北师大版（2024）八年级下册因式分解精品课后测评

这是一份北师大版（2024）八年级下册因式分解精品课后测评，文件包含专题01因式分解知识串讲+13大考点原卷版docx、专题01因式分解知识串讲+13大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。

知识一遍过
（一）因式分解的定义
（1）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
（2）因式分解的定义注意事项：
①分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
②因式分解必须是恒等变形；
③因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
④因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
（二）因式分解的方法
（1）提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
【提公因式法的注意事项】
①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
④查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
（2）公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
② 完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
（3）十字相乘：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
（三）因式分解的步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
考点一遍过
考点1：因式分解的定义
典例1：（2023上·河南信阳·八年级统考阶段练习）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a2−4+a=a+2a−2+aB．a2+4a−4=(a−2)2
C．a2+b=aa+bD．a2+4a+3=a+1a+3
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断即可得到答案，掌握因式分解的定义是解题的关键．
【详解】解：A．等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式左右不相等，故本选项不符合题意；
C．等式左右不相等，故本选项不符合题意；
D．等式右边是整式积的形式，是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式1】（2022下·陕西西安·八年级校考期中）观察下列各式从左到右的变形：①a+ba−b=a2−b2；②a2−b2−1=a+ba−b−1；③4a+6x=22a+3x；④a2−2ab+b2=a−b2；⑤a2+1=aa+1a．其中是分解因式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐个判断即可得．
【详解】解：①是多项式的乘法，不是分解因式；
②等号右边不是积的形式，不是分解因式；
③是分解因式；
④是分解因式；
⑤含分式，不是分解因式；
综上，是分解因式的有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解，熟记因式分解的定义是解题关键．
【变式2】（2023下·湖北武汉·八年级统考开学考试）下列从左边到右边的变形是因式分解的是( )
①15x2y=3x⋅5xy； ②x+yx−y=x2−y2；
③m2−2m+1=m−12； ④x2−3x+1=xx−3+1x．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可．
【详解】解；15x2y=3x⋅5xy，不是因式分解，故①错误；
x+yx−y=x2−y2，不是因式分解，故②错误；
m2−2m+1=m−12，是因式分解，故③正确；
x2−3x+1=xx−3+1x，1x不是整式，故④错误，
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解是指把多项式转化成整式乘积的形式是解题的关键．
【变式3】（2023下·甘肃酒泉·八年级统考期中）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A．a+1a−1=a2−1B．a2−2a+1＝aa−2+1
C．am+bm+na+nb=ma+b+na+b D．x2−y2=x−yx+y）
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：选项A是计算展开形式，不是因式分解形式，不符合题意；
选项B因式分解错误，不符合题意；
选项C因式分解不够彻底，不符合题意；
选项D是因式分解形式，符合题意，
故选：D
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的概念是解题关键．
考点2：由因式分解求字母
典例2：（2023下·山东枣庄·八年级统考阶段练习）已知多项式x+81b4可以分解为4a2+9b22a+3b3b−2a，则x的值是（ ）
A．16a4B．−16a4C．4a2D．−4a2
【答案】B
【分析】本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出x的值．
【详解】解：根据题意可得：4a2+9b22a+3b3b−2a=x+81b4，
∵4a2+9b22a+3b3b−2a
=−4a2+9b22a+3b2a−3b
=−4a2+9b24a2−9b2
=−16a4−81b4
=−16a4+81b4，
∴x=−16a4，
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难．
【变式1】（2023下·甘肃兰州·八年级校考期中）若2x+5x−2是多项式2x2−mx−20因式分解的结果，则m的值为（ ）．
A．−3B．3C．−6D．6
【答案】C
【分析】先计算2x+5x−2=2x2+6x−20，由2x2−mx−20=2x2+6x−20即可求得m的值．
【详解】解：∵2x+5x−2=2x2+6x−20，
由题意得，2x2−mx−20=2x2+6x−20，
∴−m=6，
∴m=−6，
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，因式分解的定义，熟练掌握多项式的运算法则是解题的关键．
【变式2】（2022·上海静安·统考二模）如果把二次三项式x2+2x+c分解因式得x2+2x+c=x−1x+3，那么常数c的值是（ ）
A．3B．-3C．2D．-2
【答案】B
【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解．
【详解】解：∵x2+2x+c=x−1x+3
∴x2+2x+c=x2+2x−3
故c=−3
故选B
【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．
【变式3】（2022下·重庆·八年级重庆南开中学校考期中）如果x−2是多项式x2−4x+k的一个因式，则k的值为（ ）
A．-4B．4C．5D．8
【答案】B
【分析】设x2−4x+k=x−2x+a，然后利用多项式乘法法则计算，得到的式子与x2−4x+k的对应项的系数相同，据此即可求得a，k的值．
【详解】解：设x2−4x+k=x−2x+a=x2+−2+ax+−2a，
则−2+a=−4−2a=k，
解得：a=−2k=4．
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解与整式乘法的关系，根据x−2是多项式x2−4x+k的一个因式，设x2−4x+k=x−2x+a是解题的关键．
考点3：因式分解的几何证明
典例3：（2022上·山东淄博·八年级统考期中）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+p+qx+pq=x+px+q．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（ ）

A．a+b2a+bB．a+b3a+bC．a+ba+3bD．a+ba+2b
【答案】D
【分析】本题考查因式分解的应用，能够根据所给的单项式画出几何图形，利用等积法进行因式分解是解题的关键．
【详解】解：a2+3ab+2b2=a+ba+2b，

