初中数学北师大版（2024）八年级下册因式分解精品测试题

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册因式分解精品测试题，文件包含微专题01因式分解通关专练原卷版docx、微专题01因式分解通关专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
1．（2023上·吉林长春·八年级东北师大附中校考阶段练习）因式分解：
（1）3x3y﹣12x2y+3xy
（2）x3﹣4x
（3）x2﹣2x﹣24
（4）2a2﹣16ab+32b2
【答案】（1）3xy（x2﹣4x+1）；（2）x（x﹣2）（x+2）；（3）（x﹣6）（x+4）；（4）2（a﹣4b）2．
【分析】（1）直接提取公因式3xy，进而分解因式得出答案；
（2）首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；
（3）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；
（4）首先提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：（1）3x3y﹣12x2y+3xy
＝3xy（x2﹣4x+1）；
（2）x3﹣4x＝x（x2﹣4）
＝x（x﹣2）（x+2）；
（3）x2﹣2x﹣24
＝（x﹣6）（x+4）；
（4）2a2﹣16ab+32b2
＝2（a2﹣8ab+16b2）
＝2（a﹣4b）2．
【点睛】本题是对因式分解的综合考查，熟练掌握因式分解的提公因式法及公式法是解决本题的关键.
2．（2023上·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考阶段练习）因式分解．
（1）a2−2ab+b2
（2）8−2x2
（3）4a2x−y+b2y−x
【答案】（1）(a−b)2；（2）2(2+x)(2−x)；（3）(x−y)(2a+b)(2a−b)
【分析】（1）由题意直接根据完全平方差公式即可进行因式分解；
（2）由题意先提取公因式，进而利用平方差公式即可进行因式分解；
（3）根据题意先提取公因式，进而利用平方差公式即可进行因式分解.
【详解】解：（1）a2−2ab+b2
=(a−b)2
（2）8−2x2
=24−x2
=2(2+x)(2−x)
（3）4a2x−y+b2y−x
=(x−y)(4a2−b2)
=(x−y)(2a)2−b2
=(x−y)(2a+b)(2a−b)
【点睛】本题考查整式的因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键．
3．（2023下·山西·八年级统考阶段练习）（1）x3y2−xy4；
（2）m2n−mn2+14n3．，
【答案】（1）xy2x+yx−y；（2）nm−12n2．
【分析】（1）先提取公因式xy2，再运用平方差公式分解；
（2）先提取公因式n，再运用完全平方公式分解．
【详解】解：1原式=xy2x2−y2 =xy2x+yx−y；
2原式=nm2−mn+14n2 =nm−12n2．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
4．（2022上·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）（1）计算：(a+3b)(2a−b);
（2）分解因式：3x2y−6xy+3y．
【答案】（1）2a2+5ab−3b2；（2）3y(x−1)2
【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：（1）(a+3b)(2a−b)
=2a2−ab+6ab−3b2
=2a2+5ab−3b2；
（2）3x2y−6xy+3y
= 3y(x2−2x+1)
= 3y(x−1)2．
【点睛】本题考查了整式的混合运算以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）因式分解3x+y2−x+3y2．小禾通过代入特殊值检验的方法，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)小禾的解答是从第______步开始出错的，错误的原因是____________．
(2)请尝试写出正确的因式分解过程．
【答案】(1)②，y与−3y合并同类项计算错误
(2)8x+yx−y，过程见解析
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）根据平方差公式因式分解时，减去x+3y时，合并同类项出错；
（2）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可求解．
【详解】（1）解：小禾的解答是从第②步开始出错的，错误的原因是y与−3y合并同类项计算错误；
故答案为：②，y与−3y合并同类项计算错误；
（2）解：正确的因式分解过程如下：
3x+y2−x+3y2
=3x+x+3y3x+y−x−3y
=4x+4y2x−2y
=8x+yx−y．
6．（2024上·河南信阳·七年级统考期末） 分解因式∶ a2−4a2−8a2−4a+6．
【答案】a−22a−6a+2
【分析】本题考查的是因式分解，原式整理后，利用十字相乘法分解，再进一步分解即可，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键．
