山西省吕梁市孝义市2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析）

这是一份山西省吕梁市孝义市2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析），共13页。
2．书写认真，字迹工整，答题规范，卷面整洁不扣分．否则，将酌情扣分，书写与卷面扣分最多不得超10分．
一、选择题（下列各小题均给出四个备选答案，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．每小题2分，共20分）
1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据题意可知在实数范围内有意义要使即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故选：A．
2. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
【详解】解：A．，原式不是最简二次根式，不符合题意；
B． ，原式不是最简二次根式，不符合题意；
C．的根指数为3，不是二次根式，不符合题意；
D．是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
3. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ ）
A 9cmB. 12cmC. 15cmD. 18cm
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长.
【详解】根据题意可得图形：
AB=12cm，BC=9cm，
在Rt△ABC中：AC==15（cm），
则这只铅笔的长度大于15cm．
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算和判断即可．
【详解】解：和不是同类项，无法计算，故选项A错误；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误．
故选B．
5. 如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A．∵，，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
B．∵，，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
C．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
D．∵，，
∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意；
故选：D．
6. 小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于( )
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
【答案】C
【解析】
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据无理数的估算即可求得答案.
【详解】由作法过程可知，OA=2，AB=3，
∵∠OAB=90°，
∴OB=，
∴P点所表示数就是，
∵，
∴，
即点P所表示的数介于3和4之间，
故选C.
【点睛】本题考查了勾股定理和无理数的估算，熟练掌握勾股定理的内容以及无理数估算的方法是解题的关键.
7. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长度（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，那么就可表示为，继而可得出答案．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，
又平分，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．
8. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ）
A. 4.8B. 3.2C. 2.5D. 2.4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段长度等知识，先求出菱形的面积，再利用勾股定理求出的长，利用菱形面积为面积的两倍求出即可．
【详解】解：四边形菱形，，
于点
故选：A．
9. 《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（ ）
A. 10尺B. 11尺C. 12尺D. 13尺
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可．设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理列式进行计算即可．
【详解】解：丈尺，
设水深尺，则芦苇长尺，
根据勾股定理得：，
解得，
芦苇的长度为，
故选D．
10. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节间的距离．若间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．如图所示，连接，根据菱形的性质可得，可得是等边三角形，可算出，根据，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，间的距离调节到，
∴，
∵菱形的边长，
∴，
∴是等边三角形，则，
∵四边形是菱形，
∴，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算的结果是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式乘法的法则运算即可
【详解】解：
【点睛】本题考查了二次根式的乘方运算，解答关键是根据乘法法则计算，注意运算结果为最简二次根式.
12. 如图，的对角线与交于点，请你添加一个条件使它是菱形，你添加的条件是_____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理进行求解即可．
【详解】解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，故添加，
故答案为：（答案不唯一）．
13. 写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题_____
【答案】对边相等的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】本题主要考查逆命题，熟练掌握逆命题是解题的关键．根据逆命题进行解答即可．
【详解】解：命题“平行四边形的对边相等”的逆命题为“对边相等的四边形是平行四边形”．
故答案为：对边相等的四边形是平行四边形．
14. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时16的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：根据题意得到，
，
．
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，对角线与交于点，，，的平分线交于点，是的中点，则_____．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线等知识，先根据勾股定理求出，然后证明，得出，，在中，根据勾股定理可得出，解方程求出，最后根据三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：过E作于G，

在矩形中， ，，
∴，，
∵平分，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∵，是的中点，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是：
（1）先根据二次根式的性质化简各二次根式，然后去括号，合并同类二次根式即可；
（2）根据完全平方公式和二次根式的混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查代数求值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：，
将代入，
原式
．
18. 在中，，，三边长分别为，，，求这个三角形面积，小明同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点，借用网格就能计算出它的面积．

