高一数学月考卷03（新高考通用）【人教A版2019必修二平面向量及其应用 复数 立体几何初步 统计】-2024-2025学年高中下学期第三次月考

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第二册平面向量及其应用+复数+立体几何初步+统计。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．若 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
2．在 中，已知 ，则 C＝（ ）
A．60° B．30° C．30°或 150° D．60°或 120°
3．在 中， 在 上且 ，设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．巴黎奥运会在 2024 年 7 月 27 日至 8 月 12 日举行，在这期间，中国视听大数据（CVB）显示，直播总
观看户次超 46 亿，分天观看户次（亿）分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，
3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第 25 百分位数为（ ）
A．2.03 B．2.21 C．2.12 D．3.55
5．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.
它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图 1）.图 2 是一
个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若 ， ，且圆台的表面积为 ，则该圆台
的高为（ ）
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A． B． C．3 D．
6．在 中， 的对边分别为 ，且满足 ，则 的面积 （ ）
A． B． C． D．
7．已知三棱锥 的四个面均为直角三角形， 平面 ， ， ，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在直角三角形 中， ， ， 是斜边 上的两个动点，且 ，则 取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知数据 的平均数为 ，方差为 ，由 生成新数据
，则（ ）
A．新数据的平均数为
B．新数据的方差为
C．新数据的中位数一定比原数据的中位数大
D．新数据的极差一定比原数据的极差大
10．已知 都是复数，下列选项中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．如图，正方体 的棱长为 1，点 P 是棱 上的一个动点（包含端点），则下列说法不
正确的是（ ）
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A．存在点 P，使 面
B．二面角 的平面角为 60°
C．P 到平面 的距离最大值是
D． 的最小值是
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，其中 14 题第一空 2 分，第二空 3 分．
12．已知一个 利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中 ， ， ，则原
的面积为 .
13．已知向量 .若 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标
为 .
14．某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图），结合地形，他们选择了
， 两地作为测量点.通过测量得知： ， 两地相距 300 米， ， 分别位于 地正东和东偏南 方
向上； ， 和 分别位于 地的北偏东 ， 和南偏东 方向上.则 ， 两地之间的距离为
米；若一辆汽车通过高速公路 段用时约 50 秒，则该辆汽车的车速约为 千米/小时.
（参考数据： ， ， ， ）
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
对任意非零向量 ，定义
(1)若向量 ，求 的值
(2)若单位 向量满足 ，求向量 与 的夹角的余弦值
16．（15 分）
某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了 200 名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分
数据按 ， ， 依次分为第一至第六组（所有评分 x 满足 ）.统计各组频数
并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的 a 值；
(2)求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)从评分低于 70 分的业主中用分层随机抽样的方法抽取 14 人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组
被抽到的业主人数分别是多少?
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17．（15 分）
如图，在直三棱柱 中，所有棱长均为 4，D 是 AB 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的正弦值．
18．（17 分）
已知 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ．
(1)求 B 的大小；
(2)若 ， ，求 外接圆的半径；
(3)若点 M 在线段 AC 上， ， ，求 的最小值．
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19．（17 分）
如图，四棱锥 的底面是边长为 的正方形， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，且 与平面 的夹角为
（i）证明 ；
（ii）求二面角 的正弦值．
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