【详解】解：a2−4a2−8a2−4a+6
=a2−4a2−8a2−4a−48
=a2−4a−12a2−4a+4
=a−22a+2a−6；
7．（2023上·山东济宁·八年级统考阶段练习）两位同学将一个关于 x 的二次三项式ax2+bx+c分解因式时，一位同学因看错了一次项系数而分解成2x−1x−9，另一位同学因看错了常数项而分解成2x−2x−4．请求出a，b，c的值，并将这个二次三项式因式分解．
【答案】a=2，b=−12，c=18，2x−32
【分析】本题主要考查了因式分解和多项式乘法，先根据多项式乘法计算法则求出2x−1x−9=2x2−20x+18，据此得到a=2，c=18，再求出2x−2x−4=2x2−12x+16，据此得到b=−12，则原多项式为2x2−12x+18，先提取公因数2，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：2x−1x−9
=2x2−x−9x+9
=2x2−10x+9
=2x2−20x+18，
∵一位同学因看错了一次项系数而分解成2x−1x−9，
∴a=2，c=18；
2x−2x−4
=2x2−2x−4x+8
=2x2−6x+8
=2x2−12x+16，
∵另一位同学因看错了常数项而分解成2x−2x−4，
∴b=−12，
∴原多项式为2x2−12x+18，
2x2−12x+18
=2x2−6x+9
=2x−32
8．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）对于一个三位正整数（各位数字均不为0），若满足十位数字是个位数字与百位数字之和，则称该三位正整数为“夹心数”．将“夹心数”m的百位、个位数字交换位置，得到另一个“夹心数”m′，记F(m)=m−m′99，T(m)=m+m′121．
例如：m=792，m′=297．
F(m)=792−29799=5，T(m)=792+297121=9．
（1）计算F(693)=__________；T(561)=__________．
（2）对“夹心数”m，令s=9T2(m)−4F2(m)，当s=36时，求m的值．
（3）若“夹心数”m满足2F(m)与2T(m)均为完全平方数，求m的值．
【答案】（1）3，6；（2）m=121；（3）m=121，583，484．
【分析】（1）根据题中的定义和例题提供的算法，即可算出结果；
（2）设m=100a+10(a+b)+b=110a+11b，代入 s=9T2(m)−4F2(m)，并进行化简后，根据 s=36的已知条件，求出a、b的值，即可求出m的值；
（3）结合（2）的相关结论，求出a、b的值，即可求出符合条件的m的值．
【详解】解：（1）F(693)=693−39699=3，T(561)=561+165121=6．
故答案为：3；6．
（2）设m=100a+10(a+b)+b=110a+11b，
则m′=100b+10(a+b)+a=11a+110b．
∴F(m)=m−m′99=(110a+11b)−(11a+110b)99=99a−99b99=a−b，
T(m)=(110a+11b)+(11a+110b)121=121a+121b121=a+b．
∴s=9T2(m)−4F2(m)=9(a+b)2−4(a−b)2=[3(a+b)−2(a−b)][3(a+b)+2(a−b)]=(a+5b)(5a+b)．
∵s=36，
∴(a+5b)(5a+b)=36．
∵1≤a≤9,1≤b≤9,2≤a+b≤9,且 a、 b、a+b都是正整数，
∴a+5b≥6，5a+b≥6．
∴{a+5b=65a+b=6，
解得，{a=1b=1．
∴m=110a+11b=110+11=121．
（3）由（2）得，2F(m)=2(a−b)，2T(m)=2(a+b)，
∵a、b、a+b都是1到9的正整数，
∴2(a−b)≥0，4≤2(a+b)≤18．
∵2(a+b)是完全平方数，
∴2(a+b)=4，9，16．
又∵2(a+b)是偶数，
∴2(a+b)=9不合题意，舍去．
∴a+b=2，8．
当a+b=2时，a=b=1，
此时，2(a−b)=0，符合题意；
当a+b=8时，
若a=7，b=1，此时，2(a−b)=12，不合题意，舍去；
若a=6，b=2，此时，2(a−b)=8，不合题意，舍去；
若a=5，b=3，此时，2(a−b)=4，符合题意；
若a=4，b=4，此时，2(a−b)=0，符合题意．
∵m=110a+11b，
∴符合条件的m=121，583，484．
【点睛】本题考查了新定义运算、因式分解、方程组、不等式等知识点和分类讨论的数学思想，解题的关键是围绕新定义的运算法则进行计算是解题的基础，同时需要利用分类讨论时做到不重复不遗漏．
9．（2022下·广东深圳·八年级校考期中）分解因式：
(1)ax2−10ax+25a；
(2)先因式分解，再计算求值：(x−2)2−62−x，其中x=−2．
【答案】(1)a(x−5)2
(2)x−2x+4；-8
【分析】（1）先提公因式，再用因式分解即可．
（2）先因式分解，再求值即可．
【详解】（1）ax2−10ax+25a
=a(x2−10x+25)
=a(x−5)2；
（2）(x−2)2+6(x−2)
=(x−2)(x−2+6)
=(x−2)(x+4)
当x=−2时，原式=(−2−2)(−2+4)
=−8．
【点睛】本题考查因式分解及整式混合运算，选择正确的分解方法是求解本题的关键．
10．（2023上·河南南阳·八年级校考期末）计算或因式分解：
(1)计算：3x2+2−3x+1x−1；
(2)因式分解：x3y+2x2y+xy.
(3)因式分解：x2−9y2+x+3y.