（1）的面积为______；
（2）如果三边的长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点，并直接写出的面积为______．
【答案】（1）4.5 （2）格点见解析，3.5
【解析】
【分析】（1）根据割补法即可求解；
（2）先根据勾股定理确定三边所在的三角形的位置，进而可画出相应的三角形，再根据割补法求解即可．
【小问1详解】
的面积为；
故答案为：4.5；
【小问2详解】
如图，，
∴格点即为所求作；
且的面积．
故答案为：3.5．
【点睛】本题考查了勾股定理和格点作图，能利用勾股定理确定相应点位置是解题的关键．
19. 11月9日全国消防日，某中学开展消防技能演练，特邀消防大队现场指导，消防大队出动了消防云梯助力．消防云梯主要用于高层建筑火灾救援，能让消防员快速到达火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最大伸长长度为（即），消防车顶端距地面高度为（点，到地面的垂直距离，即），首次救援时，云梯升至距地面高的点（即），而后需从距离地面高的点（即）进行二次救援，此时，消防车需从点水平移动至点，靠近楼房．求消防车水平移动距离的长度？（已知：点均在同一平面内，所在的直线与地面平行，与楼房垂直）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作，根据题意求出的值即可得到答案．
【详解】解：过点作，
，
，
，
，
，
，
．
20. 如图，在中，，为外角的平分线，为底边上一点，连接，过点作交于点，连接，交于点．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）在不增加辅助线和字母的前提下，请添加一个条件：_____，使得四边形为矩形．
【答案】（1）平行四边形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，矩形的判定以及平行线的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
（1）根据题意得到，以及三角形外角和定理得到，证明，证明，即可证明结论．
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形添加条件即可．
【小问1详解】
解：平行四边形，理由如下：
，
，
为外角的平分线，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：在不增加辅助线和字母的前提下，令，
则四边形是矩形．
故答案为：．
21. 阅读与思考
下面是兴趣小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“探究勾股定理”的一个片段兴趣小组
勾股定理是人类智慧的象征，它的证法多种多样，但大多数采用的思路是“用两种不同方式表示同一图形面积，由于同一个图形的面积相等；进而得到含的恒等式，通过化简即可完成证明”．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图1的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点重合，，，，，也利用“面积法”验证了勾股定理．
证明：连接，则．
则
小颖还进行如下操作：平移直角三角板，使得顶点重合，如图2，即常见的“K型图”，此时三角形是一个等腰直角三角形．
…
任务：
（1）请借助图1补全勾股定理的验证过程．
（2）上面利用“面积法”验证了著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是_____（填一个正确选项代码）
A．统计思想 B．数形结合思想 C．函数思想 D．方程思想
（3）请你利用“K型图”解决以下问题：
已知：如图3，直线及点，作正方形，使得点分别在直线、上．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析 （2）B
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，尺规作图--作垂线和线段，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据和进行证明即可；
（2）根据数学思想进行判断即可；
（3）过点作，延长交于点，分别以为圆心，的长为半径画弧，交于，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接即可．
【小问1详解】
解：证明：连接，则，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选B；
【小问3详解】
解：如图，正方形即为所求；
由作图可知，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为正方形．
22. 综合与探究
问题情境：
如图1，直线为直线上两点，为直线上两点，于点于点，点为的中点，点为的中点，连接．已知．
初步探究：
（1）求出的长；
深入探究：
（2）在图1的基础上，点、分别沿直线、向右平移到如图2的位置，若，其它条件保持不变，求出的长度；
拓展运用：
（3）如图3，在四边形中，，于点，点为对角线中点，若，直接写出的长为_____．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据勾股定理计算即可得到答案；
（2）作交于点，过点作，交于点，交于点，得到四边形、是矩形，得出，，可证明，得到，，求出，利用勾股定理计算即可；
（3）作于点，延长交的延长线于点，得到四边形是矩形，得出，由得到，，求出，利用勾股定理计算即可得到答案．
【详解】解：（1），，，
，，
点为的中点，点为的中点，
，，
；
（2）如图，作交于点，过点作，交于点，交于点，
，
，，
四边形、是矩形，
，，
点为的中点，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）如图，作于点，延长交的延长线于点，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
点为对角线中点，
，
，
，，
，，
，
，
，
故答案为：