陕西西安市西光中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份陕西西安市西光中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分）
1. 的值是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．直接根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：，
故选：A．
2. 下列四个命题中不正确的是（ ）
A. 直径是弦B. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
C. 顶点在圆周上的角是圆周角D. 半径相等的两个半圆是等弧
【答案】C
【解析】
【分析】用弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A、直径是圆内最长的弦，正确；
B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，正确；
C、顶点在圆周角上且两边都与圆相交的角是圆周角，故错误；
D、半径相等的两个半圆是等弧，正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念等知识．
3. 下列关于抛物线说法正确的是（ ）
A. 抛物线开口向上B. 在对称轴的右侧，随的增大而增大
C. 顶点坐标为D. 当，有最大值是2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，故A选项错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为轴，且抛物线的开口向下，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，故B选项错误，不符合题意；
抛物线的顶点坐标为，故 C选项错误，不符合题意；
∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的开口向下，
∴当，有最大值是2，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
4. 如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．连接、．根据圆心角、弧、弦的关系证得是等边三角形，则的半径长为，再求解即可．
【详解】解：如图，连接、．

是的直径，四边形内接于，若，
，
．
又，
是等边三角形，
，
．
故选：D．
5. 如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米．

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦的定义进行解答即可．
【详解】解：，
，
故选：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
6. 已知抛物线开口向下，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D. 任意实数
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数开口向下二次项系数即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
；
故选：B．
7. 如图，已知四边形内接于，若，则等于（ ）
A. 130B. 140C. 150D. 160
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形及圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得，再利用圆周角定理即可求解．
【详解】解：四边形是内接四边形，
，
，
故选：B．
8. 如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论①，②，③，④，⑤中，正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，理解图象的特征是解决问题的关键．根据图像的对称轴、与轴交点个数、与轴交点位置进行判断即可．
【详解】解：如图：
图象开口向下，
，
图象交轴于正半轴，
，
对称轴是直线，
，
，
，
，故①错；
，
，故②对；
图象与轴两个交点，
△，即，故③对；
根据图像可知关于对称的点为，
故图象与轴交点在和3之间，且开口向下，
时，，故④对；
由图象知：时，，
，
，即，故⑤对；共四个对，
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 如图，在的正方形网格中，点、、都在格点上，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了正弦函数的定义以及勾股定理．先求得，利用勾股定理求得和的长，再利用正弦函数的定义求解即可．
【详解】解：∵，都是正方形的对角线，
∴，
又∵，，
∴，
故答案为：．
10. 抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的解析式是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得．
【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度所得的抛物线的解析式为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”．
11. 已知是抛物线上的两点，则的大小关系是____．（用“”、“”或“”填空）
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线开口向上，对称轴为，判定在对称轴的右侧，随的增大而增大，即可求解．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴抛物线上与点关于对称的点的坐标为，
∴当时，随的增大而增大，
∵ ，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了抛物线的开口，对称轴，函数的增减性，熟练确定函数的增减性，判断点与对称轴的位置关系是解题的关键．
12. 扇形的半径为，，则扇形的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求扇形的面积．根据扇形的面积计算公式即可求得结果．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 如图，的半径为，点是半圆的中点，点是的一个三等分点（靠近点），点是直径上的动点，则的最小值_______．

【答案】
【解析】
【分析】如图，作点关于直径的对称点，根据圆的对称性可知点在圆上，连接，交直径于点，此时的最小值是的长，根据弧的度数等于它所对圆心角的度数可知，，根据对称的性质可得，，由垂径定理及推论可知，，根据角的直角三角形和勾股定理可得，即可得出答案．
【详解】解：如图，作点关于直径的对称点，则点在圆上，连接，交直径于点，
∴，则的最小值是的长，
∵点是半圆的中点，的半径为，
∴等于半圆的一半，
∴，
∵点是的一个三等分点（靠近点），
∴等于的，
∴，
∵点与点关于直径的对称，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查对称的性质，弧的度数和圆心角的关系，垂径定理及推论，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，角的直角三角形和勾股定理等知识点，掌握弧的度数和圆心角的关系，垂径定理以及直角三角形的边角关系是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分，解答题应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算．先化简各式，再进行加减运算即可．熟记特殊角的三角函数值，正确的计算，是解题的关键．
【详解】解：原式．
15. 如图，点P是上一点，请用尺规过点P作的切线（不写画法，保留作图痕迹）．