【答案】(1)9
(2)xyx+12
(3)x+3yx−3y+1
【分析】（1）先利用平方差公式计算，再合并同类项；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；
（3）综合运用提公因式法和公式法求解．
【详解】（1）解：3x2+2−3x+1x−1
=3x2+6−3x2−1
=3x2+6−3x2+3
=9
（2）解：x3y+2x2y+xy
=xyx2+2x+1
=xyx+12
（3）解：x2−9y2+x+3y
=x+3yx−3y+x+3y
=x+3yx−3y+1
=x+3yx−3y+1
【点睛】本题考查整式的混合运算、因式分解，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，能够综合运用提公因式法和公式法分解因式．
11．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）因式分解：
(1)ma﹣mb+mc；
(2)(x﹣y)2﹣6(x﹣y)+9．
【答案】(1)m(a﹣b+c)；(2)(x﹣y﹣3)2
【分析】(1)原式提取公因式即可；
(2)把(x﹣y)看作一个整体，利用完全平方公式分解即可．
【详解】(1)ma﹣mb+mc=m(a﹣b+c)；
(2)(x﹣y)2﹣6(x﹣y)+9=(x﹣y﹣3)2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2023下·江苏连云港·七年级连云港市新海实验中学校考期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图2)．
(1)图2中的阴影部分的面积为 ；
(2)观察图2请你写出(a+b)2、(a−b)2、ab之间的等量关系是 ；
(3)根据(2)中的结论，若m+n=5，mn=4，则m−n= ；
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．根据图3，写出一个因式分解的等 ．
【答案】(1)（a+b）2-4ab或（b-a）2；(2)(a+b)2-4ab-(b-a)2；(3) ±3m，(4)3a2+4ab+b2=(a+b)(3a+b)
【分析】（1）阴影部分为边长为（b-a）的正方形，然后根据正方形的面积公式求解；（2）在图2中，大正方形有小正方形和4个矩形组成，则（a+b）2-（a-b）2=4ab；
（3）由（2）的结论得到（x+y）2-（x-y）2=4xy，再把m+n=5，mn=4，代入此方程，得到（x-y）2=9，然后利用平方根的定义求解
（4）观察图形得到长和宽分别为（a+b）与（3a+b）的矩形由3个边长为a的正方形、4个长和宽分别为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，则有3a2+4ab+b2=（a+b）•（3a+b）．
【详解】(1)阴影部分为边长为(b−a)的正方形，所以阴影部分的面积（b−a）2．
故答案为∶ （b−a）2．
(2)图2中，用边长为a+b的正方形的面积减去边长为b−a的正方形等于4个长宽分别a、b的矩形面积，
所以a+b2−a−b2=4ab
故答案为a+b2−a−b2=4ab
(3)∵a+b2−a−b2=4ab
∴把m+n=5，mn=4分别代入，得52−m−n2=4×4
∴m−n2=9，
∴m−n=±3
故答案为±3；
(4) 长和宽分别为(a+b)与(3a+b)的矩形面积为(a+b)(3a+b)，它由3个边长为a的正方形、4个长和宽分别为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，
∴3a2+4ab+b2=a+b3a+b，
故答案为3a2+4ab+b2=a+b3a+b．
【点睛】熟练掌握完全平方公式的变形，以及因式分解的运用是解决本题的关键．
13．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）把下列多项式分解因式：
（1）x−1x−3+1．
（2）x2−2+x−2．
【答案】（1）(x−2)2；（2）(x−2)(x+1)
【分析】（1）原式整理后利用完全平方公式分解即可；
（2）原式提取公因式即可得到结果．
【详解】（1）(x−1)(x−3)+1
=x2−x−3x+3+1
=x2−4x+4
=(x−2)2；
（2）x2−2x+(x−2)
=x(x−2)+(x−2)
=(x−2)(x+1)．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
14．（2022上·甘肃武威·八年级校考期末）分解因式：
(1)3x3−27x；
(2)3x2y−6xy+3y．
【答案】(1)3x(x+3)(x−3)
(2)3y(x−1)2
【分析】（1）先提取公因式3x，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）先提取公因式3y，再利用完全平方公式因式分解即可；
【详解】（1）解：原式=3x(x2−9)
=3x(x+3)(x−3)；
（2）解：原式=3y(x2−2xy+1)
=3y(x−1)2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
15．（2023上·吉林长春·八年级统考期中）分解因式：
(1)−a3+2a2−a
(2)2m+n2−m+n2
【答案】(1)−a(a−1)2
(2)m3m+2n
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键：
（1）先提取公因式−a，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：−a3+2a2−a
=−aa2−2a+1
=−aa−12；
（2）解：2m+n2−m+n2
=2m+n+m+n2m+n−m+n
=2m+n+m+n2m+n−m−n
=m3m+2n．
16．（2023上·山东滨州·八年级校考期中）因式分解：
(1)−2x3+12x2−18x
(2)2x−y−(y−x)2
【答案】(1)−2xx−32
(2)x−y2−x+y
【分析】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．
（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）利用提公因式法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：−2x3+12x2−18x
=−2xx2−6x+9
=−2xx−32；
（2）解：2x−y−(y−x)2
=2x−y−(x−y)2
=x−y2−(x−y)
=x−y2−x+y
17．（2022上·湖北武汉·八年级校考期末）因式分解．
(1)3a2y2−12a3y+12a4；
(2)8ay2−18ax2．
【答案】(1)3a2(y−2a)2
(2)2a(2y+3x)(2y−3x)
【分析】（1）首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；
（2）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：3a2y2−12a3y+12a4
=3a2(y2−4ay+4a2)
=3a2(y−2a)2；
（2）解：8ay2−18ax2
=2a(4y2−9x2)
=2a(2y+3x)(2y−3x).
