高一数学月考卷（湘教版2019必修第二册第一章到第四章）-2024-2025学年高中下学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：湘教版 2019 必修第二册第一章到第四章。
5．难度系数：0.62。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知 ，其中 为虚数单位，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【详解】 ，
则 .
故选：B.
2． （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
.
故选：D.
3．水平放置的 的直观图如图，其中 ， ，那么原 是一个（ ）
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A．直角三角形 B．等边三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
【答案】C
【详解】由题意，在原 中， ，
因为 ，则 ，
又 ，所以 ， 为 中点，
则 ，
所以原 是一个等腰三角形.
故选：C.
4．若 m，n 为空间直线， ， 为平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C． ， ， ，则
D．若 m，n 是异面直线，则 m，n 在 内的射影为两条相交直线
【答案】C
【详解】对于 A， ， ，则 可能在 内，可能平行于 ，也可能与 相交，A 错误；
对于 B， ， ，则 可能在 内，可能平行于 ，B 错误；
对于 C，由 ， ，得 ，而 ，因此 ，C 正确；
对于 D，m，n 是异面直线，m，n 在 内的射影可能是两条平行直线，可能是两条相交直线，
也可能是一条直线和一个点，D 错误.
故选：C
5．在△ABC 中，边 BC 上的中线为 AD，点 O 满足 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
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，
故 ，
故选：A.
6．在三角形 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ，则三角形
的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【详解】因为 ，
所以由余弦定理 ，整理化简得 .
所以 即 ，或 即 ，
所以三角形 ABC 的形状为等腰或直角三角形.
故选：D
7．若向量 满足 ，且向量 与向量 的夹角为 ，则 的
最大值是（ ）
A． B．40 C．64 D．
【答案】D
【详解】因为 ，且向量 与向量 的夹角为 ，
设 ，其中 ，
则
，其中 ，
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因为 ，当 时，
有最大值 .
故选：D
8．设 为圆锥 底面的一条直径， 为底面圆周上异于 的一点， 为 靠近 的一个三等分点，且
二面角 与二面角 的大小相等，则该圆锥的体积与三棱锥 的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
在圆 所在平面内，过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ 为二面角 的平面角， 为二面角 的平面角，
∴ .
∵在 和 中， ，
∴ .
∵ 为 上靠近 的一个三等分点，∴ .
设 ，则 ，底面圆半径为 ，圆锥高 .
∵点 在圆锥底面圆上，∴ ，
∵点 为 中点， ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
，
4 / 13
∴ .
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知向量 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 与 的夹角为
C．若 ，则 D．存在 ，使得
【答案】ACD
【详解】对于 A，由题可知 ，故 A 项正确；
对于 B， ，故 与 的夹角为 ，故 B 项错误；
对于 C，若 ，则 ，故 C 项正确；
对于 D，若 ，则 ，则当 时，可以使 ，故 D 正确.
故选：ACD
10．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】由 可得 ，则 ，故 A 正确；
且 ，则 ，
所以 ，
且 ，则 ，故 B 错误；
，故 C 正确；
因为 ，
由 ， 可得 ，故 D 错误；
5 / 13
故选：AC
11．如图，在直棱柱 中，底面 是边长为 2 的菱形， ， ，点
为 的中点，动点 在侧面 内（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．平面 与平面 所成角的余弦值为
C．若 ，则点 轨迹的长度为
D．若点 在直线 上，则 的最小值为
【答案】ABC
【详解】如图 1，连接 ，由菱形 可得 ．
再由直棱柱 ，可得 底面 ．
又因为 底面 ，所以 ，
而 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，故 A 正确；
， ， ，所以 为直角三角形，且 ，
其在底面投影的三角形 的面积为 ，
由投影面积法可得平面 和平面 所成角的余弦值为 ，故 B 正确；
如图 2，动点 在侧面 内（包含边界），过 作 ，垂足为 ，
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由直棱柱 ，
所以平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
且 ，所以 平面 .
