山西省吕梁市汾阳市2024-2025学年八年级下学期 数学期中试卷（含解析）

这是一份山西省吕梁市汾阳市2024-2025学年八年级下学期 数学期中试卷（含解析），共13页。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上．
3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
5．本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必追究法律责任！
第Ⅰ卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑）
1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的化简；理解并掌握其概念是解题的关键．最简二次根式：被开方数不含有分母；被开方数不含有能开方的因数或因式；由此即可求解．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A ．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加法、二次根式的除法、二次根式的乘法，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
故选：C
3. 在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理等知识点，根据三角形的内角和定理求出的度数，即可判断选项，根据三角形内角和定理求出和的度数，即可判断选项，选项，根据勾股定理的逆定理判定选项即可，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解决此题的关键．
【详解】解：、由,，则不是直角三角形，故本选项符合题意；
、由,，得,是直角三角形，故本选项不符合题意；
、由,,则,是直角三角形，故本选项不符合题意；
、由,得是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
4. 平行四边形中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用平行四边形性质得到，，再结合建立等式求出，即可解题．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，，
，
，
解得，
；
故选：B．
5. 如图，，，以B为圆心，为半径画弧，交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，以及坐标系中点的坐标的特征等知识点，利用勾股定理求出的长，再根据即可得解，熟练掌握利用勾股定理求出的长度是解决此题的关键．
【详解】解：，
，，
在中，由勾股定理得：
，
，
点，
故故选：：D．
6. 国际数学教育大会是国际数学联盟指导下的数学界最高级别会议之一，被誉为国际数学教育界的“奥林匹克”．2021年，国际数学教育大会第一次在中国上海召开，下图是大会会标，会标的设计蕴含了丰富的数学文化元素，它的基本思想来自河图．会标中，位于中心的弦图替代了河图中心的五个点，弦图是三国时期的数学家赵爽给出的一个绝妙证明，它解决的数学问题是（ ）
A. 三角形内角和定理B. 勾股定理
C. 三角形全等D. 轴对称图形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理即可得出．
【详解】解：“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理．
故选：B．
7. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是点 的坐标是 ， 点 是 上 一点， 将 沿折叠，点 恰好落在轴上的点处， 则点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质．由勾股定理得，由折叠得，，则，由，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：，，，
，，
，
由折叠得，，
，
，
，
解得，
，
故选：B．
8. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（ ）
A. 4B. 4.5C. 4.8D. 5
【答案】C
【解析】
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键；
根据菱形的性质得出、的长，在求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，，
在中
∵，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
9. 如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，则的长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
10. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，当长度最小时，的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，根据勾股定理求出，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题．
【详解】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小，
由作图过程可知平分，
，
，
，
，
，
，
，，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，即，
解得：，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，勾股定理，熟练掌握角平分线性质是解题的关键．
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查二次根式的除法的应用，根据题意，用长方形的面积除以长即可得到宽．
【详解】解：一个长方形的面积为，长为，
则该长方形的宽为，
故答案为．
12. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的六个等边三角形组成的正六边形的中心与原点重合，轴，则点的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查等边三角形的性质及坐标与图形，根据题意得出，再由等边三角形的性质确定，利用勾股定理求解，结合图形即可得出结果．
【详解】解：如图所示：与y轴交于点H，
∵边长为2的六个等边三角形组成的正六边形的中心与原点重合，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵点在第四象限，
∴点的坐标为，
故答案：．
13. 学习了“勾股定理”之后，小明同学为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；（）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③若小明同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线___________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，利用勾股定理求得、是解答的关键．设风筝下降到点M处，连接，利用勾股定理分别求得、，即可求解．
【详解】解：如图，设风筝下降到点M处，连接，则，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：2．
14. 如图，在正方形中，点E是边的中点，分别交，边于点F，G．若，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】过点B作交于点N，先证明，推出，利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：过点B作交于点N，如图所示：
∵四边形是正方形，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
15. 如图，在矩形中，，．点在对角线上，点、分别在边、上，且，，则四边形周长的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于，由矩形的性质可得，，，，即得，再根据补角性质可得，即可得，得到，，进而可证，得到，即可得，得到四边形的周长，可知当时，取最小值，此时四边形的周长，利用求出即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，则，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的周长，
