北师大版（2024）因式分解精品同步训练题

这是一份北师大版（2024）因式分解精品同步训练题，文件包含微专题02因式分解经典应用通关专练原卷版docx、微专题02因式分解经典应用通关专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
1．（2023下·浙江·七年级期中）解答下列问题：
（1）当x=2时，代数式x2−4x+4=______．
（2）当x=______时，代数式x2+6x+9的值为0；
（3）求代数式x2+8x+18的最小值．
【答案】（1）0；（2）-3；（3）2
【分析】（1）将x=2代入代数式x2-4x+4中，即可求得代数式的值；
（2）解方程x2+6x+9=0，求出x的值，即可解答本题；
（3）将代数式变形，然后根据非负数的性质，即可得到代数式x2+8x+18的最小值；
【详解】解：（1）当x=2时，
x2-4x+4=22-4×2+4=0；
（2）∵x2+6x+9=0，
∴（x+3）2=0，
∴x=-3；
（3）∵x2+8x+18=（x+4）2+2，
∴当x=-4时，x2+8x+18取得最小值2．
【点睛】本题考查因式分解的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式和非负数的性质解答．
2．（2023下·浙江嘉兴·七年级校联考期中）如图①，有三张卡片，分别为边长为a、b的长方形，边长为a的正方形及边长为b的正方形；

(1)用九张卡片拼成了如图②的一个大长方形，
用一个多项式表示图②的面积：______；
用两个整式的积表示图②的面积：______；
(2)利用上述面积的不同表示方法，写出一个整式乘法或因式分解的等式：______；
(3)如果用若干图①中的卡片，拼成了一个面积为a2+5ab+4b2的长方形，请求出这个长方形的边长；
【答案】(1)2a2+2b2+5ab；(a+2b)(2a+b)
(2)2a2+2b2+5ab=(a+2b)(2a+b)
(3)这个长方形的边长为a+b和a+4b．
【分析】（1）图②是由2个大正方形，2个小正方形，5个长方形组成，把面积相加即可得出答案；图②也可以看作由长为(a+2b)，宽为(2a+b)的长方形，由此即可得到答案；
（2）根据（1）中两种表示的图②的面积相等列出等式即可；
（3）根据a2+5ab+4b2=a+ba+4b即可求解.
【详解】（1）解：由题意得，
用一个多项式表示图②的面积：2a2+2b2+5ab；
用两个整式的积表示图②的面积：(a+2b)(2a+b)；
故答案为：2a2+2b2+5ab；(a+2b)(2a+b)；
（2）解：由（1）得2a2+2b2+5ab=(a+2b)(2a+b)；
故答案为：2a2+2b2+5ab=(a+2b)(2a+b)；
（3）解：∵a2+5ab+4b2=a+ba+4b，
∴拼成了一个面积为a2+5ab+4b2的长方形，
这个长方形的边长为a+b和a+4b．
【点睛】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键．
3．（2023下·江苏无锡·七年级统考期中）先阅读右侧的内容，再解决问题．
例题：若m2+2mn+2n2−6n+9=0，求m和n的值．
∴m2+2mn+2n2−6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2−6n+9=0
∴m+n2+n−32=0
∴m+n=0，n−3=0
∴m=−3，n=3
（1）若a2+b2−8a−10b+41+5−c=0，请问△ABC是什么形状？说明理由．
（2）若xy=1(x>0)，且x2+y2+z−3=2，求zx+y的值．
（3）已知a−b=4，ab+c2−6c+13=0，求a+b+c的值．
【答案】（1）△ABC是等腰三角形，
（2）4；
（3）3．
【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据偶次方、绝对值的非负性求出a、b、c，根据等腰三角形的概念判断；
（2）把xy＝1变形，把原式化为非负数的和的形式，计算即可；
（3）根据配方法把原式变形，根据偶次方、绝对值的非负性解答即可．
【详解】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由如下：a2+b2﹣8a﹣10b+41+|5﹣c|＝0，
a2﹣8a+16+b2﹣10b+25+|5﹣c|＝0，
（a﹣4）2+（b﹣5）2+|5﹣c|＝0，
a﹣4＝0，b﹣5＝0，5﹣c＝0，
解得，a＝4，b＝5，c＝5，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵xy＝1，
∴y＝1x，
则x2﹣2+（1x）2+|z﹣3|＝0，
（x﹣1x）2+|z﹣3|＝0，
x﹣1x＝0，z﹣3＝0，
∵x＞0，
∴x＝1，z＝3，
则y＝1，
∴zx+y＝31+1＝4；
（3）∵a﹣b＝4，
∴b＝a﹣4，
a（a﹣4）+c2﹣6c+13＝0，
a2﹣4a+4+c2﹣6c+9＝0，
（a﹣2）2+（c﹣3）2＝0，
则a＝2，c＝3，
∴b＝a﹣4＝﹣2，
∴a+b+c＝2+（﹣2）+3＝3．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
4．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）小明同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且m>n．