【点睛】本题考查了提公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法步骤及乘法公式是解题的关键．
18．（2022上·山东淄博·八年级周村二中校考阶段练习）因式分解：
(1)x2−3x+2；
(2)2x(a−4)−(4−a)．
【答案】(1)(x−2)(x−1)；
(2)(a−4)(2x+1)．
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式；
（2）利用提公因式法分解因式．
【详解】（1）x2−3x+2=(x−2)(x−1)；
（2）2x(a−4)−(4−a)
=2x(a−4)+(a−4)
=(a−4)(2x+1)．
【点睛】本题主要考查了因式分解，利用多项式的特征灵活运用分解因式的方法是解决问题的关键．
19．（2024上·广西柳州·八年级统考期末）分解因式：a3−4a2+4a．
【答案】aa−22
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：原式=aa2−4a+4=aa−22．
20．（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）因式分解：
(1)x2−5x−6=______
(2)3a2−27
(3)x+2y2−8xy
【答案】(1)x−2x−3．
(2)3a+3a−3
(3)x−2y2
【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法即可解题．
（1）本题利用十字相乘法进行因式分解即可．
（2）本题先提公因式，再利用公式法进行因式分解即可．
（3）本题先打开括号进行合并同类项，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：x2−5x−6=x−2x−3，
故答案为：x−2x−3．
（2）解：3a2−27=3a2−9=3a+3a−3．
（3）解：x+2y2−8xy
=x2+4xy+4y2−8xy
=x2−4xy+4y2
=x−2y2．
21．（2023上·河南信阳·八年级河南省淮滨县第一中学校考阶段练习）分解因式：
(1)8a3−8a2+2a
(2)7a3−28a
【答案】(1)2a2a−12
(2)7aa+2a−2
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）先提取公因式2a，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因式7a，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：8a3−8a2+2a
=2a4a2−4a+1
=2a2a−12；
（2）解：7a3−28a
=7aa2−4
=7aa+2a−2．
22．（2023上·河南濮阳·九年级校考阶段练习）因式分解：
（1）a3b−ab3
（2）x2+y22−4x2y2
【答案】（1）ab(a+b)(a−b)；（2） (x+y)2(x−y)2 ．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差分解因式即可；
（2）先利用平方差公式因式分解，再根据完全平方公式分解即可．
【详解】解：（1）a3b−ab3=ab(a2−b2)=ab(a+b)(a−b)；
（2）(x2+y2)2−4x2y2=(x2+y2+2xy)(x2+y2−2xy)=(x+y)2(x−y)2．
【点睛】本题考查了因式分解，因式分解的一般步骤是“一提二看三检查”，注意分解要彻底．
23．（2023下·湖南益阳·七年级校考期中）因式分解：
(1)24x2y−12xy2+6xy；
(2)−4y2−16y−16．
【答案】(1)6xy4x−2y+1
(2)−4y+22
【分析】（1）提公因式6xy，即可求解；
（2）先提公因式−4，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．
【详解】（1）解：24x2y−12xy2+6xy
=6xy4x−2y+1，
（2）解：−4y2−16y−16
=−4y2+4y+4
=−4y+22．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
24．（2023上·广西钦州·八年级统考期末）（1）计算：（6x2﹣8xy）÷2x；
（2）分解因式：a3﹣6a2+9a．
【答案】(1) 3x﹣4y (2) a（a﹣3）2
【详解】试题分析：（1）利用多项式除以单项式的运算法则计算即可；（2）提取公因式a后，再利用完全平方公式分解因式即可.