当时，取最小值，此时四边形的周长，如图，此时点与点重合，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴四边形周长的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，补角性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：
（1）
（2）
（3）；
【答案】（1）
（2）
（3）3
【解析】
【分析】（1）运用二次根式运算法则计算即可；
（2）结合完全平方式运用二次根式的运算法则运算即可；
（3）结合平方差公式结合二次根式的运算法则运算即可．
【小问1详解】
原式=
=
=；
【小问2详解】
原式=
=；
【小问3详解】
原式=
=
=3．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，结合乘法公式，按照二次根式的运算法则计算是解题的关键
17. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现(不考虑阻力的影响)．
（1）求物体从的高空落到地面的时间；
（2）已知从高空坠落的物体所带能量(单位：J)物体质量高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？
（3）在（2）的结果中，你能得到什么启示？(注：杀伤无防护人体只需要的能量)
【答案】（1）
（2）
（3）严禁高空抛物
【解析】
【分析】本题考查了代数式的求值，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）把代入计算即可；
（2）代入求得h，进而计算即可；
（3）由于，故会对人体造成伤害，则应该禁止高空抛物
【小问1详解】
解：把代入得：，
答：物体从的高空落到地面的时间为；
【小问2详解】
解：代入得：，
解得：，
则从高空坠落的物体所带能量为，
答：这串钥匙在下落过程中所带能量有；
【小问3详解】
解：∵，
∴对人构成伤害，
故严禁高空抛物．
18. 如图，在中，对角线，相交于点O，经过点O的直线分别交和于点E，F，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题关键．
由平行四边形可知，，进而证明，即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴．
19. 如图，某小区两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离的长为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为．
（1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长；
（2）试判断与的位置关系，并说明．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由勾股定理可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解；
（2）由勾股定理逆定理求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵的长为，的长为，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∴，
∴．
20. 在中，对角线与相交点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，．
（1）如图，当时，求证：平行四边形是菱形；
（2）如图，当时，若，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（）根据角平分线的定义得，由平行线的性质得，则，根据等角对等边得，最后由菱形的判定即可求证；
（）证明平行四边形是矩形，得，进而证明是等边三角形，，然后证明四边形是矩形，根据勾股定理得，然后代入即可求解；
本题考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，，，
∴平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴．
21. 【阅读材料】
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
【解决问题】
（1）仿照上面的解题过程，化简：__________．
（2）计算：．
（3）已知，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查分母有理数，二次根式的混合运算，化简求值：
（1）根据分母有理化的方法进行求解即可；
（2）先进行分母有理化，再进行计算即可；
（3）先进行分母有理化求出的值，进而求出的值，利用完全平方公式变形求值即可．
【小问1详解】
解：；
故答案为：；
【小问2详解】
原式
；
【小问3详解】
∵，
，
∴，，
∴．
22. 综合与实践
为了测量如图墙体是否与地面垂直，即是否垂直于点，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，两个数学兴趣小组分别设计了两种不同解决方案，设计方案如表所示：
（1）第一小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
（2）请你代表第二小组，写出一个应用原理不同于第一小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性．
【答案】（1）第一小组的方案可行，见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键：
（1）利用勾股定理逆定理进行说明即可；
（2）如图，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到相等的两段，，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，得到当时，，即可．
【小问1详解】
解：第一小组的方案可行．
理由如下：
证明：因为，
若，
则，
，
，
；
【小问2详解】
第二小组的测量方案是：如图，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到相等的两段，，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直．
证明：如图所示，
，若，
则，
，，
又，
，即，
，
．
23. 综合与探究
【课本内容】
如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．
【尝试应用】
（1）学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，连接，请你根据这个提示写出证明“”的推理过程，并求出的取值范围．
反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题处理】
（2）如图3，已知是中边上的中线，是上的一点，交于点，，求证：；
【拓展提升】
（3）如图4，在等边中，点是边上一定点，点在边上，以为边作等边，连接．请直接写出，，之间的数量关系．
【答案】（1）见解析，；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握倍长中线法和截长补短法构造全等三角形是解题的关键：
（1）证明，进而得到，三角形的三边关系求出的范围，进而求出的范围；
（2）延长至点，使，连接，证明，得到，，结合，等边对等角，对顶角相等，得到，即可得证；
（3）在上截取，证明，得到，再根据，等量代换即可得出结论．
【详解】解：（1）延长到，使，连接，
∵是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）延长至点，使，连接，
同（1）法可得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）在上截取，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵等边，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．问题
如何测量墙体是否与地面垂直？
工具
若干条无弹性的绳子
小组
第一小组
第二小组
测量方案
模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打13个结，得到12条线段，且用叠合法使得这12条线段都相等，设每一条线段长为．如图1放置这条总长是的绳子，使在上的绳子，在上的绳子，若，则，即于点，否则不垂直．
测量示意图