陕西省西安市西光中学教育集团2024-2025学年九年级下学期4月模考数学试题（解析版）

这是一份陕西省西安市西光中学教育集团2024-2025学年九年级下学期4月模考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，四象限，则一次函数的图象可能是，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 若电梯向上运行6层记为层，则向下运行2层应记为（ ）
A. 2层B. 层C. 8层D. 层
【答案】B
【解析】电梯向上运行6层记为层，则向下运行2层应记为层，
故选：B.
2. 将“科技引领未来”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，则在原正方体上，与“来”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A. 科B. 技C. 引D. 领
【答案】A
【解析】在原正方体中，与“来”字所在面相对的面上的汉字是科，
故选：A．
3. 如图，已知，直角三角形纸板的顶点在直线上，顶点、均在直线上，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，
又∵四边形是菱形，
∴，轴，
∴点的坐标为，
故选：A．
5. 已知在平面直角坐标系中，正比例函数（为常数，且）的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】正比例函数（为常数，且）的图象经过第二、四象限，
，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
6. 已知矩形的对角线与相交于点，点分别为线段的中点．若，则的长为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】C
【解析】如图所示，
∵，四边形是矩形，∴，∴，
∵点M、N分别为线段的中点，∴，，
∴．
故选：C．
7. 如图，在中，，平分交于点，点为的中点，交于点，若，则的长为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】C
【解析】∵为的中点，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵平分，∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
8. 在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数，且）向左平移3个单位长度得到抛物线，点均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧，若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
：，
抛物线的对称轴为直线，
点均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧，
当点在直线左侧，点在直线的右侧时，
得到n+4-1，
原不等式组无解，不符合题意；
当点在直线左侧，点在直线的右侧时，
，，
∴n+4--1>-1-n-2，
，
，
，
，
故选：B．
第二部分（非选择题共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 已知实数、在数轴上的位置如图所示，则_______0．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】由此图可知，，
，
故答案为：．
10. 如图，由边长相等的4个正三角形和3个正六边形无空隙、不重叠地拼在一起，组成一个大六边形，若每个正三角形的面积为1，则大六边形的面积为______．
【答案】22
【解析】如图：
由图可知：，∴为正三角形，
∴小正六边形可以分成6个全等的正三角形，
∵边长相等的4个正三角形和3个正六边形无空隙、不重叠地拼在一起，
∴小正六边形中的正三角形和原图形中的正三角形全等，
∴大六边形可以分成：个正三角形，
∵每个正三角形的面积为1，∴大六边形的面积为：22．
11. 向日葵是日常生活中较常见的一种植物，图1中向日葵结籽的部分可近似看成是如图2所示的圆形，其圆心为，直径为，弦上结了一排葵花籽，经测量，圆心到弦的距离为，则弦的长为_______．
【答案】24
【解析】连接，则：，
∵圆心到弦的距离为，∴，
∴；
故答案为：24．
12. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点，点分别为的中点，连接，若的面积为4.5，则的值为_______．
【答案】
【解析】∵轴于点轴于点，
∴，∴四边形是矩形，
设，，
点分别为的中点，则，，
∴，
∴，
∵点P在第四象限内，∴，
把代入，得，∴．
13. 如图，为四边形的两条对角线，点为的中点，交于点，连接，若记的面积为，四边形的面积为，则的值为________．
【答案】
【解析】连接，如图所示：
∵点为的中点，∴，
∴平分的面积，平分的面积，
∴折线平分四边形的面积，
∵，∴，∴，
即，∴，∴．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
解：
．
15. 解方程：．
解：去分母、去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
检验：当时，，
原方程的解为．
16. 已知关于的一元二次方程．
（1）若方程的一个解为，求的值；
（2）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（1）解：当时，，解得或．
（2）证明：，
无论为何值，方程总有两个不相等的实数根．
17. 如图，已知，点为射线上一点，请用尺规作图法在上求作一点的上方求作一点，连接，使得四边形是正方形．（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图，点、即为所求．
18. 如图，在和中，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母）
（1）你添加的条件是______；
（2）请根据你添加的条件，写出证明过程．
（1）解：添加的条件是．
（2）证明：在和中，，
，．
19. 某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养，计划购买一批绘画工具和劳动工具．经市场调查发现，每套绘画工具120元，每套劳动工具80元，学校准备购买这两类工具共20套，且总费用不超过1960元，则最多可购买多少套绘画工具？
解：设购买绘画工具套，则购买劳动工具套．
根据题意，得，解得．
答：最多可购买9套绘画工具．