(1)观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为
(2)小明想要拼一个长为m+2n，宽为m+n的大长方形，则需要边长为m的大正方形 个，边长为n的小正方形 个，长为m、宽为n的小长方形 个；
(3)动手操作：数学活动小组准备了足够数量的与小明裁剪出的边长为m的大正方形、边长为n的小正方形、长为m、宽为n的小长方形相同的图片若干，请你也利用这些图片拼图分解因式：m2+5mn+6b2．（画出拼图的示意图，并在图中标出适量的与m，n有关的信息，完成因式分解）
(4)拓展：若每块小长方形的面积为12，三个大正方形和三个小正方形的面积和为75，试求m+n的值．
【答案】(1)2m+nm+2n
(2)1，2，3
(3)图见解析；m2+5mn+6b2=m+2nm+3n
(4)m+n=7
【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形在图形面积中的应用，
（1）根据大矩形面积可以表示为2m2+5mn+2n2，也可以表示为2m+nm+2n即可求解；
（2）根据多项式乘多项式法则将m+2nm+n展开为m2+3mn+2n2，进而求解即可；
（3）根据题意画出图形，进而因式分解即可；
（4）根据题意得到mn=12，m2+n2=25，然后利用完全平方公式的变形求解即可．
熟练运用完全平方公式和数形结合思想通过两种方法表示纸板面积是解题的关键．
【详解】（1）根据题意可得，
大矩形面积可以表示为2m2+5mn+2n2，
也可以表示为2m+nm+2n，
∴2m2+5mn+2n2=2m+nm+2n
∴代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为2m+nm+2n；
（2）根据题意可得，
m+2nm+n
=m2+mn+2mn+2n2
=m2+3mn+2n2
∴需要边长为m的大正方形1个，边长为n的小正方形2个，长为m、宽为n的小长方形3个；
（3）依据拼图，

∴m2+5mn+6b2=m+2nm+3n；
（4）由题意得：mn=12，3m2+3n2=75
∴m2+n2=25
∴m2+n2+2mn=25+2mn，
∴m+n2=25+2×12=49
∴m+n=±7
又∵m>0，n>0
∴m+n=7．
5．（2023下·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）若一个正整数m是两个连续奇数或连续偶数的乘积，即m=nn+2，其中n为正整数，则称m为“半平分数”，n为m的“半平分点”．例如，35=5×7，则35是“半平分数”，5为35的半平分点．
(1)k是80的“半平分点”，则k=______；a的“半平分数”“半平分点”为1，则a=______；当kx+a为正整数时，整数x=______．
(2)把“半平分数”x与“半平分数”y的差记为Ex,y，其中x>y，Ex,y>0，例如，24=4×6，15=3×5，则E24,15=24−15=9．若“半平分数”x的“半平分数”为s，“半平分数”y的“半平分点”为t，当Ex,y=40时，求ts的值．
【答案】(1)8；3；−2或−1或1或5
(2)ts的值为45或13．
【分析】（1）直接应用新定义的运算规则，即可求解．
（2）运用新定义的运算规则，先得出关系式：s2+2s−t2−2t=40，应用因式分解，运用分类讨论思想，求出ts．
【详解】（1）解：∵80=8×10，∴k=8；
∵a=1×1+2=3，∴a=3；
∵kx+a=8x+3为正整数，
∴x+3=1或2或4或8，
整数x=−2或−1或1或5；
故答案为：8；3；−2或−1或1或5；
（2）解：∵x=ss+2=s2+2s，y=tt+2=t2+2t，Ex,y=40，
∴x−y=40，
∴s2+2s−t2−2t=s+ts−t+2s−t=40，
即s−ts+t+2=40，
∵s、t都是正整数，
∴s−t、s+t+2都是正整数，
∵40=1×40=2×20=4×10=5×8，
∴s−t=1s+t+2=40或s−t=2s+t+2=20或s−t=4s+t+2=10或s−t=5s+t+2=8，
解得s=19.5t=18.5(舍) 或s=10t=8或s=6t=2或s=5.5t=0.5(舍)，
∴ts的值为45或13．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及知识点有：因式分解、解二元一次方程组等，考查学生的阅读素养、计算能力、推理能力、应用能力等，体现了数学的分类讨论思想，本题第一问较简单，第二问关键在于能将式子s2+2s−t2−2t=40的左右两边分别进行因式分解，得出四种情况进行分类讨论．
6．（2023下·江苏扬州·七年级统考期中）问题背景：对于形如x2−120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成(x−60)2，对于二次三项式x2−120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将x2−120x加上一项602，使它与x2−120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：
x2−120+3456=x2−2×60x+602−602+3456
=(x−60)2−144=(x−60)2−122=(x−60+12)(x−60−12)=(x−48)(x−72)
