高二数学月考卷（苏教版2019，选择性必修第二册）-2024-2025学年高中下学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏教版 2019 选择性必修第二册。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．如图，空间四边形 OABC 中， ， ， ，且 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
.
故选：C
2．对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（ ）
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A．图 1、图 2 两组数据都具有线性相关关系
B．图 1 数据正相关，图 2 数据负相关
C．图 1 相关系数 小于图 2 相关系数
D．图 1 相关系数和图 2 相关系数之和小于 0
【答案】C
【解析】因为散点图都呈直线型，所以图 1，图 2 两组数据都具有线性相关关系，故 A 正确；
图 1 散点从左至右呈上升趋势，所以数据正相关，图 2 散点从左至右呈下降趋势，所以数据负相关，故
B 正确；
图 1 正相关，图 2 负相关，所以 ，故 C 不正确；
因为图 2 相关程度更强，所以 ，故 D 正确.
故选：C.
3．对于变量 ，其部分成对的观测值如下表所示：
1 2 3 4 5
2 6 7 8 12
已知 具有线性相关关系，且根据最小二乘法得到的线性回归方程为 ，则 （ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．1.2
【答案】B
【解析】由条件可知， ， ，
线性回归方程必过点 ，所以 ，所以 .
故选：B
4． 的展开式中 的系数为（ ）
A．12 B．40 C．60 D．100
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【答案】C
【解析】因为 ，
其中 展开式的通项为 （ ），
所以 的展开式中含 的项为 ，
所以展开式中 的系数为 .
故选：C
5．永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建
筑的一朵奇葩 年 月，成功列入世界遗产名录 它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧 土楼
具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型 现有某大学建筑系学生要重点对
这七种主要类型的土楼依次进行调查研究 要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角
形相邻 则共有 种不同的排法．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将方形、五角形看成一个整体，与除圆之外的 4 个图形全排列，
再将圆形安排在第一个或最后一个，因此共有 种不同的排法．
故选：A.
6．某新能源车型的续航里程 （单位：公里）服从正态分布 ．若该车型中 的车续航里程介
于 360 公里与 440 公里之间，则续航里程超过 420 公里的车在该车型中的占比约为（ ）（参考公式：
， ，
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为续航里程 服从正态分布 ，即 ，
由题意 ，又 ，
3 / 16
所以 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
7．在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物
学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株
豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记事件 子三代中基因型为 ，记事件 选择的是 、 ，记事件 选择的是 、
，记事件 选择的是 、 ，
则 ， ， .
在子二代中任取 颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论：
①若选择的是 、 ，则子三代中基因型为 的概率为 ；
②若选择的是 、 ，则子三代中基因型为 的概率为 ；
③若选择的是 、 ，则子三代中基因型为 的概率为 .
综上所述， .
因此，子三代中基因型为是 的概率是 .
故选：D.
8．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为 ，在其分子结构
中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可
看作正八面体，记为 ，各棱长均相等，则平面 与平面 夹角的余弦值是（ ）
4 / 16
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设正八面体的棱长为 ，连接 、 相交于点 ，连接 ，如图所示，
根据正八面体的性质可知 为正方形， ， 平面 ，
以 为坐标原点，分别以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，所以 ， ，
令 ，则 ，所以 ，
， ，
5 / 16
设平面 的法向量为 ，所以 ， ，
令 ，则 ，所以 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
平面 与平面 夹角的余弦值为 .故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数
据统计，并根据形成的 2×2 列联表，计算得到 ，根据小概率值为 的独立性检验，则（ ）
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
A．若 ，则认为“毛色”和“角”无关
B．若 ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过 10%
C．若 ，则认为“毛色”和“角”无关
D．若 ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过 1%
【答案】BC
【解析】对 AB，若 ，因为 ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不
超过 10%，故 A 错，B 对；
对 CD，若 ，因为 ，则认为“毛色”和“角”无关，故 C 正确，D 错误.
故选：BC.