故选：D．
【变式1】（2023上·山东济南·八年级统考期末）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ）

A．a2+2ab+b2=a+ba+bB．a2+3ab+2b2=a+2ba+b
C．a2−b2=a+ba−bD．2a2+3ab+b2=2a+ba+b
【答案】B
【分析】用两种方法表示大长方形的面积即可得出答案．
【详解】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成，
∴大长方形的面积为a2+3ab+2b2，
另外大长方形可以看作一般长为a+2b宽为a+b的长方形组成，
∴大长方形的面积为a+2ba+b，
∴可以得到一个因式分解的等式为a2+3ab+2b2=a+2ba+b，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了用图形法进行因式分解，解题的关键是数形结合，用两种方法表示大长方形的面积．
【变式2】（2023下·浙江宁波·七年级统考期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．观察如图的长方形，可以得到的因式分解是（ ）
A．(a+b)(2a+b)=2a2+3ab+b2B．2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b)
C．2a2+5ab+2b2=(a+2b)(2a+b)D．2a2+4ab+2b2=2(a+b)2
【答案】C
【分析】运用组合图形的思路求整体的面积，另直接求整体图形面积，进而得到因式分解．
【详解】运用组合图形的思路求整体的面积=2a2+5ab+2b2，直接求矩形面积=(a+2b)(2a+b)
∴2a2+5ab+2b2=(a+2b)(2a+b)
故选：C
【点睛】本题考查图形的面积与因式分解，掌握数形结合思想是关键．
【变式3】（2023上·山东青岛·八年级统考期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式，例如图①可以得到用完全平方公式进行因式分解的等式a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，如图②是由4个长方形拼成的一个大的长方形，用不同的方式表示此长方形的面积，由此不能得到的因式分解的等式是（ ）
A．a（m＋n）＋b（m＋n）＝（a＋b）（m＋n）
B．m（a＋b）＋n（a＋b）＝（a＋b）（m＋n）
C．am＋bm＋an＋bn＝（a＋b）（m＋n）
D．ab＋mn＋am＋bn＝（a＋b）（m＋n）
【答案】D
【分析】由面积的和差关系以及S长方形ABCD＝（a+b）（m+n）求解即可
【详解】解：如图②，S长方形ABCD＝（a+b）（m+n），
A．S长方形ABCD＝S长方形ABFH+S长方形HFCD＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n），不符合题意；
B．S长方形ABCD＝S长方形AEGD+S长方形BCGE＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n），不符合题意；
C．S长方形ABCD＝S长方形AEQH+S长方形HQGD+S长方形EBFQ+S长方形QFCG＝am+bm+an+bn＝（a+b）（m+n），不符合题意；
D．不能得到ab+mn+am+bn＝（a+b）（m+n），故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，整式乘法与图形的面积，数形结合是解题的关键．
考点4：因式分解——提公因式
典例4：（2023上·山西临汾·八年级校考期末）已知a+3b=1，ab=−4，则a2b+3ab2=（ ）
A．−4B．−3C．3D．4
【答案】A
【分析】此题考查了求代数式的值，解题的关键是整体代入并计算．
先对a2b+3ab2进行提公因式，再代入求值即可．
【详解】a2b+3ab2
=aba+3b，
∵a+3b=1，ab=−4，
∴原式=−4×1=−4，
故选：A．
【变式1】（2024上·辽宁盘锦·八年级统考期末）用提公因式法分解因式4xn+1−12xn+32xn−1时，提取的公因式是（ ）
A．4xn+1B．4xnC．4xn−1D．4x
【答案】C
【分析】本题主要考查了分解因式，找到多项式中三个项的公因式即可得到答案．
【详解】解：用提公因式法分解因式4xn+1−12xn+32xn−1时，提取的公因式是4xn−1，
故选C．
【变式2】（2023下·全国·八年级假期作业）多项式3m(x−y)−2(y−x)因式分解的结果是（ ）
A．(x−y)(3m+2)B．(x−y)(3m−2)C．(y−x)(−3m+2)D．(y−x)(3m−2)
【答案】A
【解析】略
【变式3】（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）把多项式1+x1−x−1−x，提取公因式1−x后，余下的部分是（ ）
A．(x+1)B．−(x+2)C．xD．(x+2)
【答案】C
【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式1−x即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键．
【详解】1+x1−x−1−x=1−x1+x−1=x1−x，
则余下的部分是x．
故选：C．
考点5：因式分解——平方差公式
典例5：（2023·安徽·模拟预测）将3mn−12nm3进行因式分解，正确的是（ ）
A．3mn1−4m2B．3mn(1−2m)2
C．3mn1+2m1−2mD．mn2−4m2
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法和公式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．
【详解】3mn−12nm3=3mn1−4m2=3mn1+2m1−2m，
故选：C．
【变式1】（2024上·山东泰安·八年级统考期末）分解因式：64−x2正确的是( )
A．(8−x)2B．(8−x)(8+x)
C．(x−8)(x+8)D．(32+x)(32−x)
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】解：64−x2 = (8−x)(8+x)，
故选：B．
【变式2】（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A．x2+y2B．−x2+y2C．−x2−y2D．x3−y3
【答案】B
【分析】本题考查了运用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的形式x2−y2=x+yx−y是解题关键．
【详解】解：由题意得：只有B选项能用平方差公式分解因式，
故选：B
【变式3】（2024上·河北保定·八年级统考期末）若n为任意整数，则2n+12−2n−12的值不一定能（ ）
A．被2整除B．被4整除C．被6整除D．被8整除
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式分解因式后可得结论．将原式分解因式为2n+12−2n−12=8n，然后进行判断即可．
【详解】解：2n+12−2n−12
=2n+1+2n−12n+1−2n−1
=2n+1+2n−12n+1−2n+1
=8n，
∴2n+12−2n−12的值一定能被2、4、8整除，不一定能被6整除．
故选：C．
考点6：因式分解——完全平方公式
典例6：（2024上·四川乐山·八年级统考期末）已知正方形的面积是x2−8x+16x>4，则正方形的周长是（ ）
A．4−xB．x−4C．16−4xD．4x−16
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式，先求出正方形的边长是x−4，进而可得出答案．
【详解】解：∵x2−8x+16=x−42，
∴正方形的边长是x−4，
∴正方形的周长是4x−4=4x−16，
故选：D．
【变式1】（2024上·福建厦门·八年级统考期末）运用公式a2−2ab+b2=a−b2直接对整式9x2−12x+4进行因式分解，则公式中的a可以是（ ）
A．3xB．9xC．3x2D．9x2
【答案】A
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：9x2−12x+4=3x−22，
∴a=3x或a=−2，
故选：A
【变式2】（2023上·山东济南·八年级统考期中）若4x2+k+1x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（ ）
