上海市2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试卷（B卷）（含解析）

这是一份上海市2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试卷（B卷）（含解析），共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．若角的终边经过点，则 .
2．已知，则 .
3．已知向量，，则在方向上的数量投影为 .
4．已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为 .
5．已知点到平面的距离是2，动点、在平面内，且，则的最小值为 .
6．设，其中A＞0，，.函数，x∈R的部分图象如图所示，则该函数的表达式为 .
7．如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 .
8．已知向量，若向量、、共面，则实数等于 ．
9．如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为1，若该几何体的表面积为，则其体积为 .

10．在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为 .
11．水管或煤气管的外部经常需要包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很长的带子缠绕在管道外部.若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分（不考虑管子两端的情况，如图所示），这就要精确计算带子的“缠绕角度”指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面时的，其中为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1，水管直径为2，则“缠绕角度”的余弦值为 .

12．光线沿直线以的入射角（指入射光线与入射表面法线的夹角）照射到镜面上的点，反射光线为射线，在平面上的射影为，现将镜面以为轴旋转，反射光线变为射线，则的大小为 .
二、单选题
13．函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
14．已知三条直线，，满足且，则与（ ）
A．平行B．垂直C．共面D．异面
15．设A、B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面面积总相等，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M，O分别为线段A1C，DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（ ）
A．与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直
B．异面直线BM与A1E所成角是定值
C．一定存在某个位置，使DE⊥MO
D．三棱锥A1­ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值
三、解答题
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若的面积为6，，求b的长.
18．已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面.
(1)确定点的位置，并证明你的结论；
(2)求异面直线与所成角的大小.
19．一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个底面边长为xcm的“无盖”正三棱柱形容器，容积记为Vcm3.

