2025版高考热点题型与考点专练数学中档大题练1试题（Word版附答案）

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(1)求角B的大小;
【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理得,3sin Bsin A=sin A-sin Acs B.因为A∈(0,π),sin A≠0,所以3sin B=1-cs B,
所以3sin B+cs B=2sin(B+π6)=1,即sin(B+π6)=12,
又B∈(0,π),B+π6∈(π6,7π6),
则B+π6=5π6,所以B=2π3.
(2)若△ABC的面积等于3,D为BC边的中点,当中线AD的长最短时,求AC边的长.
【解析】(2)由(1)得S△ABC=12acsin 120°=34ac=3,所以ac=4,在△ABD中,由余弦定理可得:AD2=c2+(a2)2-2c·a2·cs 120°=c2+(a2)2+ac2≥3ac2=6,当且仅当c=a2=2,即a=22,c=2时,等号成立,
此时AC2=a2+c2-2accs 120°=8+2-2×22×2×(-12)=14,故AC=14.
2.如图,P在平面ABC上的投影为点C,AC⊥BC,AB=2PC,D,O分别为线段PA,AB的中点,PO与BD交于点E,F是PC上的一个点.
(1)若EF∥平面ABC,求PFFC的值;
【解析】(1)因为D,O分别为线段PA,AB的中点,所以BD和PO的交点E为△PAB的重心,所以PEEO=2,因为EF∥平面ABC,EF⊂平面PCO,平面PCO∩平面ABC=CO,
所以EF∥CO,所以PFFC=PEEO=2;
(2)若PF=FC,AB=2CB,求二面角F-BE-C的正弦值.
【解析】(2)设BC=2,则AB=4,PC=2,CF=1,
由题意可知PC⊥平面ABC,AC⊥BC,
以点C为坐标原点,以CA,CB,CP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,则F0,0,1,B0,2,0,C0,0,0,A(23,0,0),P(0,0,2),E(233,23,23),
设平面FBE的法向量为n=(x1,y1,z1),=0,2,-1,= (233,-43,23),
则即2y1-z1=0,233x1-43y1+23z1=0.
取y1=1,可得n=0,1,2,设平面CBE的法向量为m=x2,y2,z2,=0,2,0,
则,即2y2=0233x2-43y2+23z2=0,
取x2=1,可得m=1,0,-3,
因为cs =m·nm·n=-232×5=-155,
则sin =1-cs2=105.
因此,二面角F-BE-C的正弦值为105.
3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点M与椭圆C的左、右焦点F1,F2构成一个等边三角形,过F1且垂直于MF2的直线与椭圆C交于D,E两点,且△MDE的周长为8.
(1)求椭圆C的方程;
【解析】(1)由△MF1F2是等边三角形,得a=2c,
由于DE⊥MF2,所以DM=DF2,EM=EF2,从而△MDE≌△F2DE,根据椭圆定义,可知△MDE的周长为4a=8,得a=2,所以c=1,b=3,
所以椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)设P,Q是椭圆C上的两个动点,且OP⊥OQ,过点O作OH⊥PQ,交直线PQ于H点,求证:点H总在某个定圆上,并写出该定圆的方程.
【解析】(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),当直线PQ斜率不存在时,且OP⊥OQ,则点P,Q关于x轴对称,
所以lOP:y=x或y=-x,与椭圆C方程x24+y23=1联立,得x2=127,即OH2=127;
当直线PQ斜率存在时,设方程为y=kx+m,
联立方程组y=kx+m3x2+4y2=12,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,所以Δ=64k2m2-16(3+4k2)(m2-3)>0,解得m2