A．±6B．±12C．−13或11D．13或−11
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，根据题意，得4x2+k+1x+9=2x±32，列式计算即可．
【详解】根据题意，得4x2+k+1x+9=2x±32，
∴k+1=12或k+1=−12，
解得k=−13或k=11．
故选C．
【变式3】（2024上·广东广州·八年级统考期末）已知多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（ ）
A．4B．8C．−8D．±8
【答案】D
【分析】本题考查因式分解，熟知完全平方公式a2±2ab+b2=a±b2是解答的关键．
【详解】解：∵多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解，
∴由x2+ax+16=x2±2x⋅4+42得a=±8，
故选：D
考点7：因式分解——十字相乘法
典例7：（2024上·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期末）下列多项式中是多项式x2−4x+3的因式的是（ ）
A．x−1B．xC．x+2D．x+3
【答案】A
【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握十字乘法是解本题的关键．
【详解】解：x2−4x+3=x−1x−3；
∴x−1是多项式x2−4x+3的因式；
故选A
【变式1】（2024上·安徽阜阳·八年级统考期末）多项式a2−5a−6因式分解的结果是（ ）
A．(a−2)(a+3)B．(a−6)(a+1)C．(a+6)(a−1)D．(a+2)(a−3)
【答案】B
【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法求解即可．
【详解】a2−5a−6=a−6a+1，
故选：B．
【变式2】（2023上·上海浦东新·七年级校联考期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为x2−9，乙与丙相乘的积为x2+x−6，则甲与丙相减的结果是( )
A．−5B．5C．1D．−1
【答案】D
【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．
【详解】解：∵甲与乙相乘的积为x2−9=(x+3)(x−3)，乙与丙相乘的积为x2+x−6=x−2(x+3)，甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数，
∴甲为x−3，乙为x+3，丙为x−2，
则甲与丙相减的差为：(x−3)−x−2=−1；
故选：D
【变式3】（2024上·天津红桥·八年级统考期末）把多项式m2+mn−6n2分解因式，其结果是（ ）
A．m+3nm+2nB．m+3nm−2n
C．m−3nm+2nD．m−3nm−2n
【答案】B
【分析】本题主要考查了分解因式．利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：m2+mn−6n2=m+3nm−2n，
故选：B．
考点8：平方差公式因式分解应用——整除问题
典例8：（2023上·陕西延安·八年级校联考阶段练习）若m为任意整数，则3m+22−9m2的值总能（ ）
A．被4整除B．被3整除C．被5整除D．被6整除
【答案】A
【分析】本题考查因式分解的应用，用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．
【详解】解：3m+22−9m2 =3m+2+3m3m+2−3m=26m+2=43m+1，
43m+1的值总能被4整除，
因此3m+22−9m2的值总能被4整除，
故选A．
【变式1】（2023上·福建泉州·八年级校联考期中）已知416−1可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．12，14B．13，15C．14，16D．15，17
【答案】D
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由题意易得416−1=48+144+142+14+14−1，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：
416−1
=48+148−1
=48+144+144−1
=48+144+142+142−1
=48+144+142+14+14−1
=17×15×48+144+1，
∴这两个数是15和17；
故选D．
【变式2】（2023下·山西太原·八年级统考期末）下列各数中，能整除20232−9的是( )
A．2023B．2024C．2025D．2026
【答案】D
【分析】根据平方差公式将其分解即可得出因数．
【详解】解：20032−9
=20032−32
=(2023+3)(2023−3)
=2026×2020
∵含有因数2026，
∴能被2026整除．
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【变式3】（2023下·河北石家庄·七年级校考阶段练习）若n为任意整数，n+112−n2的值总能被m整除，m≠1，则m为（ ）
A．11B．22C．11的倍数D．11或22
【答案】A
【分析】把n+112−n2利用平方差公式分解因式即可得到答案.
【详解】解：∵n+112−n2=n+11+nn+11−n=112n+11，
∴n+112−n2是11的倍数，
∴n+112−n2的值总能被11整除，
故选A
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解本题的关键.
考点9：完全平方公式因式分解应用——三角形形状
典例9：（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考周测）若a，b，c为△ABC的三边长且a2+b2−12a−12b+72=0则△ABC的形状为（ ）三角形.
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数的和为0，得出a=b，即可求解．
【详解】解：∵a2+b2−12a−12b+72=0
∴a2−12a+36+b2−12b+36=0
即a−62+b−62=0
∴a=b=6
∴△ABC是等腰三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，等腰三角的定义，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式1】（2022上·福建泉州·八年级统考期末）已知：a、b、c满足a2−2b=7，b2−2c=−1，c2−6a=−17，则以a、b、c为边长的三角形是个（ ）三角形
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根据a2−2b=7，b2−2c=−1，c2−6a=−17，求出a、b、c的值即可做出判断．
【详解】解：∵a2−2b=7，b2−2c=−1，c2−6a=−17，
∴a2−2b+b2−2c+c2−6a=7−1−17
即a2−2b+b2−2c+c2−6a+11=0
∴a2−6a+9+b2−2b+1+c2−2c+1=0
∴a−32+b−12+c−12=0
∴a=3,b=c=1
∴以a、b、c为边长的三角形是个等腰三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查配方法及非负式和为零成立的条件，熟记等腰三角形定义是解决问题的关键．
【变式2】（2020上·江苏南通·八年级校考期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+c2=2b(a+c−b)，则此三角形是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定
【答案】A
【分析】先移项，将等式右边化为0，再结合完全平方公式及平方数的非负性解题即可．
【详解】∵a2+c2=2b(a+c−b)
∴a2+c2+b2+b2−2ab−2bc=0
∴(a−b)2+(b−c)2=0
∴a=b=c
∴△ABC是等边三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解的应用、等边三角形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式3】（2022上·云南昭通·八年级统考期末）已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2−2ba+c=0，则此三角形是（ ）
