上海市延安中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份上海市延安中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版），共18页。
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对3分，否则一律得零分．
1. 已知角的终边经过点，则_____．
2. 3弧度是第_____象限角．
3. 函数的最小正周期为______．
4. 已知是第四象限角，且，则_____．
5. 已知，则______．
6. 的单调递增区间为________________．
7. 已知，且，，则_____．
8. 在中，，则_____．
9. 如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为_____．

10. 函数，的值域是______．
11. 直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则_____．
12. 已知、满足，则_____．
二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．
13. 下列函数中是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
14. 为了得到函数图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位
15. 在中，“”是“是锐角三角形”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
16. 三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（ ）
A. ①②都正确B. ①②都错误C. ①正确，②错误D. ①错误，②正确
三、解答题（本大题共有5题，满分48分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤．
17. 求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值．
18. 在中，角，，所对边分别为，，，若．
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积．
19. （1）证明三倍角公式；
（2）DS同学试着将代入第（1）小题中的公式，得到：，又由诱导公式可知，所以．若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式．
20. 如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）．是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进．

（1）求值；
（2）若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角最大？（结果精确到0.1米）
21. 对于函数，，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，则称函数是“类周期函数”，这个非零常数叫做函数的一个“类周期”．
（1）证明函数“类周期函数”；
（2）证明函数不是“类周期函数”；
（3）已知函数（其中，）是“类周期函数”，证明：“”是“是的一个‘类周期’”的必要非充分条件．
上海市延安中学2024学年第二学期期中考试
高一年级 数学试卷
（考试时间：90分钟满分：100分）
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对3分，否则一律得零分．
1. 已知角的终边经过点，则_____．
【答案】##
【解析】
【分析】利用三角函数的定义可求出的值.
【详解】因为角的终边经过点，则.
故答案为：.
2. 3弧度是第_____象限角．
【答案】二
【解析】
【分析】判断角的终边在第几象限即可.
【详解】1弧度，3弧度，
3弧度的角的终边在第二象限，3弧度是第二象限角.
故答案为：二.
3. 函数的最小正周期为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用求出最小正周期.
【详解】的最小正周期为.
故答案为：
4. 已知是第四象限角，且，则_____．
【答案】##-0.8
【解析】
【分析】根据所在的象限，及平方关系计算即可.
【详解】因为是第四象限角，且，
所以，
故答案为：.
5. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由，利用诱导公式求解.
【详解】．
故答案为：.
6. 的单调递增区间为________________．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦函数的单调性求出单调递增区间即得.
【详解】由，解得，
所以的单调递增区间为.
故答案为：
7. 已知，且，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】先由同角三角函数关系求得，再通过“配角”利用两角和的余弦公式求解即得.
【详解】∵，，∴
又∵，，
∴，，
∴
.
故答案为：.
8. 在中，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据正弦定理得到三边的关系，再由余弦定理求出角，再利用分式的性质求解即可.
【详解】因为，
由正弦定理，
可得，设，
由余弦定理可得，
因为，所以，
由，可得，
因为
，
所以，
故答案为：.
9. 如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为_____．

【答案】
【解析】
【分析】中，可得，，，结合正弦定理，即可求解
【详解】如图所示，由题意得，在中，可得，
，，
所以
由正弦定理得．
因此，点与灯塔的距离为是.