问题解决：
（1）请你按照上面的方法分解因式：x2−140x+4756；
（2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，长为a+2b，求这个长方形的宽．
【答案】（1）(x−58)(x−82)； （2）长为a+2b时这个长方形的宽为a+6b
【分析】按照原题解题方法，进而借助完全平方公式以及平方差公式分解因式得出即可．
【详解】(1)x2−140x+4756
=x2−2×70x+702−702+4756
=x−702−144
=x−702−122
=x−70+12x−70−12
=x−58x−82
(2) ∵ a2+8ab+12b2
=a2+2×a×4b+4b2−4b2+12b2
=a+4b2−4b2=a+4b+2ba+4b−2b=a+2ba+6b
∴长为a+2b时这个长方形的宽为a+6b．
7．（2023下·江苏·七年级专题练习）求证：若4x−y是7的倍数，其中x、y都是整数，则8x2+10xy−3y2是49的倍数．
【答案】见解析
【分析】由4x−y是7的倍数，设4x−y=7m（m为整数），得y=4x−7m，把8x2+10xy−3y2因式分解得(2x+3y)(4x−y)，从而代入y，即可得证．
【详解】证明：∵4x−y是7的倍数，设4x−y=7m（m为整数），则y=4x−7m，
∴8x2+10xy−3y2
=(2x+3y)(4x−y)
=(2x+12x−21m)(4x−4x+7m)
=7m(14x−21m)
=49(2x−3m)，
∵x、m是整数，
∴m(2x−3m)也是整数，
∴8x2+10xy−3y2是49的倍数．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握十字相乘法是解题的关键．
8．（2023上·福建泉州·八年级校考期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m>n，(长度单位：cm)，
(1)观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解，请写出因式分解的结果；
(2)若每块小矩形的面积为7cm2，四个正方形的面积和为100cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和．
【答案】（1）(m+2n)(2m+n)；（2）48cm
【分析】（1）根据图形长方形面积公式即可将代数式2m2+5mn+2n2进行因式分解
（2）根据四个正方形的面积和为100cm2得出m2+n2的值，再利用每块小矩形的面积为7cm2得出mn的值，整理得出完全平方和(m+n)2，即可得m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．
【详解】（1）矩形纸板由两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m>n．
∴矩形纸板的面积=(2m2+5mn+2n2)cm2，
观察图形，发现矩形纸板的长为(2m+n)cm，宽为(m+2n)cm，
∴矩形纸板的面积=(m+2n)(2m+n)cm2，
∴2m2+5mn+2n2=(m+2n)(2m+n)，
故答案为：(m+2n)(2m+n)；
（2）若每块小矩形的面积为7cm2，四个正方形的面积和为100cm2，
则mn=7cm2，2m2+2n2=100cm2，
∴m2+n2=50cm2，2mn=14cm2
∴(m+n)2=m2+n2+2mn=50+14=64cm2
∵m+n>0，
∴m+n=8cm，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n=6(m+n)=6×8=48cm．
【点睛】本题考查了因式分解在几何图形问题中的应用，数形结合，并熟练掌握相关计算法则是解题的关键．
9．（2023上·上海青浦·七年级校考期中）关于x、y、z的多项式x+y+z，x2+y2+z2，xy+yz+zx，x2y+y2z+z2x，在将字母x、y、z轮换（即将x换成y，y换成z，z换成x）时，保持不变．这样的多项式称为x、y、z的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法．
例题：分解因式a+b+c3−b+c−a3−c+a−b3−a+b−c3
解：令a=0时，原式=0
所以a是原式的因式，由于原式是a、b、c的轮换式，所以b、c也是原式的因式，从而可以设
a+b+c3−b+c−a3−c+a−b3−a+b−c3=kabc，
（保证两边次数相同，其中k是系数）
令a=b=c=1，得33−13−13−13=k，即k=24
所以a+b+c3−b+c−a3−c+a−b3−a+b−c3=24abc
阅读上述材料分解因式完成下列两题：
(1)对多项式ab−a−b+1
令a=________，原式=0；令b=________，原式=0
所以设ab−a−b+1=ka−1b−1
令a=b=2得k=________
(2)用轮换式法因式分解：x2y−z+y2z−x+z2x−y
【答案】(1)1，1，1
(2)x−yy−zx−z
【分析】本题考查了因式分解，正确掌握轮换式法分解因式是解题关键．
（1）观察多项式可得当a=1,b=1时，多项式ab−a−b+1的值等于0；再将a=b=2代入即可求出k的值；