A．等腰直角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不能确定
【答案】B
【分析】先将a2+2b2+c2−2ba+c=0运用公式法进行因式分解，再根据非负数的性质求解即可．
【详解】解：a2+2b2+c2−2ba+c=0，
(a−b)2+(b−c)2=0，
∴a−b=0,b−c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形，
故选：B．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握利用公式法进行因式分解、非负数的性质是解答此题的关键．
考点10：因式分解综合——整体法
典例10：（2022上·山东淄博·八年级统考期中）阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2−4y2+2x−4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：9x2−9x+3y−y2；
(2)已知△ABC的三边a、b、c满足a2−b2−ac+bc=0，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】(1)(3x−y)(3x+y−3)
(2)△ABC为等腰三角形；理由见解析
【分析】（1）先用平方差公式与提公因式法分组分解，然后根据整体思想提公因式即可；
（2）将a2−b2−ac+bc=0通过因式分解化为a−ba+b−c=0；由三角形的三边关系可知a+b−c>0；所以a−b=0，即a=b，从而得出结论；
【详解】（1）解：9x2−9x+3y−y2
=9x2−y2−9x−3y
=3x−y3x+y−33x−y
=3x−y3x+y−3
（2）解：依据分组分解法，得
a2−b2−ac−bc=0
a−ba+b−ca−b=0
a−ba+b−c=0
根据三角形三边关系，易得a+b−c>0
∴a−b=0
∴a=b
∴△ABC为等腰三角形
【点睛】本题考查了因式分解、等腰三角形的判定；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【变式1】（2022下·湖南永州·七年级校考期中）因式分解：
(1)2x3−4x2y+2xy2
(2)(m+n)(m+n−4)+4[提示：把m+n看成一个整体]
【答案】(1)2x(x−y)2
(2)(m+n−2)2
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平公式分解因式；
（2）将m+n看做一个整体，去括号后，再利用完全平方公式分解因式．
【详解】（1）解： 2x3−4x2y+2xy2，
=2xx2−2xy+y2，
=2xx−y2
（2）解：(m+n)(m+n−4)+4，
=(m+n)2−4(m+n)+4，
=(m+n−2)2．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，提公因式法和完全平方公式法分解因式，把m+n看成一个整体是解本题的关键．
【变式2】（2022下·福建漳州·八年级校联考期中）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．
对于x2+5x+2x2+5x+3−12．
解法一：设x2+5x=y，则原式=y+2y+3−12=y2+5y−6
=y+6y−1=x2+5x+6x2+5x−1=x+2x+3x2+5x−1；
解法二：设x2+2=m，5x=n，则原式=m+nm+n+1−12=m+n2+m+n−12
=m+n+4m+n−3=x2+5x+6x2+5x−1=x+2x+3x2+5x−1．
请按照上面介绍的方法解决下列问题：
(1)因式分解：x2−4x+1x2−4x+7+9；
(2)因式分解：x+y−2xyx+y−2+xy−12；
(3)求证：多项式x+1x+2x+3x+6+x2的值一定是非负数．
【答案】(1)（1）x−24
(2)x−121−y2
(3)见解析
【分析】（1）仿照题意方法一、二求解即可；
（2）仿照题意方法二求解即可；
（3）先把多项式化成x2+7x+6x2+5x+6+x2，然后仿照题意方法二得到原式=x2+6x+62，由此即可得答案．
【详解】（1）解：解法一：设x2−4x=y，
则原式=y+1y+7+9
=y2+8y+16
=y+42
=x2−4x+42
=x−24；
方法二：设x2+1=m，−4x=n，
则原式=m+nm+n+6+9
=m+n2+6m+n+9
=m+n+32
=x2+1−4x+32
=x2−4x+42
=x−24；
（2）解：设x+y=m，xy=n，
则原式=m−2nm−2+n−12
=m2−2mn−2m+4n+n2−2n+1
=m2−2mn−2m+n−12
=m2−2mn+1+n+12
=m−n−12
=x+y−xy−12
=x−121−y2；
（3）解：x+1x+2x+3x+6+x2
=x2+7x+6x2+5x+6+x2，
设x2+6=m，x=n，
则原式=m+7nm+5n+n2
=m2+12mn+36n2
=m+6n2
=x2+6x+62，
∵x2+6x+62≥0，
∴x+1x+2x+3x+6+x2≥0，
∴多项式x+1x+2x+3x+6+x2的值一定是非负数．
【点睛】本题主要考查了因式分解，正确理解题意是解题的关键．
【变式3】（2022上·贵州遵义·八年级统考期末）阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明：
a2+2ab+b2
=a2+ab+ab+b2……裂项（即把一项分裂成两项）
=(a2+ab)+(ab+b2)……分组
=a(a+b)+b(a+b)……组内分解因式
=(a+b)(a+b)……整体思想提公因式
=(a+b)2
由此得到：a2+2ab+b2=(a+b)2公式的证明．
(1)仿照上面的方法，证明：a2−2ab+b2=(a−b)2
(2)分解因式：x3−3x2+2
(3)已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2+2c2=2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)x3−3x2+2=(x−1)(x2−2x−2)
(3)△ABC为等边三角形，理由见解析
【分析】（1）模仿题干中的步骤证明即可；
（2）先裂项x3−3x2+2=x3−x2−2x2+2，再提取公因式(x−1)即可；
（3）利用完全平方公式的非负性求解即可．
【详解】（1）解：a2−2ab+b2
=a2−ab−ab+b2……裂项（即把一项分裂成两项）
=(a2−ab)−(ab−b2)……分组
=a(a−b)−b(a−b)……组内分解因式
=(a−b)(a−b)……整体思想提公因式
=(a−b)2
由此得到：a2−2ab+b2=(a−b)2公式的证明．
（2）解：x3−3x2+2
=x3−x2−2x2+2
=x2(x−1)−2(x−1)(x+1)
=(x−1)(x2−2x−2)
（3）解：△ABC为等边三角形，理由如下：
a2+b2+2c2=2ac+2bc
a2+b2+c2+c2=2ac+2bc
a2−2ac+c2+b2−2bc+c2=0
(a−c)2+(b−c)2=0
∴a−c=0,b−c=0
∴a=c,b=c，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．
【点睛】本题考查了完全平方公式的证明，因式分解、完全平方公式的非负性，解题的关键是读懂题干信息，模仿题干步骤进行解答．
考点11：因式分解综合——添项、拆项
典例11：（2023上·河南新乡·八年级校考期中）阅读与思考：
任务：
(1)请根据以上阅读材料补全对a3+b3因式分解的过程．
(2)已知a+b=4，ab=−8，求a3+b3的值．
【答案】(1)a+ba2−ab+b2
(2)160
【分析】本题考查因式分解，代数式求值．读懂题干，理解题意，掌握因式分解的方法是解题关键．
（1）在题干的基础上再提取公因式a+b，整理求解即可；
（2）由（1）可知求出a2−ab+b2的值即可求出a3+b3的值．将a2−ab+b2变形为a+b2−3ab，再代入a+b和ab的值即得出a2−ab+b2的值，由此即得出结果．
【详解】（1）解：a3+b3
=a3+a2b−a2b+b3
=a3+a2b−a2b−b3
=a+b⋅a2−ba+b⋅a−b
=a+b⋅a2−ba−b．
=a+ba2−ab+b2；
（2）解：∵a2−ab+b2
=a+b2−3ab
=42−3×−8
=40，
∴a3+b3=a+ba2−ab+b2=4×40=160．
【变式1】（2023下·安徽池州·七年级统考期中）【阅读理解】
