2025版高考热点题型与考点专练数学热点17双曲线试题（Word版附答案）

这是一份2025版高考热点题型与考点专练数学热点17双曲线试题（Word版附答案），共7页。
【考向一】双曲线的定义及方程
【典例1】(2024·天津高考)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为(A)
A.x22-y28=1B.x24-y28=1
C.y24-x28=1D.x22-y24=1
【审题思维】 设|PF1|=m,|PF2|=n→由双曲线的定义得m-n=2a→由△PF1F2是面积为8的直角三角形→m2+n2=(2c)2,12mn=8→由直线PF2的斜率为2→tan∠F1F2P=mn=2,即m=2n→求出m,n的值→进而求出a,b的值→得到双曲线的方程.
【题后反思】
双曲线定义应用的三种类型及解题策略
【提醒】1.不能漏掉“绝对值”,否则轨迹是双曲线的一支;
2.“常数”小于|F1F2|,否则轨迹是两条射线或不存在;
3.确定焦点所在的坐标轴位置,否则容易漏解或错解.
【典例2】(2023·天津高考)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P②.已知|PF2|=2①,直线PF1的斜率为24③,则双曲线的方程为(D)
A.x28-y24=1B.x24-y28=1
C.x24-y22=1D.x22-y24=1
【审题思维】
【题后反思】
巧设双曲线标准方程的六种方法与技巧
(1)焦点在x轴上:设为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).
(2)焦点在y轴上:设为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).
(3)与双曲线x2a2-y2b2=1共焦点:设为x2a2-λ-y2b2+λ=1(λ≠0,-b20)于
P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,
则|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2[1+(y1-y2x1-x2) 2]=1+k2|x1-x2|,
同理可得|P1P2|=1+1k2|y1-y2|(k≠0),
这里|x1-x2|,|y1-y2|的求法通常使用根与系数的关系,需作以下变形:
|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2;
|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2.
2.双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.
在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=b2x0a2y0;涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化.
【典例2】(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为 32 .
【审题思维】 由题意求出|F1A|,|F2A|→利用双曲线的定义求出a→利用|F2A|=b2a=5求得b2→根据c2=a2+b2求得c→代入离心率公式求得结论.
【题后反思】
求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a,b,c的值,由c2a2=a2+b2a2=1+b2a2直接求e.
(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
【提醒】
1.双曲线中a,b,c三个量之间满足c2=a2+b2,注意不要与椭圆中a,b,c之间的关系混淆;
2.双曲线的离心率大于1,椭圆的离心率e∈(0,1).求它们的离心率,不要忽视这一前提条件,否则会产生增解或扩大取值范围的情况.
【真题再现】
1.★☆☆☆☆(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为F1(0,4),F2(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为(C)
A.4B.3C.2D.2
2.★★☆☆☆(2023·全国甲卷)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=(D)
A.15B.55C.255D.455
3.★★★☆☆(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(D)
A.(1,1)B.(-1,2)
C.(1,3)D.(-1,-4)
4.★★★☆☆(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,⊥,=-23,则C的离心率为 355 .
5.★★☆☆☆(2022·全国甲卷)记双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 2(答案不唯一,满足10)的实轴长等于虚轴长的2倍,则C的渐近线方程为(C)
A.y=±12xB.y=±22xC.y=±2xD.y=±2x
2.★★☆☆☆(2024·葫芦岛模拟)已知点F是双曲线x2-y29=1的左焦点,点P是双曲线上在第一象限内的一点,点Q是双曲线渐近线上的动点,则|PF|+|PQ|的最小值为(B)
A.8B.5C.3D.2
3.★★☆☆☆(2024·东城二模)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(3,2),且一条渐近线的倾斜角为30°,则双曲线的方程为(A)
A.x23-y2=1B.x2-y23=1
C.x26-y22=1D.x2-4y2=1
4.★★★☆☆(2024·南昌三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2作直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,若△F1AB的周长为10b,则双曲线C的离心率的取值范围是(A)
A.[52,5]B. [32,3]C. [12,2]D.[2,+∞)
5.★★★☆☆(2024·杭州模拟)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1,F2,直线l过点F2且平行于C的一条渐近线,l交C于点P,若·=0,则C的离心率为(C)
A.3B.2C.5D.3
6.★★★☆☆(多选题)(2024·重庆三模)已知双曲线C:x2a2-y216=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,且△PF1F2的内切圆圆心为I(3,1),则下列说法正确的是(ACD)
A.a=3B.直线PF1的斜率为14
C.△PF1F2的周长为643D.△PF1F2的外接圆半径为6512
7.★★★☆☆(2024·铜川模拟)已知双曲线C:y2a2-x2=1(a>0),过双曲线上一点M(x0,y0)作直线l,分别与双曲线的两条渐近线交于点P,Q,且M为PQ的中点,O为坐标原点,若双曲线的离心率为52,则△OPQ的面积为 2 .
【创新演练】
1.★★★☆☆(2024·武汉模拟)已知a,b∈R,ab