而 侧面 ，即有 ，由菱形 边长为 2， ，可得 ，
再由勾股定理得： ，则点 的轨迹是以 为圆心，
以 为半径的圆弧（如图 3 中 ），则由侧面正方形 ，
可知 ， ，可得 ，所以点 轨迹的长度为 ，故 C 正确；
由 为直角三角形，且 为等腰直角三角形，
将 与 展开成一个平面图，如图 4，则 ；
由余弦定理得： ，
即 ，故 的最小值为 ，故 D 错误．
故选：ABC
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，则 A= ．
【答案】 / /
【详解】对于等式左边， ；对于等式右边，由于 ，
代入等式整理得 ，由余弦定理可得 ，
故 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ．
13．已知复数 z 满足 ，则 的最小值为 ．
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【答案】2
【详解】设复数 z 在复平面内对应的点为 Z，因为复数 z 满足 ，
由复数的几何意义可知，点 Z 到点 和 的距离相等，
所以在复平面内，点 Z 的轨迹为 x 轴，
又 表示点 Z 到点 的距离，
所以 的最小值为 x 轴上的动点 Z 到定点 距离的最小值，
所以 的最小值为 2．
故答案为： 2
14．正方形 中， 分别是 的中点， 为 的中点，将正方形沿 折成 的二面角，
则异面直线 与 所成角的正切值为 ．
【答案】
【详解】如图，
过 作 ， 为 的中点，连接 ，
异面直线 与 所成角为 ，设 ，
， ， ，
又 ， ，又 ，且 ，
平面 ， ，
在正方形 中，设边长 ， ， ， ，
，
.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，且 为纯虚数.
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(1)求 的值：
(2)复数求 在复平面对应的点在第一象限，求实数 的取值范围.
【详解】（1）由题意可知 ， ， ………(2 分)
故 ， ………(5 分)
由题意 ，得 . ………(6 分)
（2）由（1）可得 ， ………(7 分)
， ………(10 分)
由题意可得 得 ，故实数 的取值范围为 . ………(13 分)
16．（15 分）在 中，已知 ，且 .
(1)求角 B 的度数.
(2)若 ，求 面积.
(3)若点 D 在边 AC 上，且 ，求 的度数（用角 B 的表达式表示，并求出具体值）.
【详解】（1）由余弦定理得 ，
又因为 ，所以 . ………(3 分)
（2）因为 ，
由正弦定理可得 ，由（1）可知 ，
所以 ，
而 ，所以 ，
所以 面积 . ………(7 分)
（3）因为 ，由正弦定理可得 ，由（1）可知 ，
所以 ，
所以 为等边三角形，
因为 ，所以 是 的中点，可得 ，
用角 表示为 . ………(13 分)
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17．（15 分）已知 ， ，其中 ， .
(1)求 ；
(2)求 .
【详解】（1）因为 ， ，则 ， ， ………(2 分)
因为 ， ，
所以， ，
， ………(5 分)
所以，
. ………(7 分)
（2）因为 ，
， ………(10 分)
所以 ，
，
因此 . ………(15 分)
18．（17 分）三棱台 中，若 平面 ， ， ，
， ， 分别是 ， 中点．
(1)求 与 所成角的余弦值；
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(2)求平面 与平面 所成角的余弦值；
(3)求证 与平面 平行．
【详解】（1）解：连接 .由 分别是 的中点，
根据中位线性质，得 ，且 ，
在三棱台 中，可得 ，所以 ，
由 ，可得四边形 是平行四边形，则 ，
所以 为 与 所成角，
在 中，由 ，
可得 . ………(5 分)
（2）因为 平面 ， 在平面 ，
所以 ，
又 又分别在平面 与平面 内，
平面 与平面 的交线为 ，
所以 即为平面 与平面 所成角的平面角，
又 ， ， 分别是 中点，
所以 ，
即平面 与平面 所成角的余弦值为 ； ………(11 分)
（3）由 ， ，
由棱台的结构特征可知 ，又 为 的中点，
易知 与 平行且相等，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
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又 在平面 外， 在平面 内，
所以 平面 . ………(17 分)
19．（17 分）在平面直角坐标系 中，对于非零向量 ，定义这两个向量的“相
离度”为 ，容易知道 平行的充要条件为 ．
(1)已知 ，求 ；
(2)①已知 的夹角为 和 的夹角为 ，证明： 的充分必要条件是 ；
②在 中， 且 ，若 ，求 ．
【详解】（1）因为 ，
所以 . ………(3 分)
（2）①因为
，
且 ， ，则 ，
所以 .
若 ，等价于 ，即 ，
所以 的充分必要条件是 ； ………(9 分)
②因 ，
则 ，
可得 ，
即 ，可得 ，
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又因为 ，可知点 为 的重心，则 ，
可得 ，
则 ，
，
，
可得 ，
所以 . ………(17 分)
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