对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=(x+a)2，但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接用公式法了．
我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：x2+2ax−3a2=x2+2ax+a2−a2−3a2 =x2+2ax+a2−4a2=(x+a)2−(2a)2 =x+a+2ax+a−2a=x+3ax−a
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
(1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式x2+2ax−8a2分解因式．
(2)运用材料中的添（拆）项法分解因式：a4+a2b2+b4．
【答案】(1)(x+4a)(x−2a)
(2)(a2+b2+ab)(a2+b2−ab)
【分析】（1）根据实例同加同减一项配完全平方，再根据公式法因式分解即可得到答案；
（2）根据实例同加同减一项配完全平方，再根据公式法因式分解即可得到答案；
【详解】（1）解：原式=x2+2ax+a2−8a2−a2
=（x2+2ax+a2）−9a2
=(x+a)2−9a2
=(x+a+3a)(x+a−3a)
=(x+4a)(x−2a)；
（2）解：原式=a4+a2b2+b4+a2b2−a2b2
=（a4+2a2b2+b4）−a2b2
=（a2+b2）2−a2b2
=(a2+b2+ab)(a2+b2−ab)；
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是读懂题目的实例，配完全平方．
【变式2】（2022下·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期末）阅读并解决问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成x+a2的形式．但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax−3a2=x2+2ax+a2−a2−3a2=x+a2−2a2=x+3ax−a．像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题．
(1)利用“配方法”分解因式：a2−4a−12；
(2)19世纪的法国数学家苏菲热门解决了“把x4+4分解因式”这个问题：x4+4=x4+4x2+4−4x2=x2+22−4x2=x2+22−2x2=x2+2x+2x2−2x+2．请你把x4+64y4因式分解；
(3)若m2−4mn+5n2−8n+16=0，求m和n的值；
(4)利用配方法求t2+1t2的最小值，并说明理由．
【答案】(1)（a+2）（a-6）；
(2)x2+8y2+4xyx2+8y2−4xy
(3)m=8，n=4；
(4)最小值为2
【分析】（1）多项式加上4再减去4，利用完全平方公式及平方差公式分解因式；
（2）多项式加上16x2y2再减去16x2y2，利用平方差公式分解即可；
（3）将5n2拆成4n2与n2，再利用完全平方公式分解因式求出m、n；
（4）将多项式加上2再减去2，利用完全平方公式分解因式，再根据式子的特点解答．
【详解】（1）a2−4a+4−4−12
＝a−22−16
=（a-2+4）（a-2-4）
=（a+2）（a-6）；
（2）x4+64y4
=x4+16x2y2+64y4−16x2y2
=x2+8y22−16x2y2
=x2+8y2+4xyx2+8y2−4xy
（3）∵m2−4mn+5n2−8n+16=0，
∴m2−4mn+4n2+n2−8n+16=0，
m−2n2+n−42=0
∴m-2n=0，n-4=0，
解得m=8，n=4；
（4）t2+1t2
=t2−2+1t2+2
=t−1t2+2，
当t=1t时，t2+1t2有最小值为
【点睛】此题考查了添项法或拆项法分解因式，正确理解题中分解因式的方法，添加适当的项或拆分项分解因式，以及掌握因式分解的方法是解题的关键．
【变式3】（2022上·山西·八年级统考期末）阅读与思考
任务：
(1)请根据以上阅读材料补充完整对a3+b3因式分解的过程．
(2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求a3+b3的值．
【答案】(1)a+ba2−ab+b2
(2)a3+b3=32
【分析】（1）在题干的基础上再提取公因式a+b，整理即可；
（2）由（1）可知求出a2−ab+b2的值即可求出a3+b3的值．将a2−ab+b2变形为a+b2−3ab，再代入a+b和ab的值即得出a2−ab+b2的值，由此即得出结果．
【详解】（1）a3+b3=a3+a2b−a2b+b3
=a3+a2b−a2b−b3
=a+b⋅a2−ba+b⋅a−b
=a+b⋅a2−ba−b．
=a+ba2−ab+b2；
（2）∵a2−ab+b2
=a+b2−3ab
=22−3×−4
=16
∴a3+b3=a+ba2−ab+b2=2×16=32．
【点睛】本题考查因式分解，代数式求值．读懂题干，理解题意，掌握因式分解的方法是解题关键．
考点12：因式分解综合——分组分解
典例12：（2022上·八年级单元测试）把多项式x2−y2−2x−4y−3因式分解之后，正确的是（ ）
A．(x+y−3)(x−y−3)B．(x+y−1)(x−y+3)
C．(x+y−3)(x−y+1)D．(x+y+1)(x−y−3)
【答案】D
【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定．
【详解】解：x2−y2−2x−4y−3
=x2−2x+1−y2+4y+4
=x−12−y+22
=x−1+y+2x−1−y−2
=(x+y+1)(x−y−3)
故选：D．
【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．
【变式1】（2023下·全国·八年级专题练习）用分组分解法将x2−xy+2y−2x分解因式，下列分组不恰当的是（ ）
A．x2−2x+2y−xyB．x2−xy+2y−2x
C．x2+2y+−xy−2xD．x2−2x−xy−2y
【答案】C
【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A．x2−xy+2y−2x
=x2−2x+2y−xy
=xx−2−yx−2
=x−2x−y，故选项A分组正确，不符合题意；
B．x2−xy+2y−2x
=x2−xy+2y−2x
=x2−xy−2x−2y
=xx−y−2x−y
=x−yx−2，故选项B分组正确，不符合题意；
C．x2−xy+2y−2x =x2+2y+−xy−2x无法进行分组分解，故选项C分组错误，符合题意；
D．x2−xy+2y−2x
=x2−2x−xy−2y
=xx−2−yx−2
=x−2x−y，故选项D分组正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法．
【变式2】（2022上·河南三门峡·八年级校考期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．x2−2xy+y2−4=x2−2xy+y2−4=(x−y)2−22=(x−y−2)(x−y+2)
B．x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−22=(x+1−2)(x+1+2)=(x−1)(x+3)
C．−4a2+9b2=(3b−2a)(2a+3b)
D．x4−8x2+16=x2−42
【答案】D
【分析】根据因式分解的方法分别判断即可．
【详解】解：A．x2−2xy+y2−4=x2−2xy+y2−4=(x−y)2−22=(x−y−2)(x−y+2)，正确；
B．x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−22=(x+1−2)(x+1+2)=(x−1)(x+3)，正确；
C．−4a2+9b2=(3b−2a)(2a+3b)，正确；
D．x4−8x2+16=x2−42=x+2x−22，原式分解不彻底，故不正确；
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
【变式3】（2022上·重庆合川·八年级统考期末）下列因式分解中错误的是（ ）
A．x2−8xy+16y2=x−4y2B．xy−x+y−1=x+1y−1
C．x2−4x−5=x−1x+5D．16x4−1=4x2+12x+12x−1
【答案】C
【分析】根据完全平方公式，分组分解法，十字相乘法，平方差公式因式分解即可