（2）先分别求出当y−z=0，z−x=0，x−y=0时，多项式的值等于0，从而可设x2y−z+y2z−x+z2x−y=kx−yy−zz−x，再将x=1,y=−1,z=0代入求出k的值即可得．
【详解】（1）解：对多项式ab−a−b+1，
令a=1，原式b−1−b+1=0；令b=1，原式a−a−1+1=0，
所以设ab−a−b+1=ka−1b−1，
令a=b=2得，2×2−2−2+1=k，即k=1，
故答案为：1，1，1．
（2）解：对多项式x2y−z+y2z−x+z2x−y，
令y−z=0时，原式=z2z−x+z2x−z=0，
令z−x=0时，原式=z2y−z+z2z−y=0，
令x−y=0时，原式=y2y−z+y2z−y=0，
所以设x2y−z+y2z−x+z2x−y=kx−yy−zz−x（保证两边次数相同，其中k是系数），
令x=1,y=−1,z=0时，−1−0+−12×0−1=1+1×−1−0×0−1⋅k，
解得k=−1，
所以x2y−z+y2z−x+z2x−y=−x−yy−zz−x，
即x2y−z+y2z−x+z2x−y=x−yy−zx−z．
10．（2023下·七年级单元测试）阅读并解决问题．
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 (x+a)2 的形式．但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项 a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax−3a2=x2+2ax+a2−a2−3a2=(x+a)2−(2a)2=(x+3a)(x−a)
像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a2−6a+8．
（2）若 a  b  5 ， ab  6 ，求：①a2+b2；② a4+b4的值．
（3）已知 x 是实数，试比较x2−4x+5与−x2+4x−4的大小，说明理由．
【答案】（1）(a−2)(a−4)；（2）①13；②97；（3）＞，理由见详解．
【分析】（1）利用配方法先对原式＋9，然后再-9，然后利用平方差公式分解因式即可．
（2）① 利用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2进行变形可得a2+b2=(a+b)2−2ab 即可求出答案
② 再利用一次完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2进行变形为a4+b4=(a2+b2)2−2a2b2即可得出答案
（3）将两式作差，通过跟0进行比较即可得出结论．
【详解】（1）原式=a2−6a+8+9−9
=a2−6a+9−1
=(a−3)2−1
=(a−3+1)(a−3−1)
=(a−2)(a−4)
（2）① ∵a  b  5 ， ab  6
a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×6=13
② a4+b4=(a2+b2)2−2a2b2=(a2+b2)2−2(ab)2=132−2×62=97
（3）x2−4x+5−(−x2+4x−4)
=x2−4x+5+x2−4x+4
=2x2−8x+9
=2(x2−4x)+9
=2(x2−4x+4)+9−8
=2(x−2)2+1
∵(x−2)2≥0
∴2(x−2)2+1≥1
∴（x2−4x+5）>(−x2+4x−4)
【点睛】本题主要考查配方法，掌握因式分解，完全平方公式是解题的关键．
11．（2022上·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考期中）【学习材料】拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如：
例1分解因式：x4+4y4．
解：原式=x4+4y4=x4+4x2y2+4y4−4x2y2
=x2+2y22−4x2y2=x2+2y2+2xyx2+2y2−2xy
例2分解因式：x3+5x−6．
解：原式=x3−x+6x−6=xx2−1+6x−1=x−1x2+x+6．
我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如
例3把多项式a2+b2+4a−6b+13写成A2+B2的形式．
解：原式=a2+4a+4+b2−6b+9=a+22+b−32
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
(1)分解因式：x2+2x−8=______；
(2)运用拆项添项法分解因式：x4+4=______；
(3)判断关于x的二次三项式x2−20x+111在x=______时有最小值；
(4)已知M=x2+6x+4y2−12y+m（x−y均为整数，m是常数），若M恰能表示成A2+B2的形式，求m的值．
【答案】(1)x+4x−2
(2)x2+2+2xx2+2−2x
(3)10
(4)m的值为18
【分析】（1）加1再减1，进行分解因式即可解答；
（2）仿照例1的解题思路，进行计算即可解答；
（3）先配方成完全平方的形式，然后写出最小值即可；
（4）仿照例3的解题思路，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：x2+2x−8
=x2+2x+1−1−8
=x+12−9
=x+1+3x+1−3
=x+4x−2
故答案为：x+4x−2．
（2）解：x4+4
=x4+4+4x2−4x2
=x2+22−4x2