10．11 分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得 1 分，先得 11 分且至少
领先 2 分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成 10:10 后，每球交换发球权，领先 2 分者获胜，该局
比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜，每局 11 分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过拋掷一枚质
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地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为 ，乙发球时甲得分的概率为 ，各球的
比赛结果相互独立，且各局的比赛结果地相互独立，则下列说法正确的是（ ）
A．若每局比赛甲获胜的概率 ，则该场比赛甲 3:2 获胜的概率为
B．若某局比赛甲先发球，则该局比赛中打完前 4 个球时甲得 3 分的概率为
C．若某局比赛甲先发球，双方比分为 8:8，则该局比赛甲以 11:9 获胜的概率为
D．若某局比赛目前比分为 10:10，则该局比赛甲获胜的概率为
【答案】AC
【解析】对于 A，甲 3:2 获胜的事件是第 5 局甲获胜，前 4 局甲胜 2 局，概率为 ，
A 正确；
对于 B，打完前 4 个球时甲得 3 分的事件是甲发 2 球得 2 分的事件与甲发 2 球得 1 分的事件和，
其概率为 ，B 错误；
对于 C，比分为 8:8 后由甲发球，甲以 11:9 获胜的事件是 4 次发球，前 3 球甲胜 2 球，第 4 球甲胜，
其概率为 ，C 正确；
对于 D，设打成 后再打 2 个球时甲的得分为 ，则 ，
， ，
设该局比赛甲获胜为事件 ，则 ，
由全概率公式，得
，解得 ，则该局比赛甲获胜的概率 ，D 错误.
故选：AC
11．在棱长为 1 的正方体 中，点 在棱 上运动，则（ ）
A．若点 为 的中点，则平面 平面
B．
C．异面直线 ， 所成角的取值范围是
D．点 到平面 距离的最小值为
【答案】BC
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【解析】如图建系易得： .
对于 A，若点 为 的中点，则 ，
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，即 ，
设 ，可得 ，则 ，
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，即 ，
设 ，则 ，
所以 ，显然 不平行，即平面 平面 不成立，故错误；
对于 B，设 ，则 ，
则 ，
所以 ，故 B 正确；
对于 C， ，
，
设异面直线 ， 所成的角为 ，则 ，
因为 ，易得 ，所以 ，
8 / 16
所以 ，又 ，所以 ，C 正确；
对于 D，由 A 知平面 的一个法向量为 ， ，
所以点 到平面 距离为 ，
因为 ，所以当 时，取得最小值为 ，故 D 错误.
故选：BC
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同
的安排方法有 种.
【答案】
【解析】首先从四位家长中选三人有 种方法，
然后将选出的三位家长分别安排到三个路口有 种方法，
根据分步乘法计数原理，总的安排方法数为 种.
故答案为：
13．某研究性学习小组针对“使用大绿书 的用户是否存在性别差异”，向 个人进行调查.用
表示所有调查对象构成的集合.以 为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量 和 如下：对于
中的每一名学生， ， 现得到下表：
是大绿书 的用户 不是大绿书 的用户
男性
女性
若根据 的独立性检验认为 （其中 ），则 的最小值为 .
（参考公式： ，其中 ）
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【答案】3
【解析】因为用大绿书 APP 的用户存在性别差异，
所以 ，
即 ，所以 的最小值为 3.故答案为： .
14．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为 时得 1 分，当
点数为 1，6 时得 3 分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷 2 次骰子，最终
得分为 ，则随机变量 的期望是 ；若抛掷 50 次骰子，记得分恰为 分的概率为 ，则当
取最大值时 的值为 .
【答案】 ， 或
【解析】抛一次骰子得 1 分的概率为 ，得 3 分的概率为 ，
的可能取值为 ， ， ，
，则随机变量 的期望是 ；
记得 1 分的次数为 ，则得 3 分的次数为 ，
因此抛掷 50 次骰子，所得总分为 ，
则得 1 分的次数为 次时总分得 n 分的概率为 ， ，若 取最大，则
，可得 ，
因为 ，所以 ，或 ，
当 时， ，
当 时， ，
故答案为： ； 或 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
设 ，求：
10 / 16
(1) ；
(2) ；
(3) .
【解析】（1）在展开式中，令 ，得： ，
令 ，得： ，
所以 .（5 分）
（2）令 ，得： ，
由（1）知， ，
两式相加得： ，
所以 .（10 分）
（3）令 ，得： .（13 分）
16．（15 分）
安顺市教育局为深入贯彻党的教育方针，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳
动教育的意见》，从 2022 年起，安顺市中小学积极推进劳动教育课程改革，某高中积极响应教育局安
排，先后开发开设了具有安顺特色的烹饪、手工、园艺、职业体验、非物质文化遗产等劳动实践类校
本课程，为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从 2022 年 1 月到 10 月每
两个月从全校 3000 名学生中随机抽取 150 名学生进行问卷调查，统计数据如下表：
月份 2 4 6 8 10
满意人数 80 95 100 105 120
(1)由表中看出，满意人数 与月份 之间存在很强的线性正相关关系，请用相关系数 加以证明（一般
认为 时有很强的线性相关关系）；并求 关于 的经验回归方程 ，请用该方程预测 12
月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数；
(2)10 月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得
如下统计表：
满意 不满意 合计
男生 65 10 75
11 / 16
女生 55 20 75
合计 120 30 150
请根据 的独立性检验，能否认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关联?