【详解】解：A. x2−8xy+16y2=x−4y2 ，故该选项正确，不符合题意；
B. xy−x+y−1=x+1y−1，故该选项正确，不符合题意；
C. x2−4x−5=x+1x−5，故该选项不正确，符合题意；
D. 16x4−1=4x2+12x+12x−1，故该选项正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
考点13：因式分解综合——阅读理解
典例13：（2024上·河南安阳·八年级统考期末）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x−3．
原式=x2+2x+1−1−3=(x+1)2−4=x+1+2x+1−2=x+3x−1；
例如：求代数式2x2+4x−6的最小值．
原式=2x2+4x−6=2x2+2x−3=2(x+1)2−8．
∵(x+1)2≥0，
∴当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：x2−4x−21=______；
(2)当x为何值时，多项式12x2−5x+6有最小值，并求出这个最小值；
(3)当a=______，b=______时，多项式a2+b2−6a+8b+28有最小值，最小值是______．
【答案】(1)x+3x−7
(2)x=5时，最小值为−132
(3)3，−4，3
【分析】本题考查配方法的应用，
（1）根据材料用配方法分解因式即可；
（2）根据材料用配方法求出最小值即可；
（3）对多项式a2+b2−6a+8b+28利用配方法求出最小值即可．
【详解】（1）解：x2−4x−21=x2−4x+−22−21−4=x−22−52=x+3x−7，
故答案为：x+3x−7；
（2）解：12x2−5x+6=12x2−10x+12=12x−52−132
∵(x−5)2≥0，
∴当x=5时，12x2−5x+6有最小值，最小值是−132．
（3）解：原式=a2−6a+b2+8b+28
=a2−6a+−32+b2+8b+42+28−9−16
=a−32+b+42+3
∴当a=3,b=−4时，a2+b2−6a+8b+28有最小值，最小值是
故答案为：3，−4，
【变式1】（2023上·辽宁鞍山·八年级统考期中）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2−mn+2m−2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2−mn+2m−2n=m2−mn+2m−2n=mm−n+2m−n=m−nm+2．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)因式分解：a3−3a2−4a+12；
(2)已知m+n=5,m−n=1，求m2−n2+2m−2n的值．
【答案】(1)a−3a−2a+2
(2)7
【分析】本题考查了因式分解的新方法，及其应用．
(1)根据方法，适当分组分解即可．
(2)先因式分解，后代入求值即可．
【详解】（1）a3−3a2−4a+12=a2a−3−4a−3
=a−3a2−4
=a−3a−2a+2．
（2）m2−n2+2m−2n
=m+nm−n+2m−n
=m−nm+n+2，
又m+n=5,m−n=1，
故原式=1×5+2=7．
【变式2】（2024上·河南商丘·八年级统考期末）［阅读材料］
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组．二是“2+2”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“3+1”分组；若无法构成，则采用“2+2”分组．
例如：am+bm+an+bn=am+bm+an+bn=ma+b+na+b=a+bm+n；
x2+2x+1−4=x2+2x+1−4=x+12−22=x+1−2x+1+2=x−1x+3．
［应用知识］
（1）因式分解：a2−ab+bc−ac．
（2）因式分解：−a2−6ab−9b2+9．
［拓展应用］
（3）已知一三角形的三边长分别是a，b，c，且满足：2a2=c2a−c+b2a−b．试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）a−ba−c；（2）3+a+3b3−a−3b；（3）这个三角形为等边三角形．理由见解析
【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用．
（1）利用“2+2”分组，再利用提公因式法分解即可；
（2）利用“3+1”分组，先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解即可；
（3）整理后，利用“2+2”分组，再利用完全平方公式分解得到a−c2+a−b2=0，根据非负数的性质求解即可．
【详解】解：（1）a2−ab+bc−ac=a2−ab+bc−ac
=aa−b+cb−a
=aa−b−ca−b
=a−ba−c；
（2）−a2−6ab−9b2+9
=−a2+6ab+9b2+9
=−a+3b2+9
=32−a+3b2
=3+a+3b3−a−3b；
（3）这个三角形为等边三角形．
理由：∵2a2=c2a−c+b2a−b，
∴2a2=2ac−c2+2ab−b2，
∴2a2−2ac+c2−2ab+b2=0，
∴a2−2ac+c2+a2−2ab+b2=0，
∴a−c2+a−b2=0．
∵a−c2≥0，a−b2≥0，
∴a−c=0,a−b=0，
∴a=b=c，
∴这个三角形是等边三角形．
【变式3】（2024上·云南昆明·八年级统考期末）教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：x2+2x−3
解：原式=x2+2x+1−1−3=x+12−4=x+1+2x+1−2=x+3x−1
再如：求代数式x2+2x−3的最小值．
解：原式=x2+2x+1−1−3=x+12−4
又∵x+12是一个非负数，
∴x+12≥0．
∴x+12−4≥−4．
可知当x=−1时，x2+2x−3有最小值，最小值是−4．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：x2−4x−5=______；（直接写出结果）
当x=______时，多项式x2−4x−5有最小值，这个最小值是______；
(2)利用配方法，已知a，b，c为△ABC的三条边，a2+5b2+c2−4ab−6b−10c+34=0，求△ABC的周长．
【答案】(1)x+1x−5；2；−9
(2)14
【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，完全平方公式，
（1）先利用十字相乘法分解因式即可；再将多项式配方，根据题例解答即可；
（2）将等式配方后，利用非负数的性质求出a，b，c的值，进而求解即可；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）x2−4x−5=x+1x−5，
x2−4x−5=x2−4x+4−9=x−22−9，
∵x−22是一个非负数，
∴x−22≥0．
∴x−22−9≥−9．
可知当x=2时，x2−4x−5有最小值，这个最小值是−9；
故答案为：x+1x−5，2，−9；
（2）∵a，b，c为△ABC的三条边，a2+5b2+c2−4ab−6b−10c+34=0，
∴a2+4b2−4ab+b2−6b+9+c2−10c+25=0，
∴a−2b2+b−32+c−52=0，
∴a−2b=0b−3=0c−5=0，
∴a=6b=3c=5，
∴△ABC的周长为6+3+5=14．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022上·八年级单元测试）把多项式x2−y2−2x−4y−3因式分解之后，正确的是（ ）
A．(x+y−3)(x−y−3)B．(x+y−1)(x−y+3)
C．(x+y−3)(x−y+1)D．(x+y+1)(x−y−3)
【答案】D
【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定．
【详解】解：x2−y2−2x−4y−3
=x2−2x+1−y2+4y+4
=x−12−y+22
=x−1+y+2x−1−y−2
=(x+y+1)(x−y−3)
故选：D．
【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．
2．（2023上·四川宜宾·八年级统考期末）已知M是含字母的单项式，下列哪一个M不能使多项式4x2+M+1构成某一个多项式的平方（ ）
A．4xB．−4xC．4x4D．−4x4
【答案】D
【分析】将选项逐个代入，然后根据完全平方公式将原式进行因式分解，从而进行判断.