=x2+2+2xx2+2−2x
故答案为：x2+2+2xx2+2−2x．
（3）解：∵x2−20x+111
=x2−20x+100−100+111
=x−102+11
∴当x=10时，有最小值．
故答案为：10．
（4）解：M=x2+6x+4y2−12y+m
=x2+6x+9+4y2−12y+9+m−18
=x+32+2y−32+m−18
∵若M恰能表示成A2+B2的形式，
∴m−18=0，
∴m=18，
答：m的值为18．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．
12．（2022上·内蒙古乌兰察布·八年级校考期末）先阅读下面的内容，再解决问题
例题：若m2+2mn+2n2−6n+9=0 ，求m和n的值
解：∵m2+2mn+2n2−6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2−6n+9=0
∴(m+n)2+(n−3)2=0
∴m+n=0，n−3=0
∴m=−3，n=3
问题：
(1)若x2+2y2−2xy+4y+4=0，求y2的值；
(2)试探究关于x、y的代数式5x2+9y2−12xy−6x+2028是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)4
(2)存在，最小值为2019，x=3，y=2
【分析】（1）先配方，再根据非负性求出x、y，即可得到答案；
（2）先配方，再根据非负性即可求出最小值．
【详解】（1）解：由题意可得，
x2+y2−2xy+y2+4y+4=0，
∴(x−y)2+(y+2)2=0，
∴x−y=0，y+2=0，
∴x=−2，y=−2，
∴y2=(−2)2=4；
（2）解：原式=4x2−12xy+9y2+x2−6x+9+2019
=(2x−3y)2+(x−3)2+2019
∵(2x−3y)2≥0，(x−3)2≥0，
∴当x=3，y=2，有最小值，
∴原式=(2x−3y)2+(x−3)2+2019≥0+0+2019=2019，
∴当2x−3y=0，x−3=0时，即当x=3，y=2时，代数式5x2+9y2−12xy−6x+2028有最小值2019．
【点睛】本题考查配方及非负性应用，解题的关键是掌握非负性式子和为0，它们分别等于0．
13．（2023上·山东淄博·八年级淄博市张店区实验中学校考阶段练习）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由x+px+q=x2+p+qx+pq得，x2+p+qx+pq=x+px+q；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+1+2x+1×2．
解：x2+3x+2=x+1x+2
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：x2+7x+12；
(2)分解因式：(x2−3)2+(x2−3)−2；
(3)填空：若x2+px−8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是多少？
【答案】(1)x+3x+4
(2)x+2(x−2)x+1(x−1)
(3)±7，±2
【分析】（1）根据所给材料信息即可求解；
（2）先将(x2−3)看作一个整体进行因式分解，随后再对每一个因式进一步分解即可；
（3）−8=1×−8=−1×8=2×−4=−2×4，据此即可求解．
【详解】（1）解：x2+7x+12=x+3x+4，
故答案为：x+3x+4；
（2）解：原式=x2−3−1x2−3+2
=x2−4x2−1
=x+2(x−2)x+1(x−1)
（3）解：若x2+px−8可分解为两个一次因式的积
则整数p的所有可能值是−8+1=−7；−1+8=7；−2+4=2；−4+2=−2，
故答案为：±7，±2．
【点睛】本题以材料题为背景，考查了十字相乘法．掌握相关分解方法及原理是解题关键．
14．（2023下·广东深圳·七年级深圳实验学校校考期末）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，例如：计算图1的面积．把图1看作一个大正方形． 它的面积是a+b2；如果把图1 看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到a+b2=a2+2ab+b2．

(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ．
(2)利用（1）中的结论解决以下问题：
已知a+b+c=10，ab+ac+bc=37，求a2+b2+c2的值；
(3)如图3，正方形ABCD边长为a，正方形CEFG边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接BD、DF，若a−b=5，ab=6，求图3中阴影部分的面积．
【答案】(1)a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
(2)a2+b2+c2=26
(3)14.5
【分析】（1）由正方形的面积的两种不同的计算方法，从而可得结论；
（2）把a+b+c=10，ab+ac+bc=37代入（1）中公式可得答案；
（3）先求解a+b=7，阴影部分的面积为：12a2−b2−12ba−b=12a2−12b2−12ab，再利用因式分解后整体代入求值即可．
【详解】（1）解：正方形的面积可表示为：a+b+c2，