试题解析：
（1）原式=2x（3x﹣4y）÷2x
=3x﹣4y
（2）原式=a（a2﹣6a+9）
=a（a﹣3）2
25．（2023下·江苏·七年级校考周测）分解因式：
(1)9ax2−ay2
(2)2x3y+4x2y2+2xy3
【答案】(1)a3x+y3x−y
(2)2xyx+y2
【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解；
（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】（1）解：9ax2−ay2
=a9x2−y2
=a3x+y3x−y
（2）2x3y+4x2y2+2xy3
=2xyx2+2xy+y2
=2xyx+y2
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
26．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由x+px+q=x2+p+qx+pq得，x2+p+qx+pq=x+px+q；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+1+2x+1×2．
解：x2+3x+2=x+1x+2
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：x2+7x+12=________；
(2)分解因式：x2−32+x2−3−2=________；
【答案】(1)x+3x+4；
(2)x+1x−1x+2x−2．
【分析】此题考查了利用十字相乘法进行因式分解，弄清题中的分解因式的方法是解题的关键．
（1）根据所给材料信息即可求解；
（2）先将x2−3看作一个整体进行因式分解，随后再对每一个因式进一步分解即可；
【详解】（1）解：这个式子的常数项12=3×4，一次项系数7=3+4，
∴x2+7x+12=x2+3+4x+3×4，
∴x2+7x+12=x+3x+4，
故答案为：x+3x+4；
（2）先把x2−3看成整体，
则x2−32+x2−3−2
=x2−3+2x2−3−1
=x2−1x2−4
=x+1x−1x+2x−2．
故答案为：x+1x−1x+2x−2．
27．（2023下·江苏盐城·七年级校考阶段练习）因式分解：
（1）3x−6
（2）4x2−9
（3）4a(c−d)+2b(d−c)
（4）x3−4x2y+4xy2
【答案】（1）3x−2；（2）2x+32x−3；（3）2c−d2a−b；（4）xx−2y2
【分析】（1）原式提取公因式即可得到结果；
（2）原式利用平方差公式分解即可；
（3）原式提取公因式即可．
（4）原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：（1）原式=3x−2
（2）原式=2x+32x−3
（3）原式=22a(c−d)-b(c−d)=2c−d2a−b
（4）原式=xx2−4xy+4y2=xx−2y2
【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
28．（2023下·山东济南·八年级统考期中）因式分解：①m3n−mn，②ax2−4ax+4a．
③a2(a−b)2−b2(a−b)2，④(x+1)2−4x(x+1)+4x2．
【答案】①原式=mn(m+1)(m−1)；②原式=a(x−2)2；③原式=(a−b)3(a+b)；④原式=(x−1)2．
【详解】试题分析：
①本题多项式的各项有公因式，先提公因式“m”，再用“平方差”公式分解；
②本题多项式的各项有公因式，先提公因式“a”，再用“完全平方”公式分解；
③本题多项式的各项有公因式，先提公因式“(a−b)2”，再用“平方差”公式分解；
④本题把“(x+1)”看着一个整体，把“4x2”化成“(2x)2”，就可用“完全平方公式”分解；
试题解析：
①原式=mn(m2−1)
=mn(m+1)(m−1)．
②原式=a(x2−4x+4)=a(x−2)2．
③原式=(a−b)2(a2−b2)=(a−b)2(a+b)(a−b)=(a−b)3(a+b)．
④原式=(x+1−2x)2=(−x+1)2=(x−1)2．
点睛：对多项式进行因式分解时，首先要看多项式各项有没有公因式，有公因式的一定要先提出公因式，再看第二个因式能不能用公式法或十字相乘法作进一步的分解，要直到每个因式在指定范围内不能再分解为止，即分解要彻底.
29．（2023下·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）阅读材料：求1+2+22+23+24+···+22019的值．
解：设s=1+2+22+23+24+···+22018+22019，将等式两边同时乘2，得
2S=2+22+23+24+25+···+22019+22020将下式减去上式，得
2S-S=22020−1，
即S=22020−1
请你仿照此法计算下面各题
（1）1+2+22+23+24+···+210
（2）1+3+32+33+34+···+3n（其中n为正整数）
【答案】（1）211−1；（2）123n+1−1．
【分析】（1）利用例题的方法将原式进行变形进而可以得出答案；
（2）仿照例题的思路进行变形即可．
【详解】解：（1）设S=1+2+22+23+24+···+210，将等式两边同时乘2，得
2S=2+22+23+24+···+210+211将下式减去上式，得
2S−S=211−1，
即S=211−1
∴结果为211−1
（2）设S=1+3+32+33+34+···+3n，将等式两边同时乘3，得
3S=3+32+33+34+···+3n+3n+1将下式减去上式，得
3S−S=3n+1−1，
即2S=3n+1−1，
∴S=123n+1−1，
∴结果为123n+1−1
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，提取公因式法分解因式，正确将式子进行变形是解题的关键．
30．（2023上·四川南充·八年级四川省南充市白塔中学校考阶段练习）（1）计算： a6⋅(−a)3+(−2a3)3+14a13÷2a4
（2）分解因式：a2(x−y)+4(y−x)
【答案】（1）−2a9；（2）a+2a−2(x−y)
【分析】（1）先根据积的乘方法则去掉括号，再利用同底数幂的乘法和除法法则计算即可；
（2）先提公因式x−y，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：（1）原式=a6·−a3+−8a9+7a9
=−a9+−8a9+7a9
=−2a9；
（2）原式=a2(x−y)−4(x−y)
=a2−4(x−y)
=a+2a−2(x−y)．
【点睛】本题考查整式乘除运算、因式分解，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．
31．（2023下·山东临沂·七年级统考期末）分解因式：
（1）x3−x （2）-2x+x2+1
【答案】⑴x（x+1）（x—1）； ⑵(x-1)2
【详解】分析：（1）先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
（2）可直接用完全平方公式分解.