【详解】解：A. 4x，4x2+4x+1=(2x+1)2，故此选项不符合题意
B. −4x，4x2−4x+1=(2x−1)2，故此选项不符合题意
C. 4x4，4x2+4x4+1=(2x2+1)2，故此选项不符合题意
D. −4x4，4x2−4x4+1=−(4x4−4x2−1)，此选项符合题意
故选：D
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
3．（2022下·浙江金华·七年级统考期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a2+4a−21=a(a+4)−21B．a2+4a−21=(a−3)(a+7)
C．a2+4a−21=(a+3)(a−7)D．a2+4a−21=(a+2)2−25
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断．
【详解】解：A．原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
C．a2+4a−21=(a−3)(a+7)，原式分解错误，故本选项不符合题意；
D．原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解，因式分解与整式的乘法互为逆运算，要注意区分．
4．（2023·江西南昌·八年级阶段练习）多项式8a2b+2ab中各项的公因式是（ ）
A．2abB．abC．2D．8a2b
【答案】A
【分析】根据公因式的概念，找出多项式各项的公因式即可．
【详解】解：多项式8a2b+2ab中各项的公因式是2ab，
故选：A．
【点睛】此题考查了公因式，找公因式的方法为：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一个式子中出现的字母不能作为公因式的一个因式．
5．（2023下·八年级单元测试）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．4x2−4x+1B．x2+2x−1C．x2+xy+2y2D．9+x2−4x
【答案】A
【分析】利用完全平方公式进行分解逐一判断，即可解答．
【详解】解：A、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故A符合题意；
B、x2+2x+1＝（x+1）2，故B不符合题意；
C、x2+xy+14y2＝（x+12y）2，故C不符合题意；
D、9+x2﹣6x＝（x﹣3）2，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
6．（2023上·湖北咸宁·七年级统考期中）已知c＜a＜b＜0，若M＝|a（a﹣c）|，N＝|b（a﹣c）|，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＜NB．M＝NC．M＞ND．不能确定
【答案】C
【分析】方法一：根据整式的乘法与绝对值化简，得到M-N=（a﹣c）（b﹣a）＞0，故可求解；
方法二：根据题意可设c=-3，a=-2，b=-1，再求出M，N，故可比较求解．
【详解】方法一：∵c＜a＜b＜0，
∴a-c＞0，
∴M＝|a（a﹣c）|=- a（a﹣c）
N＝|b（a﹣c）|=- b（a﹣c）
∴M-N=- a（a﹣c）-[- b（a﹣c）]= - a（a﹣c）+ b（a﹣c）=（a﹣c）（b﹣a）
∵b-a＞0，
∴（a﹣c）（b﹣a）＞0
∴M＞N
方法二： ∵c＜a＜b＜0，
∴可设c=-3，a=-2，b=-1，
∴M＝|-2×（-2+3）|=2，N＝|-1×（-2+3）|=1
∴M＞N
故选C．
【点睛】此题主要考查有理数的大小比较与因式分解得应用，解题的关键求出M-N=（a﹣c）（b﹣a）＞0，再进行判断．
7．（2022下·江苏宿迁·七年级统考期末）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是( )
A．a+1a−1=a2−1B．ab+ac+1=ab+c+1
C．6ab=2a⋅3bD．a2−8a+16=a−42
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义逐项分析判断即可，因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式．
【详解】解：A. a+1a−1=a2−1，不是因式分解，故该选项不符合题意；
B. ab+ac+1=ab+c+1，不是因式分解，故该选项不符合题意；
C. 6ab=2a⋅3b，不是因式分解，故该选项不符合题意；
D. a2−8a+16=a−42，是因式分解，故该选项符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式分解为几个整式的积的形式．
8．（2022·广东江门·统考一模）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+b2B．a2−4b2C．a2−2ab+b2D．−a2−b2
【答案】B
【分析】根据平方差公式的特点分析解答．
【详解】解：因式分解的平方差公式为a2−b2=a+ba−b，
能运用平方差公式分解因式的是a2−4b2，
故选：B．
【点睛】此题考查了因式分解的方法：平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键．
9．（2022·河北邢台·校考三模）分解因式：b3−4b=（ ）
A．bb2−4B．bb+2b−2C．bb−22D．bb−42
【答案】B
【分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：b3−4b=bb2−4=bb+2b−2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法，准确计算．
10．（2022上·福建厦门·八年级统考期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．(x+1)(x−1)=x2−1B．x2+2x+1=(x+1)2
C．x2+2x−1=x(x+2)−1D．x(x−1)=x2−x
【答案】B
【分析】直接利用因式分解的定义进行判断即可得出答案．
【详解】解：A、(x+1)(x−1)=x2−1，属于整式乘法，故A不符合题意；
B、x2+2x+1=(x+1)2，属于因式分解，故B符合题意；
C、x2+2x−1=x(x+2)−1，等式右边不是积的形式，不是因式分解，故C不符合题意；
D、x(x−1)=x2−x，属于整式乘法，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握相关定义是解题关键．
二、填空题
11．（2023·辽宁沈阳·中考真题）因式分解：2x2+x= ．
【答案】x(2x+1)
【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．
【详解】提取公因式x得：原式=x(2x+1)
故答案为：x(2x+1)．
【点睛】本题考查了利用提取公因式法分解因式，因式分解的方法主要包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
12．（2023上·八年级单元测试）把多项式ax2−9ay2分解因式的结果是 ．
【答案】ax+3yx−3y
【分析】首先提取公因式a，然后根据平方差公式即可得出答案．
【详解】原式＝a(x2−9y2)=a(x−3y)(x+3y)．
故答案为：ax+3yx−3y．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握并熟练运用提取公因式及公式法分解因式．
13．（2023下·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）因式分解：a2x−1+1−x= ．
【答案】a+1a−1x−1
【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】a2x−1+1−x=a2x−1−x−1=a2−1x−1=a+1a−1x−1
故答案为：a+1a−1x−1．
【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
14．（2022上·广东湛江·八年级岭师附中校联考期末）因式分解：（1）a2−3a= ，（2）3x2−6x+3= ．
【答案】 a(a−3) 3(x−1)2
【分析】对式子进行因式分解，先提取公因子，再将式子转化为几个式子的乘积.
【详解】解：（1）a2−3a=a(a−3)，
（2）3x2−6x+3=3(x2−2x+1)=3(x−1)2.
故答案为：a(a−3)，3(x−1)2.
【点睛】本题主要考查因式分解，因式分解即将式子转化为几个式子的乘积，属于基础题要熟练掌握.