还可以表示为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
（2）∵a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，a+b+c=10，ab+ac+bc=37，
∴102=a2+b2+c2+2×37，
∴a2+b2+c2=100−74=26．
（3）∵a−b=5，ab=6，
∴a+b2=a−b2+4ab=25+24=49，
∴a+b=7（负根舍去），
∵阴影部分的面积为：
12a2−b2−12ba−b=12a2−12b2−12ab
=12a+ba−b−12ab
=12×5×7−12×6
=14.5．
【点睛】本题考查的是多项式的乘法运算与图形面积的关系，完全平方公式的应用，完全平方公式的变形的灵活应用，因式分解的应用，熟练的利用图形面积建立代数公式是解本题的关键．
15．（2022下·江苏无锡·七年级校联考期中）若干块如图1所示的长方形和正方形硬纸片，小明拼成的长方形如图2，面积为a2+3ab+2b2；也可以表示为a+2ba+b，于是可得a2+3ab+2b2=a+2ba+b；试借助拼图的方法，把二次三项式a2+4ab+3b2分解因式．
【答案】a2+4ab+3b2=(a+b)(a+3b)，拼图见解析
【分析】利用图形面积关系进行分解，即可．
【详解】解： 如图，
图形中的大长方形的面积为a2+4ab+3b2，
也可以是(a+b)(a+3b)，
∴a2+4ab+3b2=(a+b)(a+3b)
【点睛】本题考查因式分解，构造图形，利用面积关系分解是求解本题的关键．
16．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）用等号或不等号填空：
（1）比较2x与x2+1的大小：
①当x=2时，2x________x2+1，
②当x=1时， 2x________x2+1，
③当x=-1时，2x________x2+1；
（2）通过上面的填空，猜想2x与x2+1的大小关系为______________；
（3）无论x取什么值，2x与x2+1总有这样的大小关系吗？试说明理由．
【答案】（1）①，＜；②=；③＜（2）2x≤x2+1；（3）总有这样的大小关系，理由见解析．
【分析】（1）根据代数式求值，再根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）根据代数式求值，再任意选两个数代入代数式，最根据有理数的大小比较，可得答案；
（3）根据因式分解的完全平方公式和平方本身的非负性即可得答案．
【详解】解：（1）比较2x与x2+1的大小：
当x=2时，2x＜x2+1
当x=1时，2x=x2+1
当x=-1时，2x＜x2+1，
故答案为：＜，=，＜；
（2）当x=3时，2x＜x2+1，
当x=-2时，2x＜x2+1，
故答案为：2x≤x2+1
（3）理由：∵x2+1−2x=x−12≥0，
∴2x≤x2+1．
无论x取什么值，2x与x2+1总有2x≤x2+1这样的大小关系．
【点睛】本题考查了代数式的值及代数式的大小比较，利用完全平方公式是非负数是解题关键．
17．（2023下·陕西榆林·八年级统考期末）已知a−b=3，ab=4，求下列式子的值：
（l）a2b−ab2；
（2）a4b2−2a3b3+a2b4．
【答案】（1）12；（2）144
【分析】（1）先提公因式，再代数求值；
（2）先提公因式，再用完全平方公式分解因式，最后代数求值．
【详解】解：（1）a2b−ab2=ab(a−b)
∵a−b=3，ab=4，
∴a2b−ab2=ab(a−b)=4×3=12；
（2）a4b2−2a3b3+a2b4
=a2b2a2−2ab+b2
=(ab)2(a−b)2，
∴a4b2−2a3b3+a2b4=42×32=144．
【点睛】本题考查化简求值，熟练掌握因式分解是关键．
18．（2023上·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：
常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：
x2﹣2xy+y2﹣16=（x﹣y）2﹣16=（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4y2﹣2x+4y；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc=0，判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）（x﹣2y）（x+2y﹣2）；（2）△ABC是等边三角形．理由见解析
【分析】（1）根据所给代数式前两项一组，后两项一组，分组分解后再提公因式即可分解；
（2）将2b2分成两项，分别与其他项组成完全平方公式，然后利用非负数的性质进行解答．
【详解】解：（1）x2﹣4y2﹣2x+4y
=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）
=（x﹣2y）（x+2y﹣2）；
（2）△ABC是等边三角形．
理由如下：
a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc
=（a2﹣2ab+b2）+（c2﹣2bc+b2）
=（a﹣b）2+（b﹣c）2
∵（a﹣b）2≥0；（b﹣c）2≥0，
而（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，