详解：（1）x3−x
=x(x²-1)
= x（x+1）（x—1）
（2）-2x+x2+1
=x2-2x +1
=(x-1)2
点睛：此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
32．（2023上·湖北省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）因式分解：
（1）3a2﹣6ab＋3b2
（2） （x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4）＋1
【答案】（1）3(a−b)2；（2）(x2+5x+5)2．
【分析】（1）先提取公因式，然后利用公式法进行因式分解即可；
（2）先利用乘法交换律进行变换，然后根据多项式乘以多项式分两组计算，将x2+5x看作一个整体，继续进行多项式乘法运算，最后运用公式法进行因式分解即可．
【详解】解：（1）3a2−6ab+3b2，
=3(a2−2ab+b2)，
=3(a−b)2；
（2）x+1x+2x+3x+4+1，
=x+1x+4x+2x+3+1，
=x2+5x+4x2+5x+6+1，
=(x2+5x)2+10x2+5x+25，
=(x2+5x+5)2．
【点睛】题目主要考查因式分解的方法提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
33．（2023上·辽宁盘锦·八年级校考期中）分解因式：
(1)9a2x−y+4b2y−x
(2)a+b2−4a+b−1
【答案】(1)（x−y3a+2b3a−2b．
(2)a+b−22．
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．
（1）先变形，再提公因式，最后逆用平方差公式．
（2）先变形，再逆用完全平方公式．
【详解】（1）解：9a2x−y+4b2y−x
=9a2x−y−4b2x−y
=x−y9a2−4b2
=x−y3a+2b3a−2b
（2）解：a+b2−4a+b−1
=a+b2−4a+b+4
=a+b−22．
34．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）先分解因式，再求值：
(1)25x0.4−y2−10yy−0.42，其中x=0.04，y=2.4；
(2)已知a+b=2，ab=2，求12a3b+a2b2+12ab3的值；
(3)利用简便方法计算：5032+1006×502+5022−10062．
【答案】(1)−92
(2)4
(3)−2011
【分析】（1）先根据提公因式法因式分解，再代入值即可；
（2）先将原式提公因式，转化为完全平方式的形式，代入值即可；
（3）将原式按照平方差公式和完全平方公式进行转化，再计算即可．
【详解】（1）解：25x0.4−y2−10yy−0.42
=5y−0.425x−2y
当x=0.04，y=2.4时
原式=5×2.4−0.42×5×0.04−2×2.4
=5×4×0.2−4.8
=20×−4.6
=−92；
（2）解：∵a+b=2，ab=2，
∴12a3b+a2b2+12ab3
=12aba2+2ab+b2
=12aba+b2
=12×2×22
=4；
（3）解：5032+1006×502+5022−10062
=5032+2×503×5022+5022−10062
=503+5022−10062
=10052−10062
=1005−10061005+1006
=−2011．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握公式的形式是解题的关键．
35．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2=−1，这个数i叫做虚数单位．那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：2+i+3−4i=5−3i．
i3=i⋅i⋅i=i2⋅i=−1⋅i=−i；
(1+i)(2+3i)=1×2+1⋅3i+i⋅2+i⋅3i=2+3i+2i+3⋅i2=2+3i+2i+3×(−1)=−1+5i．
(1)填空：i5=______，2i4=______；
(2)计算：①2+i2−i；②2+i2；
(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：x+3y+3i=1−x −yi，（x，y为实数），求x+y2的值．
(4)试一试：请你参照i2=−1这一知识点，将m2+25（m为实数）因式分解成两个复数的积．
【答案】(1)i；2
(2)①5；②3+4i
(3)14
(4)m+5im−5i
【分析】（1）根据题中虚数定义和整式中的同底数幂的乘法运算法则求解即可；
（2）①利用整式的平方差公式和题中虚数定义求解即可；②利用整式的完全平方公式和题中虚数定义求解即可；
（3）根据复数相等列二元一次方程组求得x、y值，再代值求解即可；
（4）根据虚数定义和整式的平方差公式分解因式即可求解．
【详解】（1）解：i5=i2⋅i2⋅i=−1×−1×i=i，
2i4=2i2⋅i2=2×−1×−1=2，
故答案为：i；2；
（2）解：①2+i2−i =22−i2=4−−1=5；
②2+i2
=22+2×2×i+i2
=4+4i−1
=3+4i；
（3）解：由题意，得x+3y=1−x3=−y，解得x=5y=−3，
∴x+y2=5+−32=14；
（4）解：∵i2=−1，
∴m2+25
=m2−25i2
=m+5im−5i．
【点睛】本题考查整式的运算、因式分解、解二元一次方程组、代数式求值，理解题中虚数定义和复数的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似并灵活运用是解答的关键．
36．（2023上·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）把下列多项式分解因式：
(1)5x2−5y2
(2)(x−1)(x−3)+1；
【答案】(1)5(x+y)(x−y)
(2)(x−2)2
【分析】（1）先提取公因式，然后运用平方差公式分解因式即可；
（2）先计算多项式乘以多项式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：5x2−5y2
=5(x2−y2)
=5(x+y)(x−y)；
（2）解：x−1x−3+1
=x2−4x+3+1
=x2−4x+4
=(x−2)2．
【点睛】本题考查提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
37．（2023上·河南驻马店·八年级统考期末）阅读下面的问题，然后回答．
分解因式：x2+2x−3，
解：原式=x2+2x+1−1−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−4 =(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)
上述因式分解的方法称为配方法．
请体会配方法的特点，用配方法分解因式：4x2+12x−7
【答案】2x−12x+7
【分析】根据题目意思利用完全平方公式：a+b2=a2+2ab+b2，将4x2+12x配成完全平方，再根据平方差公式：a2−b2=a+ba−b，进行因式分解即可.