15．（2023上·四川绵阳·八年级校考阶段练习）因式分解mn3−4m3n= ．
【答案】mn(n+2m)(n−2m)
【分析】先提公因式再根据平方差公式因式分解即可
【详解】解：mn3−4m3n= mn(n2−4m2) = mn(n+2m)(n−2m)
故答案为：mn(n+2m)(n−2m)
【点睛】本题考查了提公因式和公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
16．（2022·广东佛山·校考三模）若函数y=12[(x2−100x+196)+|x2−100x+196|]，当自变量x分别取1，2，……，100时，对应的函数值的和是 ．
【答案】390
【分析】将x2-100x+196分解为：（x-2）（x-98），然后可得当2≤x≤98时函数值为0，再分别求出x=1，99，100时的函数值即可．
【详解】二次函数y′=x2−100x+196与x轴交点为(2,0)，(98,0)，
∴当x=2，时，
|y′|=|x2−100x+196|=−(x2−100x+196)，
∴当x=2，时，
y=12[(x2−100x+196)+|x2−100x+196|]
=12[(x2−100x+196)−(x2−100x+196)]
=12×0
=0，
当x=1，x=99，x=100时，函数y′=x2−100x+196的函数值为正数，
∴y=12[(x2−100x+196)+|x2−100x+196|]
y=12[(x−2)(x−98)+(x−2)(x−98)]
y=(x−2)(x−98)
∴x=1时，
y=(x−2)(x−98)
=(−1)(−97)
=97，
当x=99时，
y=(x−2)(x−98)
=97×1
=97，
当x=100时，
y=(x−2)(x−98)
=98×2
=196，
∴自变量x分别取1，2，……，100时，对应的函数值的和是：
0+97+97+196=390．
故答案为：390．
【点睛】本题考查函数值的知识及十字相乘法分解因式，有一定难度，关键是将x2-100x+196分解为：（x-2）（x-98）进行解答．
三、解答题
17．（2023上·山东滨州·八年级统考期末）分解因式：
(1)3mx2+3my2−6mxy；
(2)16a4−1．
【答案】(1)3mx−y2
(2)4a2+12a+12a−1
【分析】（1）先提取公因式，再采用完全平方公式即可作答；
（2）利用平方差公式即可作答．
【详解】（1）3mx2+3my2−6mxy
=3mx2+y2−2xy
=3mx−y2；
（2）16a4−1
=4a2+14a2−1
=4a2+12a+12a−1．
【点睛】本题主要考查了利用公式法和提取公因式法进行因式分解的知识，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解答本题的关键．
18．（2023下·广西钦州·八年级校考期中）根据平方根的意义知：若x2=12，则x=±12=±4×3=±23，此时可求出方程x2=12的两个根，依此理，由x−12=12，则x−1=±23，移项得x=1±23，这是方程x−12=12的两个根．根据上述提示，解下列方程：
(1)x2−8=0
(2)x+12=50
(3)x2−6x+9=2
【答案】(1)x=±22；
(2)x=−1±52；
(3)x=3±2
【分析】（1）移项，直接利用平方根的意义求解即可；
（2）利用平方根的意义求解即可；
（3）利用完全平方公式对左边配方，再利用平方根的意义求解即可．
【详解】（1）解：x2−8=0，
移项，得：x2=8，
解得：x=±22；
（2）解：x+12=50，
开方得：x+1=±52，
移项得x=−1±52；
（3）解：原方程整理得：x−32=2，
开方得：x−3=±2，
移项得x=3±2．
【点睛】本题考查了平方根．解题的关键是掌握平方根的定义．
19．（2023下·四川成都·八年级统考期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解．下面共有三种卡片：A型卡片是边长为x的正方形；B型卡片是长为y，宽为x的长方形；C型卡片是边长为y的正方形．

(1)用1张A型卡片，2张B型卡片拼成如图1的图形，根据图1，多项式x2+2xy因式分解的结果为______．
(2)请用1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片拼成一个大正方形，在图2的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解．

【答案】(1)x(x+2y)
(2)x2+2xy+y2=(x+y)2
【分析】（1）根据大长方形等于小长方形的面积和列式可求解；
（2）根据完全平方公式的几何背景，先拼接出图形，再根据面积法列式可求解．
【详解】（1）x2+2xy=x(x+2y)；
（2）如图所示，x2+2xy+y2=(x+y)2．

【点睛】本题主要考查完全平方公式的几何背景，因式分解的应用，掌握面积法是解题的关键．
20．（2023下·七年级单元测试）用简便方法计算．
(1)1 003×997;
(2)1.222 22×9－1.333 32×4；
(3)882－772＋165×89;
(4)2 0062－2 005×2 007－992.
【答案】(1) 999 991；(2) 6.333 2；(3) 16 500；(4)－9 800.
【分析】（1）利用平方差公式进行解答,
（2）将9和4分别转化为32和22的形式，然后利用平方差公式进行解答,
（3）利用平方差公式进行解答,
（4）利用平方差公式进行解答．
【详解】(1)1 003×997＝(1 000＋3)(1 000－3)＝1 0002－32＝999 991.
(2)原式＝(1.222 2×3)2－(1.333 3×2)2＝(3.666 6)2－(2.666 6)2,
＝(3.666 6＋2.666 6)(3.666 6－2.666 6)＝6.333 2.
(3)882－772＋165×89＝(882－772)＋165×89,
＝(88＋77)(88－77)＋165×89,
＝165×(11＋89)＝165×100＝16 500.
(4)2 0062－2 005×2 007－992＝2 0062－(2 006＋1)(2 006－1)－992,
＝2 0062－(2 0062－1)－992,
＝2 0062－2 0062＋1－992,
＝1－992＝(1＋99)(1－99)＝100×(－98)＝－9 800.
【点睛】本题主要考查了对提取公因式法和平方差公式的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21．（2023上·重庆江津·九年级统考期末）一个各位数字均不为0的四位正整数，如果千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则我们称这个四位数为“半同数”．规定Ft=t11．例如t=1221，则Ft=122111=111．
(1)若m是最大的“半同数”，则Fm=_______；若n是最小的“半同数”，则Fn=________；
(2)已知“半同数”p，p=abba．若Fp−3能被11整除，求满足条件的所有p的值．
【答案】(1)909；101
(2)综上所述p的值为2332，3663，4994，5115，6446，7777，9229
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）根据新定义求出Fp，再用代入验证法求解．
【详解】（1）若m是最大的“半同数”，
则Fm=F9999=999911=909，
若n是最小的“半同数”，
则Fn=F1111=111111=101，
故答案为：909；101；
（2）∵Fp=1000a+100b+10b+a11
=91a+10b，
∴Fp−3=91a+10b−3是11的倍数，
由题意知：0