高一数学月考卷01（新高考通用，平面向量 解三角形 复数 立体几何）-2024-2025学年高中下学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知复数 满足： ，则复数 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若向量 ， ， ，则 （ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
3．如图， 在△ABC 中， P 是线段 BN 上的一点，若 则实数 m 等于（ ）
A． B． C． D．
4．若 ， 表示两条直线， ， ， 表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
5． 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，则
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的形状是（ ）
A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形 的直观图为梯形 其中
以原四边形 的边 为轴旋转一周得到的几何体体
积为（ ）
A． B．
C． D．
7．在 中， ， ， ，若 ， 且
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在三棱锥 中， 和 均为边长为 的等边三角形，若二面角 的
大小为 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
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9．已知 为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
A．若 ，则 B．若 ．则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．在梯形 中， ， ， ， ，若 为 三条边
上的一个动点，则 的取值可能是（ ）
A． B．18 C．24 D．56
11．如图，正方体 的棱长为 4，F 是 的中点，点 P 为正方形 内一动点（含
边界），则下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥 的体积为定值
B．当 时，点 P 的轨迹长度为
C．当直线 AP 与平面 所成的角为 时，则点 P 的轨迹长度为
D．若直线 平面 ，则点 P 的轨迹长度为
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．某人在静水中游泳，速度为 km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为 4km/h，则
此人实际沿与水流方向成 （填弧度数）方向前进，速度为 km/h
13．在 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，点 D 为线段 AB 的中点， ，
， ，则 ．
14．某商场要悬挂一个棱长为 2 米的正方体物件作为装饰，如图， 、 、 、 为该正方体的顶点， 、
、 为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面 ．若平面 与平面 平行，且点 到 的距离为 2
米，则直绳索 的长度约为 米．（结果精确到 0.01 米）
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）已知向量 ， ，
(1)若 与 夹角为 ，求 ；
(2)若 ，求 的坐标；
(3)若 与 夹角为 ，求 取最小值时 的值．
16．（15 分）已知 的内角 的对边分别为 ，且 的周长为 ．
(1)求 ；
(2)若 ， ， 是 的平分线，且交 于点 ，求 ．
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7．（15 分）如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若异面直线 和 所成角为 ，求点 到平面 的距离.
18．（17 分）如图，在 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，且 ， ， 交于点 .
(1)已知 .
（ⅰ）若 是 所在平面内任意一点，证明： ；
（ⅱ）若 ， ，求 的值；
(2)若 ， ， ，证明： .
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19．（17 分）定义：多面体 在点 处的离散曲率为
，其中 为多面体 的一个顶点，
（ ， 且 ）为多面体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 、平面 、
、平面 和平面 为多面体 的所有以 为公共点的面．如图，在四棱锥 中，
平面 ，底面 为正方形， ， ．
(1)求四棱锥 在顶点 处的离散曲率；
(2)求四棱锥 内切球的表面积；
(3)若 是棱 上的一个动点，求直线 与平面 所成角的取值范围．
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