∴（a﹣b）2=（b﹣c）2=0，
∴a﹣b=0且b﹣c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用分组分解法时，关键要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．
19．（2023下·安徽合肥·八年级统考期末）（1）已知实数x，y满足x2+3x+y−5=0，求x+y的最大值；
（2）已知a，b，c为正实数，且满足a2+ac+ab−b2=0和b2+ba−ca−c2=0，试判断以b，c，a+b为三边的长的三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）x＋y的最大值为6；（2）等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）利用配方法和非负数的性质求得x、y的值；
（2）展开后利用分组分解法因式分解后利用非负数的性质确定三角形的三边的关系即可．
【详解】解：（1）由x2＋3x＋y−5＝0可得：y＝−x2−3x＋5．
x＋y＝x＋（−x2−3x＋5）＝−x2−2x＋5＝−（x2＋2x＋1）＋6＝−（x＋1）2＋6．
因为−（x＋1）2≤0，所以−（x＋1）2＋6≤6，
即当x＝−1时，x＋y的最大值为6．
（2）以b，c，a＋b为三边的长的三角形是等腰直角三角形，理由如下：
由b2＋ba−ca−c2＝0可得：（b2−c2）＋（ab−ac）＝0，
（b＋c）（b−c）＋a（b−c）＝0，（b−c）（a＋b＋c）＝0，
因为a，b，c都为正数，
所以b−c＝0，a＋b＋c≠0，
所以b＝c，即以b，c，a＋b为三边的长的三角形是等腰三角形，
a2＋ac＋ab−b2＝0……①，b2＋ba−ca−c2＝0……②，
由①＋②得：a2＋2ab−c2＝0，（a2＋2ab＋b2）−b2−c2＝0，b2＋c2＝（a＋b）2．
即以b，c，a＋b为三边的长的三角形是直角三角形，
所以以b，c，a＋b为三边的长的三角形是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用及二次函数的最值的知识，解题的关键是仔细阅读材料理解分组分解的方法，难度不大．
20．（2023·河北保定·统考一模）我们生活在一个充满轴对称的世界中，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，都可以找到轴对称的影子
我们把形如aa，bcb，bccb，abcba的正整数叫“轴对称数”，例如：33，151，2442，.56765，…
（1）写出一个最小的四位“轴对称数”： ．
（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为ABA，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．为了让同学们更好的解答本题，王老师给出了一些提示，如图所示
33﹣3×11＝3×10+3﹣3×11＝0
151﹣1×11＝1×100+5×10+1﹣1×11＝140
2442﹣2×11＝2×1000+44×10+2﹣2×11＝2420
①请根据上面的提示，填空：56765﹣5×11= ．
②写出（2）的证明过程．
【答案】（1）1001；（2）①56710；②证明见解析.
【分析】（1）由题意即可得出结果；
（2）①由提示进行计算即可；
②由提示进行计算，得出ABA﹣11A＝10[A×（10n﹣2﹣1 ）+B]，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得：最小的四位“轴对称数”为1001；
故答案为1001；
（2）解：①56765﹣5×11＝5×10000+676×10+5﹣5×11＝56710；
故答案为56710
②证明：ABA﹣11A．
＝A×10n﹣1+B×10+A﹣11A
＝A×10n﹣1+B×10+（﹣10）A
＝10[A×（10n﹣2﹣1 ）+B]
∵A，B为整数，n≥3，
∴原式能被10整除．
【点睛】本题考查了因式分解的应用以及“轴对称数”，理解题目中的提示是解题的关键．
21．（2022下·湖北武汉·八年级校联考期中）已知a=5+2，b=2−5求下列各式的值：
(1)a2+2ab+b2；
(2)a2−b2．
【答案】(1)16
(2)85
【分析】（1）先根据完全平方公式把a2+2ab+b2变形，再把a，b的值代入计算；
（2）先根据平方差公式把a2−b2变形，再把a，b的值代入计算．
【详解】（1）∵a=5+2，b=2−5，
∴a2+2ab+b2=a+b2
=5+2+2−52
=16；
（2）∵a=5+2，b=2−5，
∴a2−b2=a+ba−b
=5+2+2−55+2−2−5
=5+2+2−55+2−2+5
=4×25=85．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．
22．（2023下·江苏南京·七年级校联考期中）发现与探索．
（1）根据小明的解答（图1）将下列各式因式分解
①a2-12a+20
②（a-1）2-8（a-1）+7
③a2-6ab+5b2
（2）根据小丽的思考（图2）解决下列问题．
①说明：代数式a2-12a+20的最小值为-16．
②请仿照小丽的思考解释代数式-（a+1）2+8的最大值为8，并求代数式-a2+12a-8的最大值．
