高考数学二轮复习 专题4 检测 计数原理、概率、离散型随机变量及其分布列、统计与成对数据的分析 【新教材·新高考】

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高考数学二轮复习策略
高考数学二轮复习需要注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。下面是小编精心整理的关于高考数学二轮复习策略，希望对大家有所帮助。
一、高三数学二轮复习要注意明晰一个规则：“一轮靠敬业，二轮靠水平”。
高考数学一轮靠老师勤奋、学生努力；高考数学二轮主要看老师的把握水平(课标、考纲)，研究水平(选题、集体备课)，辅导水平(课堂辅导，课后个辅)。
二、高考数学二轮复习要注意明确两个做法：抓审题，抓个辅
抓审题：让学生说出来，让思维呈现出来。充分调动学生审题、变题能力;
抓个辅：教师要有个辅学生问题清单，让辅导有针对性;个辅全程性，个辅不只在课后，课堂个辅也是关键。
三、高考数学二轮复习要注意坚持三个过关：必须记忆过关;必须限时过关;必须心理过关
1、高考数学每节课必须花5分钟过关记忆性知识。
2、学生训练最大的状态就是能限时过关，应试能力也是数学解题能力，极大限度地减少题海战术。
3、学生最大的障碍就是就是心理问题。
四、高三数学二轮复习要注意避免四个重复：
重复一轮复习老路；重复成套试题训练；重复迷信名校资料；重复个人喜好方向。


专题四检测
计数原理、概率、离散型随机变量及其分布列、统计与成对数据的分析
（时间：120分钟 分值：150分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、（2021·沙坪坝区重庆八中高三模拟）北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为玉衡和天权都没有被选中的概率为，
所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为.故选B.
2、（2021·云南省保山市第九中学高三质检）年调查某桑场采桑人员和不采桑人员的桑毛虫皮炎发病情况，结果如下表所示，利用列联表的独立性检验估计“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关？

采桑
不采桑
合计
患者人数



健康人数



合计



由算得.








参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关
B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”无关
C．有以上的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关
D．有以上的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”无关
【答案】C
【解析】，
因此，有以上的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关.故选C.
3、的展开式中的常数项为（ ）
A．1 B．32 C．192 D．252
【答案】D
【解析】展开式中的常数项，利用组合数计算，
即为，故选D.
4、围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史.围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】记甲以3：0获胜为事件A，甲以3：1获胜为事件B，则A，B互斥，
由题意得，,
所以在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为
.故选A.
5、为了进一步加强对青少年的中华优秀传统文化教育和自然生态保护教育，某市举行了面向中学生的“青少年中华优秀传统文化暨自然生态保护知识大赛”．经层层选拔，学生甲等10名选手进入了决赛，其中决赛的一个环节是从有若干道中华优秀传统文化类试题和自然生态保护类试题中不放回地抽两次，每次抽一道，进行现场回答．已知第一次抽取抽到自然生态保护类试题的概率是，连续两次抽取抽到自然生态保护类试题的概率是，则学生甲在第1次抽到自然生态保护类试题的条件下，第2次抽到自然生态保护类试题的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 设学生甲第1次抽到自然生态保护类试题为事件，第2次抽到自然生态保护类试题为事件，则有，
则学生甲在第1次抽到自然生态保护类试题的条件下，第2次抽到自然生态保护类试题的概率为．故选A.
6．（2021·四川成都市高三三模（文））某市环境保护局公布了该市，两个景区年至年各年的全年空气质量优良天数的数据．现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是（ ）

A．景区这七年的空气质量优良天数的极差为
B．景区这七年的空气质量优良天数的中位数为
C．分别记景区，这七年的空气质量优良天数的众数为，，则
D．分别记景区，这七年的空气质量优良天数的标准差为，，则
【答案】D
【解析】A：景区这七年的空气质量优良天数的极差为，故本选项结论不正确；
B：景区这七年的空气质量优良天数的中位数为，故本选项结论不正确；
C：由折线图可知：，显然，故本选项结论不正确；
D：由折线图可知：景区这七年的空气质量优良天数的数据波动要比景区这七年的空气质量优良天数据波动大，因此，所以本选项结论正确.故选D.
7、（2021·河北高三模拟）每当临近春节时，某酒店便会到处挂满五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀3个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，已知大灯共60个，小灯共205个.若在该酒店的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀3个小灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，某酒店便会到处挂满五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，
一种是大灯下缀3个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，其中大灯共60个，小灯共205个，
设大灯下缀3个小灯的大灯有个，则大灯下缀4个小灯的大灯有个，
则，解得，
即大灯下缀3个小灯的由35个，大灯下缀4个小灯的有个，
若在该酒店的灯球中，随机选取两个灯球，共有
至少有一个灯球是大灯下缀3个小灯包含的基本事件个数为，
所以至少有一个灯球是大灯下缀3个小灯概率为.故选C.
8、（2021·浙江温岭中学高三月考）设，随机变量X的分布列如表所示（ ）
X
0
2a
1
P
a

