2024届新高考地区高一下学期期中考试预测卷（范围：平面向量、复数、立体几何）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

这是一份2024届新高考地区高一下学期期中考试预测卷（范围：平面向量、复数、立体几何）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册，文件包含新高考地区高一下学期期中考试预测卷解析版范围平面向量复数立体几何---2023-2024学年高一下数学基础巩固系列人教A版2019必修二docx、新高考地区高一下学期期中考试预测卷学生版范围平面向量复数立体几何---2023-2024学年高一下数学基础巩固系列人教A版2019必修二docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
（考试范围：人教A版（2019） 第六、七、八章）
全卷满分150分，时间120分钟
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填 写在答题卡上。
2. 作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3. 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上， 写在本试卷上无效。
一、单选题 ：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1．能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
2．已知点，，， O 为坐标原点，若与共线，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．如果一个复数的实部与虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知两条直线m，n，两个平面α，，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若且，则
5．在中，已知，设以下说法错误的是（ ）
A．若有两解， B．若有唯一解，
C．若无解， D．当，外接圆半径为10
6．已知两单位向量与的夹角为，则向量与的夹角（ ）
A． B． C． D．
7．3月30号，眉山东坡半程马拉松比赛将在四川眉山举行，为了方便市民观看，万达广场大屏幕届时会滚动直播赛事，已知大屏幕下端离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）（ ）
A． B． C．3D．2
8．如图所示，在棱长为的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9．下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点分别为，下列描述正确的是（ ）
A．
B．
C．若是关于的实系数方程的一个根，则
D．若复数z满足，则的最大值为
11．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体 ABCD 的棱长为4，则下列结论正确的是（ ）
A．勒洛四面体 ABCD 最大的截面是正三角形
B．勒洛四面体 ABCD 的体积大于正四面体 ABCD 的体积
C．勒洛四面体 ABCD 被平面 ABC 截得的截面面积是
D．勒洛四面体 ABCD 四个曲面所有交线长的和为8π
填空题 （共3题）每小题满分5分，共15分。
12．已知是虚数单位，若复数满足，则 ．
13．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为 的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）
14．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
15．（13分）设 a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 的对边，已知，.
（1）求 A 的值；
（2）若，，求 c 的值.
16．（15分）如图，已知三棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，且，．
（1）证明：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
17．（15分）已知向量，设函数.
（1）求的最小正周期
（2）求函数的单调递减区间
（3）求在上的最大值和最小值
18．（17分）用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状､大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形ABCD在平面α内的平行投影是四边形A´B´C´D´.
图
图
图
(1)若平行四边形ABCD平行于投影面（如图1），求证：四边形A´B´C´D´是平行四边形；
(2)在图2中作出平面ABCD与平面α的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；
(3)如图3，已知四边形A´B´C´D´和平行四边形ABCD的面积分别为S1，S2，平面ABCD与平面α的交线是直线l，且这个平行投影是正投影.设二面角A-l-A´的平面角为θ（θ为锐角），猜想并写出角θ的余弦值（用S1，S2表示），再给出证明.
19．（17分）对于非空集合，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”，简记为．而判断是否为一个群，需验证以下三点：
1.（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；
2.（结合律）对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；
3.（恒等元）存在，使得对任意，；
4.（逆的存在性）对任意，都存在，使得．
记群所含的元素个数为，则群也称作“阶群”．若群的“×”运算满足交换律，即对任意，，我们称为一个阿贝尔群（或交换群）．
(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群；
(2)记为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群，并说明理由；
(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群？请说明理由．