【详解】解：原式=4x2+12x+9−9−7
=4x2+12x+9−16=2x+32−16=2x+3−42x+3+4=(2x−1)2x+7
【点睛】本题主要考查的是对题目的理解，利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解，掌握这两个公式是解题的关键.
38．（2023下·山东济南·八年级统考期末）分解因式：
(1) a(m－2)＋b(2－m)． (2) y3＋4x2y－4xy2
【答案】（1）(m−2)(a−b)；（2）y(2x−y)2．
【分析】（1）直接利用提取公因式法即可得；
（2）综合利用提取公因式法和公式法即可得．
【详解】（1）原式=a(m−2)−b(m−2)，
=(m−2)(a−b)；
（2）原式=y(y2+4x2−4xy)，
=yy2−4xy+(2x)2，
=y(2x−y)2．
【点睛】本题考查了利用提取公因式法和公式法分解因式，因式分解的主要方法包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．
39．（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）分解因式
（1）3x−12x3
（2）x2−4(x−1)
【答案】（1）3x(1−2x)(1+2x)；（2）(x−2)2.
【分析】（1）先提取公因式3x，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案；
（2）先去括号，再根据完全平方公式进行分解即可．
【详解】(1)原式=3x(1−4x2)=3x(1−2x)(1+2x)
(2)原式=x2−4x+4=(x−2)2.
【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握运算法则.
40．（2023下·湖南岳阳·七年级统考期末）因式分解：
（1）3x2﹣3y2；
（2）ab2﹣4ab+4a．
【答案】（1）3(x+y)(x﹣y)；（2）a(b﹣2)2
【分析】（1）先提公因式3，再用平方差公式分解因式；
（2）先提公因式a，再用完全平方公式分解因式．
【详解】解：（1）原式＝3（x2﹣y2）
＝3（x+y）（x﹣y）；
（2）原式＝a（b2﹣4b+4）
＝a（b﹣2）2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握a2-b2=（a+b）（a-b），a2±2ab+b2=（a±b）2是解题的关键．
41．（2023·山东威海·八年级校联考期中）把下列各式分解因式：
（1）4a2b2-（a2+b2）2
（2）（x2-1）2+6（1-x2）+9．
【答案】（1）-（a+b）2（a-b）2；（2）（x+2）2（x-2）2．
【分析】（1）原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可； （2）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．
【详解】（1）原式=（2ab+a2+b2）（2ab-a2-b2）=-（a+b）2（a-b）2；
（2）原式=（x2-1-3）2=（x+2）2（x-2）2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
42．（2023上·江苏·八年级校考开学考试）把下面各式分解因式：（1）ax3－9ax；
（2）x2＋2x(x－3y)＋(x－3y)2．
【答案】（1）ax（x+3）（x-3）；（2）（2x-3y）2．
【分析】（1）根据提公因式法，平方差公式，可得答案；
（2）根据完全平方公式，可得答案．
【详解】（1）原式=ax（x2-9）=ax（x+3）（x-3）；
（2）原式=[ x+（x-3y）]2=（2x-3y）2．
【点睛】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．
43．（2022上·八年级课时练习）计算：
(1)(x+y)2−(x+y)(x−y)；
(2)(x−2y+1)(x+2y+1)．
【答案】(1)2y(x+y)；
(2)x2+2x+1−4y2．
【分析】（1）提取公因式(x+y)，再将剩余的一项合并同类项化简即可；
（2）根据平方差公式展开，再将完全平方公式展开计算即可．
【详解】（1）解：(x+y)2−(x+y)(x−y)，
=(x+y)x+y−(x−y)，
=(x+y)(x+y−x+y)，
=2y(x+y)；
（2）解：(x−2y+1)(x+2y+1)，
=(x+1−2y)(x+1+2y)，
=(x+1)2−4y2，
=(x2+2x+1)−4y2，
=x2+2x+1−4y2．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练掌握提公因式，完全平方公式，平方差公式对式子进行简便计算．
44．（2022上·山西晋城·八年级统考期末）（1）计算：20202−2018×2022．
（2）计算：(x−2y)2+(x−2y)(x+2y)−2x(2x−y)÷2x
（3）因式分解：−2x3+4x2−2x
（4）因式分解：(x−1)(x−3)+1
【答案】（1）4；（2）−x−y；（3）−2xx−12；（4）x−22
【分析】（1）将2018×2022改写成2020−2×2020+2，再利用平方差公式进行计算即可得；
（2）先计算括号内的乘法公式、单项式乘以多项式，再计算括号内的加减法，然后计算多项式除以单项式即可得；
（3）先提取公因式−2x，再利用完全平方公式进行因式分解即可得；
（4）先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后利用完全平方公式进行因式分解即可得．
【详解】解：（1）原式=20202−2020−2×2020+2
=20202−20202−22
=20202−20202+22
=4；
（2）原式=x2−4xy+4y2+x2−4y2−4x2+2xy÷2x
=−2x2−2xy÷2x