b

A．E(X)增大D(X)增大
B．E(X)增大D(X)减小
C．E(X)为定值，D(X)先增大后减小
D．E(X)为定值，D(X)先减小后增大
【答案】D
【解析】由题意可得，所以，
　故 E(X)为定值．
，
因为，所以当时，单调递减，
当时，单调递增.故选D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9、设，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于选项A，由，故选项A正确；
对于选项B，可令，可得，令，得，所以，故选项B错误；
对于选项C，令，得，则，故选项C正确；
对于选项D，对两边同时求导数
得，可令，可得，故选项D正确.故选ACD.
10、（2021·辽宁锦州市高三一模）冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续天，每天不超过人体温高于，则称没有发生群体性发热.下列连续天体温高于人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）
A．中位数为，众数为 B．均值小于，中位数为
C．均值为，众数为 D．均值为，标准差为
【答案】BD
【解析】将个数由小到大依次记为、、、、、、.
对于A选项，反例：、、、、、、，满足中位数为，众数为，与题意矛盾，A选项不合乎要求；
对于B选项，假设，即该公司发生了群体性发热，
因中位数为，则，平均数为，矛盾，
故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，B选项合乎要求；
对于C选项，反例：、、、、、、，满足众数为，均值为，与题意矛盾，C选项不合乎要求；
对于D选项，假设，即该公司发生群体性发热，
若均值为，则方差为，即，与D选项矛盾，故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，D选项合乎要求.故选BD.
11、（2021·江苏徐州市高三模拟）已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（ ）
（参考数据：①；
②；
③）
A．这次考试成绩超过100分的约有500人
B．这次考试分数低于70分的约有27人
C．
D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为
【答案】BD
【解析】对于选项A，，，则，所以成绩超过100分的约有人，故选项A错误；
对于选项B，，所以，所以分数低于70分的人数约为0.02275×1200＝27.3，即约为27人，故选项B正确；
对于选项C，，，所以，所以选项C错误；
对于选项D，因为，且至少有2人的分数超过100分的情况如下：①恰好2人时概率为；②3人均超过100分时的概率为，则至少有2人的分数超过100分的概率为，所以选项D正确.故选BD．
12、（2021·山东高三模拟）中华人民共和国第十四届运动会将于2021年9月在陕西省举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，第十四届全国运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有（ ）
A．设事件：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则
B．设事件：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件：“抽取的3人中全是男志愿者”，则
C．用表示抽取的三人中女志愿者的人数，则
D．用表示抽取的三人中男志愿者的人数，则
【答案】ABD
【解析】对A，所有可能的情况有种，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有种，故，故A正确；
对B，，，
所以，故B正确；
对C，可得的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
所以，故C错误.
对D，可得的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
则，，
则，故D正确.故选ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、（2021·四川省成都市双流中学高三下学期三模（理））一名小学生的年龄和身高的数据如下表.由散点图可知，身高(单位：)与年龄(单位：岁)之间的线性回归方程为，预测该学生10岁时的身高约为___________.
年龄x
6
7
8
9
身高y
118
126
136
144

【答案】153
【解析】由题意得，
把代入，得，
所以，
当时，.
14、（2021·广东高三模拟）“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和2个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这2个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有________种．（用数字作答）
【答案】12
【解析】先将个视频进行排序，再将2篇文章进行插空，则共有种排法.
15、中国传统文化博大精深，民间高人更是不计其数．为推动湘西体育武术事业发展，加强全民搏击健身热度，让搏击这项运动融人人们的生活，“2021年中国湘西边城全国拳王争霸赛”于5月2—3日在花垣县体育馆举行．某武术协会通过考核的方式从小郑、小汤、小王三人中挑选人员到现场观看“2021年中国湘四边城全国拳王争霸赛”，已知小郑小汤、小王三人通过考核的概率分别为，，，且三人是否通过考核相互独立，那么这三人中仅有两人通过考核的概率为________．
【答案】
【解析】设这三人中仅有两人通过考核为事件，小郑、小汤、小王三人通过考核分别为事件，，，则，，，
所以，，，
所以．
16、（2021·福建福州市高三二模）购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金50万元.已知该保险每一份保单需要赔付的概率为，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为__________；一年度内盈利的期望为__________万元.（参考数据：）
【答案】0.63 150
【解析】每份保单不需要赔付的概率是，则10万分保单不需要赔付的概率；需赔付的概率是 .
设10万份保单中需赔付的件数，设为，则，则需赔付的保险金为，
则，
则一年内的盈利的期望是（元）=150（万元）.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（10分）（2021·江苏高三模拟）学生视力不良问题突出，是教育部发布的我国首份《中国义务教育质量监测报告》中指出的众多现状之一.习近平总书记作出重要指示，要求全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来.为了落实总书记指示，掌握基层情况，某单位调查了某校学生的视力情况，随机抽取了该校100名学生(男生50人，女生50人)，统计了他们的视力情况，结果如下：

不近视
近视
男生
25
25
女生
20
30
（1）是否有的把握认为近视与性别有关？
附：，其中.

