高一数学月考卷（天津专用，人教A版2019第六章~第九章）-2024-2025学年高中下学期第三次月考

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一、单项选择题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．复数 的共轭复数 在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由复数 ，
所以 ，它在复平面上对应的点为 ，
故选 D.
2．已知一组数据从小到大排列：4，6，7，8，9，10，14，15，17，则该组数据的 40%分位数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】由组数据从小到大排列：4，6，7，8，9，10，14，15，17，
因为 ，所以该组数据的 40%分位数为第 4 个数据，
即数据的 分位数为 .
故选 B.
3．在 中， 在 上且 ，设 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，在 中， 在 上且 ，所以 .
则
.
又因为 ，所以 .
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故选 B
4．已知圆锥的侧面展开图是半径为 3 的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥底面圆的半径为 ，高为 ，母线长为 ，
则 ， ，所以 ，
所以 ，
所以该圆锥的体积为 .
故选 C
5．已知数据 的平均数和方差分别为 4，10，那么数据 的平均数和方差分
别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设数据 的平均数和方差分别为 和 ，
即 ， ，
则 的平均数为 ，
方差为
由数据 的平均数和方差分别为 4，10，
所以 ， ，解得 .
故选 D.
6．如图，在四面体 中， 平面 ， ，则下列叙述中错误的是（ ）
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A．线段 的长是点 到平面 的距离
B．线段 的长是点 到直线 的距离
C． 是二面角 的一个平面角
D． 是直线 与平面 所成角
【答案】C
【解析】对于 A 选项，因为 平面 ，所以，线段 的长是点 到平面 的距离，A 对；
对于 B 选项，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，所以线段 的长是点 到直线 的距离，B 对；
对于 C 选项，因为 ， ，
所以， 是二面角 的一个平面角，C 错；
对于 D 选项，因为 平面 ，所以， 是直线 与平面 所成角，D 对.
故选 C.
7．三国（220 年一 280 年）是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权，元末
明初的小说家罗贯中依据这段历史编写《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共
同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰（2 小时）
能走 30 公里，一天走 10 个小时，十天能到达.吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏
东 30°，相距约 1000 公里，若吴国一叛徒要向魏国告密大约需要几天能到达魏国都城（ ）（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
【答案】C
【解析】将魏、蜀、吴三国的都城分别记为 、 、 ，
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由题意可知， 公里， 公里， ，
由余弦定理可得
公里，
（天），故谋臣大约需要 天才能到达目的地.
故选 C.
8．已知一组数据 ，其中位数为 ，平均数为 ，极差为 ，方差为 ．现从中删去某一个数，得
到一组新数据，其中位数为 ，平均数为 ，极差为 ，方差为 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．若删去 3，则 B．若删去 9，则
C．无论删去哪个数，均有 D．若 ，则
【答案】B
【解析】对于 A，若删去 3，根据中位数的定义得 ，故满足 ，故 A 正确
对于 B，若删去 9，根据平均数的定义得 ，
，故 B 错误，
对于 C，根据极差的定义，若去掉的数是 中的一个，
显然去掉前后极差都是 ，满足 ，若去掉 1， ，
若去掉 9， ．综上， ，故 C 正确．
对于 D，原数据平均数 ，去掉一个数后平均数保持不变，
即 ，则剩下的四个数之和为 ，显然去掉的数只能是 5，
由方差的定义得， ，
，满足 ，故 D 正确．
故选 B
9．在边长为 的菱形 ABCD 中， ，E 为 BD 中点，将 绕直线 BD 翻折到 ，使得
四面体 外接球的表面积为 ，则此时直线 与平面 BCD 所成角的正弦值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，由已知 和 都是等边三角形， 是 中点， ， ，又
， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，同理平面 平面 ，
所以 在平面 内的射影是 ，所以 是 与平面 所成的角，
设 分别是 和 的外心，则 ， ，
且 ，在平面 内过 作 ，
过 作 ， 与 交于点 ，则 平面 ，同理 平面 ， 平面 ，
则 ，所以 是四面体 外接球的球心，
由已知 ， ， ，又 ，
所以 ， ， ， ，
，由对称性知 ，
，所以直线 与平面 BCD 所成角的正弦值为 ，
故选 B.
二．填空题（共 6 小题，满分 30 分，每小题 5 分）
10．已知 z 是纯虚数， 是实数，那么 .
【答案】
【解析】设 ，则 是实数，
所以 ，则 .
故答案为：
11．某市在 2025 高考模拟测试评卷中，实行双评加抽样三评的评卷方法.已知收到有效的数学答卷为 5 万份，
有效的物理答卷为 3 万份，有效的化学答卷为 2.5 万份.若双评后利用分层抽样的方法抽取 210 份样卷进行
三评，则应抽取数学样卷的份数为 .
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【答案】100
【解析】由题意，应抽取数学样卷的份数为 .
故答案为：100
12．在 中，A 为直角， ，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积
为 .
【答案】
【解析】
根据题意， 中， ， ， ，
在直观图 中， ，
故 的面积 ．
故答案为： ．
13．在平行四边形 中， ， ．若 为 的中点，则向量 在向量 上的投影
向量为 （用 表示）；若 ，点 在边 上，满足 ，点 ， 分别为线段 ，
上的动点，满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】依题意可知 ，
又 ， ，
所以
则向量 在向量 上的投影向量为 ；
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以 为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：
由 ， 可得 ，且 ，
所以 ，
又 ，所以 ；
设 ，所以 ，由 可得 ；
又 ，所以 ；
因此 ；
可得 ，
显然当 时取得最小值，最小值为 .