20. 投壶源于射礼，是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．张羽和赵峰受投壶游戏的启发，制作了如图所示的签和签筒来玩，五支签上分别写有唱歌、跳舞、倒立、相声、魔术（依次用、、、、表示）这五个节目名称，五支签除了所写的节目名称不同外其余完全相同，且当签放在签简里时看不见所写的节目名称．张羽把五支签放在签筒里，摇匀并从中随机抽取一支，记录签上的节目名称，不放回，然后赵峰再从签筒里随机抽取一支，记录签上的节目名称，他们各自要完成自己所抽取的签上的节目．
（1）张羽抽到“跳舞”的概率是______；
（2）请用列表或画树状图的方法，求他们中有一人抽到“魔术”的概率．
解：（1）由题意知，共有种等可能的结果，其中他抽到“跳舞”的结果有种，
他抽到“跳舞”的概率为．
（2）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中他们中有一人抽到“魔术”的结果有8种，
∴他们中有一人抽到“魔术”的概率为．
21. “无定河边暮角声，赫连台畔旅人情”．无定河（如图1）是黄河的一级支流，位于陕西省北部．王欣随父母旅游期间，想测量无定河某段的宽度，如图2，河中有一个标志物，王欣爸爸操控一架无人机，使其停留在点处，王欣从点出发，沿着与垂直的方向走到点处时，发现恰好在一条直线上，测得米，，沿继续向前走到点处时，发现恰好在一条直线上，测得米，，已知点在上，与互余．请你根据王欣的测量结果计算无定河此段的宽度．
解：根据题意得，米，，
，米．
与互余，
，．
，，
米．
即无定河此段的宽度为300米．
22. 某校综合与实践小组针对“阻力对物体运动的影响”开展项目式学习活动．
请你完成表中任务和任务．
解：（）∵时间每增加，运动速度减少，
∴小球运动速度与运动时间的函数关系是一次函数，
故答案为：一次；
（）根据题意得，；
（）当时，，解得，
当小球恰好停止时，运动时间为．
23. 2025年全国两会已经落下帷幕，但体重管理、健康饮食等话题却热度不减．普罗旺斯西红柿因口感佳、营养丰富，已被很多人列入了健康饮食清单．西红柿成熟季小麦想估计自家普罗旺斯西红柿的产量，于是他随机采摘了一部分然后进行称重，记录每个西红柿的质量（克）并整理成如下的统计图表．
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全扇形统计图，并填空：所抽取西红柿质量的中位数落在_______组；
（2）求所抽取西红柿的平均质量；
（3）小麦估计自己家的西红柿果园可以结5000个果，每千克西红柿的价格是10元，请你估计小麦家的普罗旺斯西红柿全部卖完能卖多少钱？（不计损耗）
解：（1）根据题意得，一共调查了个西红柿，C组有8个西红柿
∴C组所占的百分比为；
∴中位数为第10个和第11个平均数
∴所抽取西红柿质量的中位数落在组；
补全扇形统计图如下：
（2）（克），
所抽取西红柿的平均质量为170克．
（3）（元），
估计小麦家的普罗旺斯西红柿全部卖完能卖8500元钱．
24. 如图，点为的边上一点，以为直径的恰好经过点，连接，，交的延长线于点．
（1）求证：为的切线；
（2）若的半径为6，求的长．
（1）证明：连接，如图．
，
．
，
．
为的直径，
，即，
，即．
为的半径，
为的切线．
（2）解：，
．
，
．
设，则．
在中，，
，
解得（舍去）或，
．
25. 近年来，随着低碳环保理念深入人心，共享单车愈发受到年轻人的青睐．小林设计了一个如图1所示的自行车棚，其截面如图2所示，顶棚是抛物线的一部分，是两根水泥柱，垂直于地面上的水平线，且米，米，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式（、为常数，且）．
（1）求顶棚抛物线的函数关系式；
（2）为使车棚更加稳固，现要从顶棚到地面加两根支撑钢条两根钢条之间用钢条连接，米，（在抛物线上，在上，M、N分别在上），钢条与的长度之和是否存在最大值？若存在，请求出钢条与的长度之和的最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意可得，抛物线经过点，，
将代入，，解得：，
顶棚抛物线的函数关系式为；
（2）由题意可得，与之间的距离为2米．设点的坐标为，
则，．
当时，的最大值为米，
钢条与的长度之和存在最大值，最大值为米．
26. 【问题探究】
（1）如图1，已知的半径为7，点、是上的两个动点，则、之间的最大距离为_______；
（2）如图2，在中，点是边的中点，连接，若平分，试判断的形状，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，是一个草药种植区，，的长为定值，，点处是一个储水池，现要对该区域及周边重新规划，计划圈出一个（点、为动点，且始终都在经过点的一条直线上）区域来种植对湿度要求较高的药材，为方便灌溉，需沿线段和线段埋地下水管，沿修一条水渠．根据规划要求，的面积与的面积相等，经过勘测分析可知，所埋地下水管的长度最大值为（即的最大值为）．当所埋地下水管的长度最大时，求水渠的长度．
解：（1）在圆中，直径是圆内最长的弦．已知的半径为7，根据直径（为半径），可得直径为，
点E，F是上的两个动点，当E，F在同一条直径的两个端点时，E，F之间的距离最大，这个最大距离就是圆的直径，
E，F之间的最大距离为14；
（2）是等腰三角形．
理由：过点作于点于点，如图2．
平分．
点是边的中点，，
，
，
等腰三角形．
（3）在中，，
，
．
的面积与的面积相等，
．
取的中点，连接，如图3-1，
则为的中位线，
．
在（或的延长线）上截取，连接，如图3-1，
则是等边三角形，
．
作的外接圆，连接并延长交于另一点，连接，如图3-1，
则，
当为的直径时，的长最大，此时的长也最大，
的最大值为的直径为．
点在所在直线上，当取最大值时点与点重合，
当取最大值时，点在直径上．
是的直径，
，
当的长最大时，，即平分．
，结合（2）得当的长最大时，为等边三角形，如图3-2．
，
．
．
过点作于点，如图3-2，
则，
．
当所埋地下水管的长度最大时，水渠的长度为．
项目主题
从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”
项目背景
某小球从一斜坡上滚下后进入水平木板上，在不施加外力的情况下，经过多长时间会停止滚动
任务实验探究
实验过程
如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从黑球运动到点（水平木板的起始点）处开始，用频闪照相机、测速仪进行测量，并记录黑球在水平木板上的运动时间（单位：）与运动速度（单位：）．
实验结果
小球在点时的速度是，时间每增加，运动速度减少
任务模型建立
（）
小球运动速度与运动时间符合初中学习过的某种函数关系，这种函数关系是___________函数关系（选填“一次”“二次”“反比例”）；
任务问题解决
（）
求小球运动速度与运动时间之间的函数关系式；
（）
当小球恰好停止时，请求出运动时间．
组别
西红柿的质量/克
各组总质量/克
260
600
1340
778
422