故答案为：.
10. 函数，的值域是______．
【答案】
【解析】
【分析】设，则，可得出，由此得出，结合二次函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】因为，
设，则，
且，所以，
则，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，取最大值，即，
当时，；当时，，所以.
因此，函数的值域为.
故答案为：.
11. 直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则_____．
【答案】2
【解析】
【分析】利用正弦函数的周期性得到，再利用整体代入法求出对称轴，进而求出的横坐标，再代入解析式中结合诱导公式求解参数即可.
【详解】由正弦函数性质得的周期为，
如图，由题意得直线与函数图像的相邻的三个交点，
从左自右依次为、、，
则，因为，所以，
解得，令，解得，
由正弦函数性质得、关于对称，且设的横坐标为，
则，
而的纵坐标为，代入解析式中得到，
.
故答案为：
12. 已知、满足，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意整理可得，结合正、余弦函数的有界性可得，即可得结果.
【详解】因，则，
整理可得，
因为，可得，
即，可得，
所以.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．
13. 下列函数中是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出各个函数的定义域，再根据与的关系即可做出判断.
【详解】对于A，函数的定义域为，
且，所以是偶函数，故A错误；
对于B，函数的定义域为
且，所以是偶函数，故B错误；
对于C，函数的定义域为，
且，所以是奇函数，故C正确；
对于D，函数的定义域为，
且，
，，所以是非奇非偶函数，故D错误.
故选：C
14. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】B
【解析】
【分析】由图象平移变换，把化为后可得．
【详解】∵，因此把函数的图象上所有的点向左平移个单位即得．
故选：B．
15. 在中，“”是“是锐角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】举反例说明充分性不成立即可，必要性由，且为锐角，则成立．
【详解】当，时，有，但是钝角三角形；
当是锐角三角形时，，且为锐角，则
故“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件
故选：B
16. 三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（ ）
A. ①②都正确B. ①②都错误C. ①正确，②错误D. ①错误，②正确
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数周期定义判断①②即可.
【详解】对于①，设，该函数的定义域为，
因为，
故函数是周期函数，①对；
对于②，因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，
若函数是周期函数，设为该函数的一个周期，
则存在非零整数、，使得，，可得，所以，，
因为为无理数，而为有理数，故等式不成立，
所以函数不是周期函数，②错.
故选：C.
三、解答题（本大题共有5题，满分48分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤．
17. 求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值．
【答案】最小正周期，最大值为3，当，时取得最大值
【解析】
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】依题意，，
函数的最小正周期，函数的最大值为3，
当，即，时取得最大值．
18. 在中，角，，所对的边分别为，，，若．
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用正弦定理，结合特殊角的三角函数值，即可得到；
（2）运用余弦定理，结合完全平方公式求出，再运用三角形的面积公式即可得所求．
【小问1详解】
因为，
由正弦定理，得，
即，
所以，即
因为
所以，
因，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
由余弦定理，得，
∵，，
∴，得，
所以的面积.
19. （1）证明三倍角公式；
（2）DS同学试着将代入第（1）小题中的公式，得到：，又由诱导公式可知，所以．若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）将表示成，再根据和角的正弦公式及二倍角正余弦公式展开即可得证；
（2）将代入公式的表达式，再根据诱导公式，即可得到的表达式.
【详解】（1）
；
（2）将代入公式，
可得，
因为，，
所以.
20. 如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）．是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进．

（1）求的值；
（2）若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角最大？（结果精确到0.1米）
【答案】（1）
（2）当点距离底线13.9米时，对球门的张角（）最大
【解析】
【分析】（1）先在直角三角形中和直角三角形中，求出,，再利用两角差的正切公式求出；
（2）点距离底线米，过点作，垂足为，计算出和，，求出，利用基本等式求出最大值.
【小问1详解】
，，，
，
，，
【小问2详解】
设点距离底线米，过点作，垂足为，，则，

，，
，，
当时，即时，等号成立，
此时取得最大值，
又因为函数在上严格增，所以对应取得最大值,
所以当点距离底线13.9米时，对球门的张角（）最大.
21. 对于函数，，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，则称函数是“类周期函数”，这个非零常数叫做函数的一个“类周期”．
（1）证明函数是“类周期函数”；
（2）证明函数不是“类周期函数”；
（3）已知函数（其中，）是“类周期函数”，证明：“”是“是的一个‘类周期’”的必要非充分条件．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】(1)利用“类周期函数”的定义，找到函数的一个“类周期”，即可证明函数是“类周期函数”；
(2)利用反证法可以证明函数不是“类周期函数”；
(3)利用函数是“类周期函数”将函数化简，再进行充分必要性的证明.
【小问1详解】
取，，，
，
函数是“类周期函数”，是其一个“类周期”；
【小问2详解】
假设函数是“类周期函数”，
则存在非零常数，使得对任意都成立，
取，则可得，所以，与矛盾，
所以假设不成立，故函数不是“类周期函数”；
【小问3详解】
函数，是“类周期函数”，
则存在非零常数，使得，对任意都成立.
取，则，，
对于函数，则有，所以，
或，
对于，取，则，
所以，
函数是“类周期函数”，
对于，取，则，
，
也是“类周期函数”，
不妨设，取，，
则，
，
不恒成立，所以不是的“类周期”，
“”不是“是的一个‘类周期’”的充分条件；
下面证明必要性：
假设是的一个“类周期”，且，设，
则（其中），
对于任意正整数，都有，
，而的值域为，矛盾，
假设不成立，必有，
“”是“是的一个‘类周期’”的必要条件，
综上所述，“”是“是的一个‘类周期’”的必要非充分条件.