故答案为： ；
14．已知 是棱长为 的正四面体 ，设 的四个顶点到平面 的距离所构成的集合为 ，若 中
元素的个数为 ，则称 为 的 阶等距平面， 为 的 阶等距集.如果 为 的 1 阶等距平面且 1 阶等
距集为 ，则符合条件的 有 个， 的所有可能取值构成的集合是 .
【答案】 7
【解析】①情形一：分别取 的中点 ，
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由中位线性质可知 ，
此时平面 为 的一个 1 阶等距平面，
为正四面体高的一半，等于 .
由于正四面体有 4 个面，这样的 1 阶等距平面 平行于其中一个面，有 4 种情况；
②情形二：分别取 的中点
将此正四面体放置到棱长为 1 的正方体中，
则 为正方体棱长的一半，等于 .
由于正四面体的六条棱中有 3 组对棱互为异面直线，
这样的 1 阶等距平面 平行于其中一组异面直线，有 3 种情况.
综上，当 的值为 时， 有 4 个；当 的值为 时， 有 3 个.
所以符合条件的 有 7 个， 的所有可能取值构成的集合是 ；
故答案为：7；
15．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽
样的方法抽取样本，样本中有 39 名女员工，女员工的平均体重为 50kg，方差为 36；有 21 名男员工，男员
工的平均体重为 70kg，方差为 16．则样本中所有员工的体重的方差为 ．
【答案】
【解析】依题意样本中所有员工的体重的平均值为 ，
则样本中所有员工的体重的方差 ，
所以样本中所有员工的体重的方差为 .
故答案为：120.
三、解答题（共 5 小题，满分 75 分）
16．（14 分）
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设复数 ， .
(1)在复平面内，复数 对应的点在实轴上，求 ；
(2)若 是纯虚数，求实数 的值.
【解析】（1）因为复数 ， ，
所以 ，
因为复数 对应的点在实轴上，
所以 ，得 ，所以 ，
所以 ；
（2）因为复数 ， ，
所以
，
因为 为纯虚数，所以 ，解得 .
17．（15 分）
在 中，内角 所对的边分别是 ， .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，显然 ，所以 ，
又 ，故 ，
根据余弦定理可得 ，可得 .
（2） ， ， ，
， ，
所以
18．（15 分）
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如图，在底面是矩形的四棱锥 中， 平面 ， ， ，E 是 的中点．
(1)求证： 平面 PAD；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【解析】（1）
底面是矩形的四棱锥 中，有 ，
又由 平面 ， 平面 ,所以 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）
取 中点为 ，由 E 是 的中点，可知 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
再过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
由于 又 平面 ，
即 平面 ，又因为 平面 ，所以 ,
平面 与平面 夹角即为 ，
由 ， ，可知 ，
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由 可得： ，即 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
则勾股定理得： ，
所以 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
19．（15 分）
某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取
了部分学生的成绩 x（单位：分，得分取正整数，满分为 100 分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分
为五组（ ， ， ， ， ），其中 ，请根据下面尚未完
成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
(1)求 的值；
(2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名学生的分数： ，已知这 10 个分数的平均数 ，
标准差 ，若剔除其中的 95 和 85 两个分数，求剩余 8 个分数的平均数与方差；
附：方差计算公式： 或
(3)已知总体分为 2 层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： ；
．记总样本的平均数为 ，样本方差为 ．试证明：
．
【解析】（1）由题意知， ，且 ，
所以 ， ．
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（2）解： ，故： ．
又 ， ，
剔除其中的 95 和 85 两个分数，设剩余 8 个数为 ，
平均数与标准差分别为 ， ，
则剩余 8 个分数的平均数： ；
方差： ．
（3）证明：已知总体分为 2 层，通过分层随机抽样，
各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： ； ．
记总样本的平均数为 ，样本方差为 ，
由 ，得 ，
所以
．
20．（16 分）
如图，在四棱锥 中， ，底面 是平行四边形，O 点为 的中点， ，
， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 所成的二面角的正切值：
(3)当 与平面 的所成角最大时，求四棱锥 的体积．
【解析】（1）证明： ，O 点为 的中点， ．
取 的中点 M，连接 ，则 ， ，
底面 是平行四边形， ，
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， ．
，∴ ，
， ，
是等边三角形， ．
在 与 中， ， ．
， ．
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2）延长 与 交于点 E，连接 ．
平面 ， 平面 ， 平面 平面 ．
由 ， ，得 ， ，
， ，
取 中点 F，连接 ，则 ．
， 为等腰直角三角形．
连接 ，则 ，
是平面 与平面 所成的二面角的平面角．
， ， ， 平面 ，
平面 ， ，
在 中， ， ，
．
平面 与平面 所成的二面角的正切值为 ．
（3）设 ，点 A 到平面 的距离为 h．
， ， ，
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等腰 底边上的高为 ， ，
．
，点 C 到 的距离为 ， ．
．
，即 ， ．
记 与平面 所成角为 ．
，
当且仅当 ，即 时， 最大， 最大，
．
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