【答案】(1) ①（a-10）（a-2）; ②（a-8）（a-2）; ③（a-5b）（a-b）;(2) ①见解析;②-a2+12a-8的最大值为28
【分析】参照例题可得相应解法
【详解】（1）根据小明的解答将下列各式因式分解
①a2-12a+20
解原式=a2-12a+36-36+20
=（a-6）2-42
=（a-10）（a-2）
②（a-1）2-8（a-1）+7
解原式=（a-1）2-8（a-1）+16-16+7
=（a-5）2-32
=（a-8）（a-2）
③a2-6ab+5b2
解原式=a2-6ab+9b2-9b2+5b2
=（a-3b）2-4b2
=（a-5b）（a-b）
（2）①说明：代数式a2-12a+20的最小值为-16．
a2-12a+20
解原式=a2-12a+36-36+20
=（a-6）2-16
∵无论a取何值（a-6）2都≥0
∴代数式（a-6）2-16≥-16，
∴a2-12a+20的最小值为-16．
②∵无论a取何值-（a+1）2≤0
∴代数式-（a+1）2+8小于等于8，
则-（a+1）2+8的最大值为8．
-a2+12a-8．
解原式=-（a2-12a+8）
=-（a2-12a+36-36+8）
=-（a-6）2+36-8
=-（a-6）2+28
∵a取何值-（a-6）2≤0，
∴代数式-（a-6）2+28≤28
∴-a2+12a-8的最大值为28．
【点睛】本题考查的是应用配方法求二次简单二次三项式的最值问题，以及简单二次三项式的因式分解．
23．（2023上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）若一个三位数满足条件：其十位数字是百位数字的两倍与个位数字的差，则称这样的三位数为“十全数”，将“十全数”s的百位数字与十位数字交换位置，交换后所得的新数叫做s的“十美数”，如231是一个“十全数”，321是231的“十美数”
（1）证明：任意一个“十全数”s的“十美数”都能被3整除；
（2）已知m为“十全数”，n是m的“十美数”，若m的两倍与n的差能被13整除，求m的值
【答案】（1）见解析；（2）m为582或675或768.
【分析】（1）首先应根据题目中所给的“十全数”和“十美数”的概念，将他们数表示出来．要说明“十美数”都能被3整除，则只需要证明到“十美数”是3的倍数即可．
（2）首先应根据题意表示出m、n，又因为m的两倍与n的差能被13整除，所以m的两倍与n的差必须是13的倍数．因此根据它们的范围一一验证即可求出最终m的值．
【详解】（1）设“十全数”s为100a+10×（2a﹣b）+b，∴s的“十美数”为100×（2a﹣b）+10a+b=210a﹣99b=3×（70a﹣33b），∴任意一个“十全数”s的“十美数”都能被3整除；
（2）设m为100x+10×（2x﹣y）+y，∴m的“十美数”为100×（2x﹣y）+10x+y=210x﹣99y，∴2[100x+10×（2x﹣y）+y]﹣[210x﹣99y]=30x+81y
∵m的两倍与n的差能被13整除，∴30x+81y13=2x+6y+4x+3y13．
∵4x+3y13为整数，1≤x≤9，0≤y≤9，1≤2x﹣y≤9，∴x=1时，y=3，2x﹣y=﹣1（不合题意舍去），x=2时，y=6，2x﹣y=﹣2（不合题意舍去），x=3，4时，y的值不合题意，x=5时，y=2，2x﹣y=8，x=6时，y=5，2x﹣y=7，x=7时，y=8，2x﹣y=6，x=8、9时，y不合题意，∴m为582或675或768．
【点睛】本题是因式分解的应用，解答本题的关键是根据题意能表示出“十全数”和“十美数””，以及整除的含义．本题考查了因式分解，整式的运算．
24．（2022上·八年级课时练习）阅读材料：若m2−2mn+2n2−4n+4=0，求m,n的值．
解：∵m2−2mn+2n2−4n+4=0，∴m2−2mn+n2+n2−4n+4=0
∴m−n2+n−22=0，∴m−n2=0， n−22=0， ∴n=2， m=2．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)a2+b2+6a−2b+10=0，则a＝ ，b＝ ．
(2)已知x2+2y2−2xy+8y+16=0，求xy的值．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2−4a−8b+18=0，求△ABC的周长．
【答案】(1)-3；1
(2)16
(3)9
【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得a+32+b−12=0，然后由非负数性质求得结果；
（2）由x2+2y2−2xy+8y+16=0得x−y2+y+42=0，然后由非负数性质求得结果；
（3）把方程通过变式得2a−12+b−42=0，然后由非负数性质求得a、b，根据三角形三边关系进而得c，便可求得三角形的周长．
【详解】（1）解：由a2+b2+6a−2b+10=0得，
a+32+b−12=0，
∵a+32≥0，b−12≥0，
∴a+3=0，b-1=0，
∴a=-3，b=1．
故答案为：-3；1；
（2）由x2+2y2−2xy+8y+16=0，得，
x−y2+y+42=0，
∴x=y,y=−4，
∴x=−4,y=−4，
∴xy=16；
（3）由2a2+b2−4a−8b+18=0得2a−12+b−42=0，
∴a=1,b=4，
∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，
∴4−1