是一个周期内的两个相邻的零点,或不相邻两个零点分情况求得ω,进而求得A和φ,即可得到函数的解析式.
    本题主要考查了三角函数的图象与性质,属于基础题.
    18.【答案】解:(1)由已知tanA=2sinC1−2csC,,
    化为:2sin(A+C)=sinA,∴2sinB=sinA,
    由正弦定理可得:2b=a,b=1.
    ∴a=2.
    (2)由余弦定理可得:,即csC=−12,易得C=2π3,
    设△ABC的外接圆半径为R,则,解得R= 213,
    所以△ABC的外接圆面积为πR2=7π3.
    【解析】(1)由已知tanA=2sinC1−2csC,可得sinAcsA=2sinC1−2csC,化为:2sin(A+C)=sinA,2sinB=sinA,再利用正弦定理即可得出.
    (2)由余弦定理可得:csC=−12,易得C=2π3,设△ABC的外接圆半径为R,利用正弦定理可得R.
    本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
    19.【答案】解:(1)因为a= 3,所以函数f(x)=asin2x+cs(2π−2x)+1
    = 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)+1,
    令2x+π6∈[2kπ−π2,2kπ+π2],k∈Z,
    解得x∈[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z,
    所以函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z,
    函数的周期T=2π2=π;
    (2)因为函数是偶函数,则f(−x)=f(x),
    即asin(−2x)+cs(2π+2x)+1=asin2x+cs(2π−2x)+1,
    即−asin2x+cs2x=asin2x+cs2x,所以a=0,
    所以f(x)=cs2x+1,当x∈R时,cs2x∈[−1,1],
    所以cs2x+1∈[0,2],
    故函数f(x)的值域为[0,2].
    【解析】(1)代入a的值,化简函数f(x)的解析式,根据正弦函数的单调性以及求出函数f(x)的单调递增区间以及周期;
    (2)根据偶函数的定义求出a的值,然后化简函数f(x),再由三角函数的性质即可求出函数的值域.
    本题考查了三角函数的单调性以及频率,考查了三角函数的奇偶性以及值域问题,属于基础题.
    20.【答案】解:(1)因为∠ABC=θ,则,,
    则.
    设AB的中点为O,连MO、NO,则MO⊥AC,NO⊥BC.
    设MO交AC与点E.
    则.
    所以:;
    同理可得三角形BNC的面积为,


    令,则2sinθcsθ=t2−1.

    ∴S1S2的最小值为 2−1.
    【解析】(1)先利用θ及R表示出AC、BC的长,进而求出S2;再设AB的中点为O,连MO、NO,则MO⊥AC,NO⊥BC,即可求出三角形AMC、三角形BNC的面积,进而求得S1;
    (2)先利用(1)的结论求出S1S2关于θ的表达式;再结合三角函数以及函数单调性的知识即可求出S1S2的最小值.
    本题主要考查三角函数知识与实际生活相结合问题.解决本题的关键在与利用三角形的有关知识求出S1和S2.
    21.【答案】(1)证明:取非零常数T=2π,
    对任意的x∈R,,
    ,即,
    ∴f(x)=sinx,x∈R是“T函数”;
    解:(2)∵函数f(x)=kx+sin2x是“π2函数”,D=R,

    即,整理得,,

    ,即,
    故;
    (3)∵对任意x∈R,对任意的正实数T,都有f(x+T)>f(x),
    ∴f(x)在R上为增函数,
    设g(x)=sin(f(x)),
    ∵函数sin(f(x))是奇函数,
    ∴g(x)为R上的奇函数,即g(x)图像关于原点对称,

    ,,

    ∴a+b=0.
    【解析】(1)取T=2π,由题目中的定义,即可证得;
    (2)由题意得,整理得,由余弦函数的值域,即可求出k的范围;
    (3)由题意得出f(x)在R上为增函数,设g(x)=sin(f(x)),得出g(x)为R上的奇函数,由奇函数的对称性及g(a)和g(b)的值,即可得出a+b的值.
    本题考查了函数的恒成立问题,属于中档题.
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