(1)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，求出此时x的值；
(2)将V表示为x的函数，并求V的最大值.
20．已知四棱锥的底面为平行四边形.
(1)若交于平面，判断是否为菱形，并说明理由；
(2)在射线上有点（均与不重合），三棱锥和的体积分别为和，求证：；
(3)设为中点，过的平面分别与棱交于点，设四棱锥和的体积分别为，求的最小值.
21．如图，在四面体中，是正三角形，是直角三角形，，并且，点在棱上.
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角的正切值为，求的值；
(3)点、分别是线段、上的动点，求周长的最小值.
参考答案：
1．
【分析】根据三角函数的定义，即可求解.
【详解】由三角函数的定义可知，.
故答案为：
2．3
【分析】利用诱导公式求出，再将所求值的式子弦化切，代值计算即得.
【详解】因，所以.
故答案为：3.
3．
【分析】利用关系式求出向量的投影向量的长度．
【详解】在方向上的数量投影的长度为：．
故答案为：．
4．
【分析】求出圆锥的底面圆半径，母线长，再计算圆锥的高．
【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则底面圆周长为，解得；
所以圆锥侧面展开图的圆心角为，解得；
所以该圆锥的高为．
故答案为：．
5．/
【分析】根据图形，比较线面角和线和平面内其他角的正弦值，即可求解.
【详解】如图，，，，过点作，垂足为点，
因为，，，
所以，
当点重合时，等号成立，所以，，
所以的最小值为
故答案为：
6．
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式.
【详解】观察图象，得，函数的最小正周期，解得，
由，得，而，则，
所以函数的表达式为.
故答案为：
7．
【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离即可．
【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,0,，,1,，,1,，,0,，
所以,1,，,1,，,0,，
设平面的法向量为,,，则，
令，则，所以,,，
所以点到平面的距离为．
故答案为：．
8．10
【分析】根据向量共面得到，代入数据计算得到答案.
【详解】因为向量、、共面，所以存在实数、使得．
所以，所以．
故答案为：
9．
【分析】根据给定条件，求出中间圆柱的高，再利用球和圆柱的体积公式求解作答.
【详解】依题意，几何体可视为半径为1的球和底面圆半径为1，高为的圆柱组合而成，
于是几何体的表面积，解得，
所以该几何体的体积.
故答案为：
10．
【分析】根据中位线可证得四边形为平行四边形，求可得四边形边长和内角的大小，进而可得四边形的面积．
【详解】设的中点分别为，连接,,,，
由题意可得，，且，
所以四边形为平行四边形，
因为异面直线与所成的角为，
所以直线与所成的角等于，
所以．
故答案为：．
11．
【分析】使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），即斜边长为水管的周长为.利用展开图解决.
【详解】其展开图如下图所示.
水管直径为2，则水管的周长为，
故答案为：.
12．
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求角.
【详解】如图：
在长方体中，表示入射线，平面为平面，在平面的射影为，
因为直线照射到平面的入射角为，所以.
不妨令，，将平面绕轴旋转得平面.
则，可取，则反射光线的方向向量为：.
因为点关于平面的对称点为，所以反射线的方向向量为：.
所以.
所以.
故答案为：
13．A
【分析】利用辅助角公式将函数化成的形式，代入周期公式可得结论.
【详解】易知，其中，
由周期公式可得其最小正周期为.
故选：A
14．B
【分析】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定.
【详解】若且，根据空间直线垂直的定义，可得，不平行，有可能共面，也有可能异面.
故选：B.
15．B
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合祖暅原理判断即可.
【详解】夹在两个平行平面间的两个几何体A、B在同一高处的截面面积总相等，则A、B的体积相等，即，
令是棱长为的正方体，是高为，底面积为的三棱锥，则A、B的体积都为，相等，
而A、B在同一高处的截面面积不全相等，因此不能推，
所以p是q的必要不充分条件.
故选：B
16．C
【分析】取中点，连接，，证明平面，然后判断．取的中点为，连接，，说明为异面直线与所成的角．求解即可判断；连接．推出．判断，判断．推出为定值，判断正确．
【详解】解：取中点，连接，．为的中点，，
又为的中点，且，
四边形为平行四边形，．
，，
平面平面，
平面，与平面垂直的直线必与直线垂直，正确；
取的中点为，连接，，则且，
四边形是平行四边形，，
为异面直线与所成的角．
设，则，，，
，故异面直线与所成的角为定值，正确；
连接．
△为等腰直角三角形且为斜边中点，
．若，则平面，．
又，，，，
又，平面，，与已知矛盾，错误；
，为三棱锥的外接球球心．
又为定值，正确；
故选：．
【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式化简得，即可求解.
（2）利用三角形面积公式求解，然后利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）因为，所以.
因为，所以，又，，所以.
（2）因为，所以.
由余弦定理可得，
所以.
18．(1)为线段的中点，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的性质可得，结合是的中点即可判断点位置,
（2）根据正四棱锥的几何性质，结合球的表面积公式，可得四棱锥的底面边长，即可根据平行得是异面直线与成的角或其补角，利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）为线段的中点，证明如下：
由于相交于，四边形为正方形，故是的中点，
由于平面，平面，且平面,
故,
由于是的中点，故为线段的中点.
（2）由球的表面积公式，得球的半径，
设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上，
连，则,，故,
则在，有，
即，可得正方形的边长为，
侧棱．
由（1）知，故是异面直线与成的角或其补角，
由于为等腰三角形，且,
故，
异面直线与所成的角为；
19．(1)
(2),,最大值为
【分析】（1）由剪下的三个四边形是全等四边形组成与底面三角形全等的图形，即可得出的值；
（2）结合平面图形数据及三棱柱直观图求得三棱柱的高和底面积，计算三棱柱容器的容积，求出最大值即可．
【详解】（1）由题意知，剪下的三个四边形是全等四边形，且这三个全等的四边形组成与底面三角形全等三角形，
所以，解得，即的值为；
（2）结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得三棱柱的高为，
其底面积为，
所以三棱柱容器的容积为，；
求导数得，令，解得或（舍去），
所以时，，单调递增，时，，单调递减；
所以时，取得最大值，为，
所以的最大值为．
20．(1)四边形为菱形，理由见解析，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，进而可得，即可结合平行四边形求证，
（2）利用体积公式，结合相似即可求解，
（3）利用体积公式，结合等体积法即可得，进而利用向量的线性运算，根据共面定理可得，利用基本不等式即可求解最值.
【详解】（1）由于平面平面故,
又，平面，
故平面，又平面，故,
因此，结合四边形为平行四边形，
故四边形为菱形，
（2），
其中,分别表示点到平面的距离，
根据相似可得,
故
（3）设,
故同理,
由于底面为平行四边形，故，
故
，
,
,
,
由于共面，所以存在，使得，
故
，
因此，化简可得，进而，
因此，
当且仅当，即时等号成立，
故最小值为，
【点睛】关键点点睛：根据等体积法得，利用共面定理可得，由基本不等式求解最值.
21．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，构造辅助线，转化为证明线面垂直；
（2）根据（1）的结果，建立空间直角坐标系，设，并分别求平面和平面的法向量，根据二面角的余弦值，即可求解；
（3）利用展开图，将三角形周长的最小值转化为两点间距离，即可求解.
【详解】（1）由条件可知，，，，
所以，所以，
又因为是直角三角形，所以，
取的中点，连结，则，
所以，，且，
所以，则，且，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面；
（2）以点为原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
A1,0,0，，，，设，
，，
设平面的法向量为，
则，即，，令，则，
即平面的法向量为，
平面的法向量为，
因为二面角的正切值为，所以二面角的夹角的余弦值为，
则，，解得：，
所以；
（3）如图，以为轴，将和展开，与在同一平面，点分成和，当四点共线时，为的周长的最小值，
设，，，则，
所以，
，
，
所以，
所以周长的最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是垂直关系的证明，从而为建立坐标系作准备，建立坐标系中，向量的表示是关键.
题号
13
14
15
16






答案
A
B
B
C