=−x−y；
（3）原式=−2xx2−2x+1
=−2xx−12；
（4）原式=x2−3x−x+3+1
=x2−4x+4
=x−22．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行运算、整式的混合运算、因式分解，熟练掌握各运算法则和公式是解题关键．
45．（2023上·江西赣州·八年级校考期末）阅读理解：
（1）特例运算：①（x+1）（x+2）＝ ；
②（x+3）（x﹣1）＝ ；
（2）归纳结论：（x+a）（x+b）＝x2+（ ）x+ ；
（3）尝试运用：直接写出计算结果（m+99）（m﹣100）＝ ；
（4）解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解：
①x2﹣5x+6＝ ；
②x2﹣3x﹣10＝ ．
（5）拓展延伸：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ．
【答案】（1）①x2+3x+2；②x2+2x﹣3；（2）a+b；ab；（3）m2﹣m﹣9900；（4）①（x﹣2）（x﹣3）；②（x﹣5）（x+2）；（5）﹣7，﹣2，2，7
【分析】（1）各式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用得出的规律计算即可求出值；
（4）利用十字相乘法分解即可；
（5）根据十字相乘法求出p的所有可能值即可．
【详解】解：（1）特例运算：①（x+1）（x+2）＝x2+3x+2；
②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；
（2）归纳结论：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab；
（3）尝试运用：直接写出计算结果（m+99）（m﹣100）＝m2﹣m﹣9900；
（4）解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解：
①x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；
②x2﹣3x﹣10＝（x﹣5）（x+2）；
（5）拓展延伸：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是﹣7，﹣2，2，7，
故答案为（1）①x2+3x+2；②x2+2x﹣3；（2）a+b；ab；（3）m2﹣m﹣9900；（4）①（x﹣2）（x﹣3）；②（x﹣5）（x+2）；（5）﹣7，﹣2，2，7
【点睛】考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
46．（2023上·江西·九年级统考期中）因式分解：
（1）-2m+4m2-2m3 ； （2）a2﹣b2﹣2a+1；
（3）(x-y)2-9(x+y)2 ；
【答案】（1）-2m(m-1)²；(2) （a﹣1+b）（a﹣1﹣b）;(3) -4(2x+y)(x+2y).
【分析】1、可将-2m提取出来即可得出.2、可以先将一个完全平方式提取出来，即可得出答案.3、可先将式子乘出来，再合并同类项，提出-4，即可得出答案.
【详解】（1）原式=-2m(m-1)² .
（2）解：a2﹣b2﹣2a+1=（a2﹣2a+1）﹣b2=（a﹣1）2﹣b2=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．
(3)原式=-4(2x+y)(x+2y).
【点睛】本题考查了多项式化简合并，熟悉掌握多项式的花间合并是解决本题的关键.
47．（2023下·广东佛山·八年级统考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题．如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2题由图1外阴影部分排成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．

(1)请直接用含a和b的代数式表示S1=___________，S2=___________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：___________（用式子表达）．
(2)请依据（1）得到的公式计算：2+122+124+128+1+1．
(3)请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
【答案】(1)a2−b2，a+ba−b，a2−b2= a+ba−b
(2)216
(3)见解析
【分析】（1）用大正方形的面积减去小正方形的面积即可求出S1，根据长方形的面积公式即可求出S2，根据两个图形中的阴影部分面积相等即可得出相应的公式；
（2）根据（1）中得到的平方差公式解答即可；
（3）设两个相邻的奇数为2n−1,2n+1（n为自然数），根据平方差公式解答即可．
【详解】（1）由题意可得：S1=a2−b2，S2=a+ba−b，
根据阴影部分面积相等可得公式：a2−b2= a+ba−b，
故答案为：a2−b2，a+ba−b，a2−b2= a+ba−b；
（2）2+122+124+128+1+1
=2−12+122+124+128+1+1
=22−122+124+128+1+1
=24−124+128+1+1
=28−128+1+1
=216−1+1
=216；
（3）证明：设两个相邻的奇数为2n−1,2n+1（n为自然数），
则2n+12−2n−12
=2n+1+2n−12n+1−2n+1
=4n×2
=8n；
所以任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确理解题意、熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
48．（2022下·陕西西安·八年级校考期末）如图，在一个边长为a米的正方形铁皮的四角各剪去一个边长为b(b