参考公式： ， ；
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
，其中 ， ， ．
【解析】（1）由统计数据的表格，可得 ，
则 ， ，
，
可得 ，
所以变量 关于 的相关系很强，且 关于 正相关，（6 分）
又由 ， ，
所以 关于 的回归直线方程为 ，
令 ，可得 ，
据此预测 12 月份该校全体学生对劳动课程的满意人数为 人. （10 分）
（2）零假设 ：该校的学生性别与对劳动课程是否满意无关，
根据表格中的数据，可得 ，
因为 ，根据 的独立性检验，我们可推断 不成立，因此可认为该校学生性别与对
12 / 16
劳动课程是否满意有关. （15 分）
17．（15 分）
高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合
体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有 的学生每月平均坚持跑操的次数超过 40 次，这些学生中，
综合体测成绩达到“及格”等级的概率为 ，而每月平均坚持跑操的次数不超过 40 次的学生的综合体测
成绩达到“及格”等级的概率为 ．
(1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率；
(2)已知该实践活动小组的 6 名学生中有 4 名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这 6 名学生中抽取 2
名学生，记 为抽取的这 2 名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量 的分布列和
数学期望．
(3)经统计：该校学生综合体测得分 近似服从正态分布 ，若得分 ，则综合体测成绩达
到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取 40 名学生，记 为这
40 名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求 的数学期望．（结果四舍五入保留整数）
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
，
【解析】（1）设事件 “抽取 1 名学生每月平均坚持跑操的次数超过 40 次”，
则 “抽取 1 名学生每月平均坚持跑操的次数不超过 40 次”，
事件 “抽取 1 名学生综合体测成绩达到“及格”等级” ，
由全概率公式： ，
∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为 （5 分）
（2） 的可能取值为 0，1，2 ，
， ， ，
∴ 的分布列为：
0 1 2
13 / 16
；（10 分）
（3） ， ，
， ，
∴ 的数学期望约为 6 人. （15 分）
18．（17 分）
如图，在四棱锥 中， ，点 Q
为棱 上一点．
(1)证明： 平面 ；
(2)当点 Q 为棱 的中点时，求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)当二面角 的余弦值为 时，求 ．
【解析】（1）在四棱锥 中，由 ，
得 ， ，则 ，
又 ，且 ，所以 .（5 分）
（2）由（1）知 两两垂直，以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标
系，则 ，由 为棱 的中点，得 ，
，设平面 的法向量 ，
14 / 16
则 ，取 ，得 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .（10 分）
（3）由（2）知 ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得
，
设平面 的法向量为 ，由 ，令 ，得 ，
由二面角 的余弦值为 ，得 ，（14 分）
即 ，整理得 ，解得 ，
所以 ．（17 分）
19．（17 分）
甲、乙两名小朋友每人手中各有 3 张龙年纪念卡片，其中甲的 3 张卡片的颜色为 1 张金色和 2 张银色，
乙手中的 3 张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取 1 张，去与对方交换，重复 n
次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片 张，恰有 2 张银色纪念卡片的概率为 ，恰有 1 张银色纪
念卡片的概率为 ．
(1)分别求 ， 的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现 0 张，并求首次出现这种
情况的概率 p．
(2)记 ．
（ⅰ）证明数列 是等比数列；
15 / 16
（ⅱ）求 的数学期望．（用 n 表示）
【解析】（1）根据题意， 表示“重复 2 次操作，甲手中恰有 2 张银色纪念卡片”的概率，包含两种情
况：
第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片；
第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片，
则 ， ， ，（3 分）
表示“重复 2 次操作，甲手中恰有 1 张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况：
第一次甲交换金色卡片，第二次甲交换银色卡片；
第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换银色卡片，乙交换银色卡片或第二次甲交换金色卡片，
乙交换金色卡片，则 ．
其中 ，故交换一次不会出现 的情况，而 ，
操作两次甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现 0 张，其概率为 ．（7 分）
（2）（ⅰ）由题意可得 ，
，
则 ， ，（9 分）
所以 ， ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，（14 分）
（ⅱ）由（ⅰ）知 ，所以 ．
的所有可能取值为 0，1，2，
其分布列为
0 1 2
P
从而 ． （17 分）
16 / 16