上海市上海中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（B卷）（含解析）

这是一份上海市上海中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（B卷）（含解析），共18页。试卷主要包含了 化简，96， 命题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间120分钟 满分150分）
考生注意：
1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具.
2. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟
3. 请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分
一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1. 把时钟拨快1小时，则时针走过的弧度数是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得角度，结合角度和弧度的相互转化，即可求得结果.
【详解】时钟拨快1小时，则时针顺时针旋转，
故走过的弧度数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查角度和弧度的转化，属简单题.
2. 已知，则可用k表示为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据同角关系即可求解.
【详解】由可得，
故，且，
又，
故，
故答案为：
3. 已知，且，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意利用两角和差公式分析求解.
【详解】因为，
由题意可得，即，
且，可知.
故答案为：.
4. 在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据利用正弦定理，结合三角形有1个解的条件即可求解.
【详解】根据题意，，，
由正弦定理得：，则，
三角形只有一个解，则或，
则或，即或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
5. 化简：_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用诱导公式和两角和差公式分析求解.
【详解】原式
.
故答案为：.
6. 已知，，则的值为_________．
【答案】##0.96
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简可得，结合角的范围确定的值，利用二倍角公式，即可求得答案.
【详解】由，
得，则，即，
由于，故，结合，
可知，
故，
故答案为：
7. 已知集合，集合，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用正切函数、余切函数的定义求出集合，再利用补集、交集的定义求解.
【详解】集合，
集合，
则，所以.
故答案为：
8. 若实数x满足，则csx的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先分段考虑去掉绝对值，求出方程的解集，再利用余弦函数的单调性即得.
【详解】对于，
当时，可得，解得，舍去；
当时，可得恒成立，故；
当时，可得，解得，舍去.
综上可得，，即，
因函数在时为增函数，故得.
故答案为：.
9. 命题：的充要条件为________
【答案】{}
【解析】
【分析】使、有意义以及分母不为0即可.
【详解】欲使有意义，
则，且，且即，
则且，其中
则的取值范围为{}
故答案为：{}
10. 对于单位圆上任意截取两点连接圆心构成的扇形，其弧长与面积的比值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据扇形的弧长和面积的公式运算求解.
【详解】设扇形的圆心角为，半径为1，
则其弧长，面积，
所以弧长与面积的比值为.
故答案为：2.
11. 已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：因为，所以而所以由得，因此或∵x、y为正数， ∴
考点：同角三角函数关系，消参数
12. 已知、、均为锐角，在、、三个值中，大于的个数的最大值为，小于的个数的最大值为，则_________．
【答案】5
【解析】
【分析】由题意可得，，从而可求的m的值，举例可得n的值，即可得出答案.
【详解】由为锐角，得，当且仅当时取等号，
同理，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
则，
因此不可能有3个数都大于，即最多2个数大于，例如，；
取，则，
因此三个数均可能小于，则；
所以.
故答案为：5
【点睛】关键点点睛：利用基本不等式推导得到是求解的关键.
13. “”是“”的（ ）
A 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先考查充分性，再考虑必要性得解.
【详解】当时，，但是当时，分母为零，没有意义.
所以“”是“”的非充分条件；
当时，.
所以，
所以“”是“”的必要条件.
所以“”是“”的必要非充分条件.
故选B
【点睛】本题主要考查三角函数的定义域和三角恒等变换，考查充分必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14. 若，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二倍角公式化简，结合三角函数的性质判断正负即可求解.
【详解】，
由于，所以，故，,
故，
进而，
故选：D
15. 关于函数，有以下结论：
①函数，均为偶函数；②函数，均为周期函数；
③函数，定义域均为；④函数，值域均为．
其中正确命题的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】易得两函数的定义域都是，即可判断③；根据偶函数的定义即可判断②；根据正余弦函数的周期性即可判断③；根据正余弦函数的值域及单调性即可判断④.
【详解】函数，的定义域都是，关于原点对称，故③错误；
因为，
所以函数为偶函数，
因为，
所以函数为偶函数，故①正确；
因为，
所以是以为周期的周期函数，
因为，
所以是以为周期的周期函数，故②正确；
因为，所以，即，
因为，所以，即，故④错误，
所以正确的个数有个.
故选：B.
16. 在平面直角坐标系中，对任意角，设的终边上异于原点的任意一点的坐标为，它与原点的距离是.我们规定：比值分别叫做角的正割､余割､余切，分别记作，则下列叙述正确的有（ ）个.
①；
②；
③；
④有意义的条件是；
⑤.
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用题目给出定义结合正余弦和正切的运算逐项判断即可.