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
（2）如果用这100名学生中男生和女生近视的频率分别代替该校男生和女生近视的概率，且每名学生是否近视相互独立.现从该校学生中随机抽取4人(2男2女)，设随机变量表示4人中近视的人数，试求的分布列及数学期望.
【解析】（1）根据列联表中的数据可得，
根据临界值表可知，没有的把握认为近视与性别有关；
（2）由题意可知男生近视的概率为，女生近视的概率为，的可能取值为0，1，2，3，4，则
，
，
，
，
，
所以的分布列如下：

0
1
2
3
4






于是的数学期望为.
18、（12分）（2021·湖南益阳市箴言中学高三模拟）2021年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作，9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作，例如：9:46，记作时刻46.

（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；
（3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）.假如4日上午9:20~10:40这一时间段内共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）
附：若随机变量T服从正态分布，则，，.
【解析】（1）这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：
，即10:04；
（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组这一区间内的车辆数，即，所以X的可能取值为0，1，2，3，4.
所以，，，，.
所以X的分布列为：

0
1
2
3
4






（3）由（1）得，.
所以，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在通过的车辆数，由
，得
，
所以估计在9:46~10:40之间通过的车辆数为.
19、（12分）（2021·福建莆田市高三二模）某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有两个等级．三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为级时，产品为二等品；其余均为三等品．每一道工序加工结果为级的概率如表一所示，一件产品的利润（单位：万元）如表二所示：
表一
工序
第一工序
第二工序
第三工序
概率



表二
等级
一等品
二等品
三等品
利润
23
8
5
（1）用表示一件产品的利润，求的分布列和数学期望；
（2）因第一工序加工结果为级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加万元（即每件产品利润相应减少万元）时，第一工序加工结果为级的概率增加．问该改良方案对一件产品利润的期望是否会产生影响？并说明理由．
【解析】（1）由题意可知：的可能取值为
产品为一等品的概率为，
产品为二等品的概率为，
产品为三等品的概率为，
所以的分布列为









（2）改良方案对一件产品的利润的期望不会产生影响，理由如下：
由题意可知：改良过程中，每件产品检测成本增加万元，第一工序加工结果为级的概率增加，
设该良后一件产品的利润为，则可能的取值为
所以一等品的概率为，
二等品的概率为，
三等品的概率为，
所以
.
因为，
所以改良方案对一件产品的利润的期望不会产生影响.
20、（12分）（2021·河南洛阳市高三二模（理））某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（、为大于0的常数）.按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取件合格产品，测得数据如下：
尺寸
38
48
58
68
78
88
质量
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸的比
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
（1）现从抽取的件合格产品中再任选件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的期望；
（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如表：








（i）根据所给统计量，求关于的回归方程；
（ii）已知优等品的收益（单位：千元）与、的关系为，则当优等品的尺寸为何值时，收益的预报值最大？
附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.
【解析】（1）由表可知，抽取的件合格产品中有件优等品，
所以，的所有可能取值为、、、，
，，，
，
所以，随机变量的期望为；
（2）（i），，
，，
，，
，
，，所以，，
故关于的回归方程为；
（ii）由（i）知，，
，
当，即时，取得最大值，
21、（12分）（2021·甘肃白银市高三模拟（理））随着移动网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝､微信等APP软件进行扫码支付也日渐流行开来.某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如下表：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
使用扫码支付的人次y(单位：万人)
5
12
16
19
21
（1）观察数据发现，使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式：，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设，利用与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次；
（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状､大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.
（i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；
（ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点的回归直线为相关数据：(其中.
【解析】（1）计算知14.6，
所以=10，
，
所以所求的回归方程为，
当时，(万人次)，
估计2021年该商场使用移动支付的有23万人次；
（2）（i）若选择方案一，设付款金额为X元，则可能的取值为140，160，200，
，
，
故X的分布列为

140
160
200




所以(元)；
（ii）若选择方案二，记需支付的金额为Y元，
则Y的可能取值为160，180，190，
则其对应的概率分别为，
所以，
由（1）知，
故从概率角度看，小张选择方案二付款优惠力度更大.
22、（12分）（2021·湖南长郡中学质检）某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.
（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.
①求的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.
【解析】（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况：
①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；
②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，
故；
若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为，
故；
（2）①由题可知：，
当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列.
所以，即；
②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，
假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，
所以，即购买甲系列的人数的期望为，
所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.