2025版高考热点题型与考点专练数学热点16椭圆试题（Word版附答案）

这是一份2025版高考热点题型与考点专练数学热点16椭圆试题（Word版附答案），共7页。
【考向一】椭圆的定义及方程
【典例1】(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为(A)
A.x216+y24=1(y>0) B.x216+y28=1(y>0)
C.y216+x24=1(y>0) D.y216+x28=1(y>0)
【审题思维】 设M(x,y)(y>0),由题意及中点坐标公式可得点P的坐标,利用代入法,即可求得线段PP'的中点M的轨迹方程.
【题后反思】
1.相关点法求轨迹方程的步骤
(1)动点M(x,y)相关的点P(x0,y0)在已知曲线上运动;
(2)寻求关系式x0=f(x,y),y0=g(x,y);
(3)将x0,y0代入已知曲线方程;
(4)整理关于x,y的关系式得M的轨迹方程.
2.定义法求轨迹方程的步骤
(1)判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义;
(2)设标准方程,求方程中的基本量;
(3)求轨迹方程.
3.参数法求轨迹方程的步骤
(1)选取参数k,用k表示动点M的坐标;
(2)得动点M的轨迹的参数方程x=f(k),y=g(k);
(3)消参数k,得M的轨迹方程;
(4)由k的范围确定x,y的范围,确保完备性与纯粹性.
【典例2】(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(C)
A.13B.12C.9D.6
【审题思维】
【题后反思】
椭圆定义应用的三种类型及解题策略
【提醒】
1.注意椭圆的定义中的常数大于|F1F2|,避免了动点轨迹是线段或者不存在的情况.
2.椭圆标准方程中,a,b,c三个量之间满足a2=b2+c2,而并非c2=a2+b2.
【考向二】椭圆的几何性质
【典例1】(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1,则a=(A)
A.233B.2C.3D.6
【审题思维】 分别求出椭圆C1和C2的离心率,根据e2=3e1建立关于a的方程求解.
【题后反思】
1.椭圆中与长度有关的常用结论
(1)椭圆中的通径为过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段,其长度为2b2a;
(2)椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a+c,最小距离为a-c.
2.求椭圆离心率(或其范围)的两种常用方法
【提醒】
(1)解关于离心率e的方程时,常忽视离心率e的取值范围而产生增解现象;
(2)在求与椭圆上点P有关的最值问题时常用到几何性质,也是容易被忽视,从而导致错误.
【典例2】(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB的面积是△F2AB的2倍,则m=(C)
A.23B.23C.-23D.-23
【审题思维】
【题后反思】
1.圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2或|AB|=1+1k2|y1-y2|=1+1k2·(y1+y2)2-4y1y2.
2.求解弦长的三种方法
(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解;
(2)当直线斜率存在时,联立直线与曲线的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系及弦长公式求解;
(3)当弦过焦点时,可结合焦点弦公式求解弦长.
3.解决圆锥曲线中与弦的中点有关问题的两种方法
(1)根与系数的关系法:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解;
(2)点差法:设出直线l与圆锥曲线C的交点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),代入圆锥曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立弦的中点和直线斜率的关系.
【真题再现】
1.★★☆☆☆(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,则|PF1|·|PF2|=(B)
A.1B.2C.4D.5
2.★★☆☆☆(2022·全国甲卷)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为14,则C的离心率为(A)
A.32B.22C.12D.13
3.★★★☆☆(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=23,则l的方程为 x+2y-22=0 .
【模拟精选】
1.★★☆☆☆(2024·海西模拟)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的射线分别与椭圆C和圆M:x2+y2-2x-15=0相交于点P,Q,过点P作PH⊥F1Q,垂足为H,O为坐标原点,则|OH|=(C)
A.43B.32C.2D.52
2.★★☆☆☆(2024·武汉模拟)已知椭圆x2a2+y22=1(a>2)的两焦点分别为F1,F2.若椭圆上有一点P,使∠F1PF2=120°,则△PF1F2的面积为(D)
A.32B.433C.3D.23
3.★★★☆☆(2024·安康模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,且满足∠F1MF2=90°,MF2延长线交椭圆于另一点C,|MF2|=2|F2C|=2,则椭圆的方程为(C)
A.x29+y2=1B.x25+y2=1
C.x29+y24=1D.x218+y22=1
4.★★★☆☆(2024·西安三模)已知定点P(2,0)与椭圆x236+y29=1上的两个动点M,N,若PM⊥PN,则·的最小值为(C)
A.83B.13C.233D.32
5.★★★☆☆(2024·桂林三模)已知椭圆C:x24+y23=1的右焦点为F,过F的直线与C交于A,B两点,其中点A在x轴上方且=2,则B点的横坐标为(D)
A.12B.32C.-74D.74
6.★★★★☆(2024·上饶模拟)如图所示,曲线C是由半椭圆C1:x24+y23=1(y0,b>0)的左、右焦点,过点F2的一条直线与C交于A,B两点,|BF2|=1,∠F1AF2=60°,则椭圆的长轴的最小值为 3 .
8.★★★★☆(2024·长沙三模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,过C的左焦点且斜率为1的直线与C交于A,B两点.若|AB|=12,则C的焦距为 7 .
【创新演练】
1.★★★★☆(2024·上海一模)椭圆具有如下的声学性质:从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点.有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑,某人站在一个焦点处大喊一声,声音向各个方向传播后经墙壁反射(不考虑能量损失),该人先后三次听到了回音,其中第一、二次的回音较弱,第三次的回音较强;记第一、二次听到回音的时间间隔为x,第二、三次听到回音的时间间隔为y,则椭圆的离心率为(B)
A.x2x+yB.xx+2y
C.y2x+yD.yx+2y
2.★★★★☆(2024·绍兴模拟)单位向量a,向量b满足|a+b|=12a·b+2,若存在两个均满足此条件的向量b1,b2,使得b1+b2=λ(b2+a).设a,b1,b2在起点为原点时,终点分别为A,B1,B2,则S△AB1B2的最大值为(B)
A.23B.3C.4D.2年份
2022
2023
2024
角度
题号
角度
题号
角度
题号
新高考Ⅰ卷
椭圆的定义及方程
16
椭圆的几何性质
5
—
—
新高考Ⅱ卷
—
—
椭圆的几何性质
5
椭圆的定义及方程
5
①
由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=6
②
利用基本不等式求最值
求方程
通过对题设条件分析、转化,明确动点满足椭圆的定义,便可直接求解其轨迹方程
焦点三角形问题
利用定义求焦点三角形的周长和面积.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理,其中对|PF1|+|PF2|=2a两边同时平方是常用技巧
求最值
抓住|PF1|+|PF2|=2a,可利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值;利用定义|PF1|+|PF2|=2a转化或变形,借助三角形性质求最值
①
联立方程组,通过方程思想求出m的取值范围
②
将面积之间的关系转化为点到直线的距离间的关系求m