【详解】对①,，故①错误；
对②，，故②正确；
对③，，
，即；故③正确；
对④, 故④错误；
对⑤，，故⑤正确.
综上，正确有 ②③⑤三个.
故选：D
三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）
17. 记的内角所对的边分别是，且满足.
（1）证明：；
（2）若的面积为，求；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两角和、差的正弦公式化简后可证.
（2）根据正弦定理可将面积转化为角的三角函数关系式，化简后可得，结合（1）中结果可求.
【小问1详解】
由得，
则，
得， 若，则，
则均为直角，与题设矛盾， 故，故，
故，故.
【小问2详解】
，
所以，则，
，
从而，
又，从而，，
所以
18. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若对任意都有，求实数t的取值范围．
【答案】（1）单增区间为
（2）
【解析】
分析】（1）利用倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，由整体法求增区间；
（2）由题设知，结合给定闭区间列不等式求参数范围.
【小问1详解】
由，
令，则，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
由，则，故，
又，则，所以，即.
19. 已知，其中，都是常数，且满足.
（1）当，时，求的取值范围；
（2）是否存在，，使的值是与无关的定值?若存在，求出，的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，，
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，代入，，结合余弦函数的有界性分析求解；
（2）根据题意结合（1）的解析式分析可得，结合，的取值范围分析求解.
【小问1详解】
由题意可得：
，
若，，
则，
因为，可得，
所以的取值范围为.
【小问2详解】
存在，，，理由如下：
由（1）可知：，
若是一个与无关的定值，
可知，此时为常数．
即，两式平方相加得：，
且，则，
可得或，
①若，即，
由得，
则，且，可得或，
可得(经检验满足方程)，或（舍去），
②若，即，
由得，
则，且，可得或，
可得或（舍去），
将代入检验不成立；
综上所述：，.
【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换化简，结合题意可得，进而求方程组即可.
20. 已知函数，．若对于给定的非零常数，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为．
（1）已知是上的周期为1的“2级类周期函数”，且当时，．求的值；
（2）在（1）的条件下，若对任意，都有，求实数的取值范围；
（3）是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，代入求解即可；
（2）画出的图象，数形结合得到实数的取值范围；
（3）由题意得到，分或，两种情况，得到对应的值.
【小问1详解】
，且当时，，
故；
【小问2详解】
，当时，，
……，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
……，
画出的图象如下：
设当时，，即，
解得或，
因为，所以，
对任意，都有，故
故实数的取值范围是，
【小问3详解】
假设存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，
即，，
因为的值域为，而，
故，解得或，
当时，，故，
当时，，故，
综上，或.
【点睛】方法点睛：函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括奇偶性，单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
21. 已知若存在整数x，使满足，则称和互为“x级绝配角”
（1）已知在中，角所对边分别为，若，若角A与自己本身互为“x级绝配角”，求：x的值；
（2）若对任意，均有x满足和互为“x级绝配角”，求：；
（3）是否存在某一三角形，存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”，若存在，请给出该三角形的三个内角，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）1 （2），其中
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件得，再分类讨论论求出，最后利用正弦定理化简即可求出；
（2）从特殊值入手，当时求出，再对任意性进行检验；
（3）假设其存在性，再讨论满足题意的所有情况，然后再分类讨论并检验.
【小问1详解】
因角A与自己本身互为“x级绝配角”，则，
因，则，故，则，则，
在中利用正弦定理，则化简为，
即，
在中，，则，
得;
【小问2详解】
对任意，均有x满足和互为“x级绝配角”，
则对，，有，
时，，则.
检验：当时，，若，则为任意整数均可；若，则为整数.
故而当时，对任意，均有x满足和互为“x级绝配角”.
【小问3详解】
不存在，理由如下：
假设存在，存在整数使得其角均互为“x级绝配角”，
若互为“x级绝配角”有或①；
若互为“x级绝配角”有或②；
若互为“x级绝配角”有或③，
则角均互为“x级绝配角”时，则角在①②③中各满足1个，
共8种情况，由于三个字符的轮换性，故而只需研究以下两类即可，
即，或,
（i）若，
因，则均为正数，
则，
由，则，则，
因函数在上单调递减，则，故均为锐角，
则化简为，
则，则或（舍），
故，
检验：当时，化简为，
则不存在整数使得其角均互为“x级绝配角”.
（ii）若，
若角为钝角，则由可得，，
则由，得，则角为钝角，不符合题意，
故为锐角三角形且；
又
，
则，即，则，
将其代入中得，
，，
则为等边三角形，
检验：当时，化简为，
则不存在整数使得其角均互为“x级绝配角”.
综上，不存在三角形，使存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”