【答案】见解析
【解析】
【分析】连接并延长，过P作的垂线，即为圆O的切线．
【详解】解：连接，并延长，过P作的垂线，即为圆O的切线，如图所示：
【点睛】本题主要考查了切线的性质，作图—复杂作图，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16. 求抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案】对称轴为直线，顶点坐标为．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质．把函数解析式整理成顶点形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可．
【详解】解：∵

∴对称轴为直线，顶点坐标为．
17. 如图，在中，，是的中点，，．求的值．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形性质，正切函数的定义．先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求得斜边的长，再利用勾股定理求得的长，最后根据正切函数的定义求解即可．
【详解】解：∵，是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
18. 设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
（1）求二次函数的表达式．
（2）若点是抛物线上一点，且，则n的取值范围是 ．
【答案】18.
19
【解析】
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．
（1）把，；，；，代入二次函数，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可；
（2）把点M的坐标代入二次函数的解析式，把n用m表示出来，根据m的取值范围，求出n的取值范围即可．
【小问1详解】
解：把，；，；，代入二次函数得：
，解得：，
二次函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：把点代入得：
，
当时，，
当时，，
当时,
当时，的取值范围为：，
故答案为：．
19. 如图，已知为同心圆中大圆的弦，若，大圆半径为2，小圆半径为1．求证：为同心圆中小圆的切线．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定定理，解题关键是先过点作，垂足为，根据垂径定理和的长，求出，再根据勾股定理求出的长，然后根据切线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：证明：如图所示：过点作，垂足为，
，大圆半径为2，
，，
在中，由勾股定理得：，
的长等于小圆的半径1，
为同心圆中小圆的切线．
20. 已知抛物线与轴交点的横坐标为和1，且过点．求此抛物线关于轴对称后所得到的抛物线解析式．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换问题．先求得点关于轴对称的对称点，再利用两点式求出已知抛物线的解析式即可．
【详解】解：∵点关于轴对称的对称点为，
设新抛物线的解析式为：，
∵该抛物线经过点，
，
解得：，
即新抛物线的解析式为：．
21. 如图，是的直径，，与相交于点E，是的切线，与的延长线相交于点F，连接．

（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接，由圆周角定理得，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论；
（2）根据垂径定理得到，由切线的性质得到，据此可得答案．
【小问1详解】
证明：连接，

是直径，
，
，
，
，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
【点睛】此题考查的是圆周角定理、切线的判定与性质，平行线的性质与判定，垂径定理，正确作出辅助线是解决此题关键．
22. 小明利用所学三角函数知识对小区楼房的高度进行测量．他们在地面的点处用测角仪测得楼房顶端点的仰角为，向楼房前行在点处测得楼房顶端点的仰角为，已知测角仪的高度是（点，，在同一条直线上），根据以上数据求楼房的高度．（，结果保留一位小数）

【答案】楼房的高度约为
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．先根据等腰三角形的判定可得，再在中，解直角三角形可得的长，最后根据求解即可得．
【详解】解：由题意得：，，，，，
，
，
，
在中，，
，
答：楼房的高度约为．
23. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为8米，拱高（弧的中点到水面的距离）为2米．
（1）求主桥拱所在圆的半径；
（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）．
【答案】（1）主桥拱所在圆的半径长为5米
（2）此时水面宽度为米
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接，设半径，在中，利用勾股定理构建方程求解即可；
（2）根据勾股定理列式可得的长，最后由垂径定理可得结论．
【小问1详解】
∵点是的中点，，
∴经过圆心，
设拱桥的桥拱弧所在圆的圆心为，连接，
设半径，
在中，，
解得．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米；
【小问2详解】
设与相交于点，连接，
∴，
∴，
在中，，
答：此时水面的宽度为米．
24. 某小区有一个半径为的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心处达到最大高度为，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）写出点C、D的坐标；
（2）求水柱所在抛物线对应的函数表达式；
（3）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为处，通过计算说明身高的王师傅是否被淋湿？
【答案】（1）、
（2）水柱所在抛物线的函数表达式为
（3）王师傅不会被淋湿，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据图象即可求解；
（2）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，将代入即可求解；
（3）把代入函数解析式比较即可．
【小问1详解】
解：由图象可得：、
【小问2详解】
解：设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
水柱所在抛物线的函数表达式为．
【小问3详解】
解：当时，有，
王师傅不会被淋湿．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键．
25. 如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是的切线；
（2）若，求CG的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的定义和性质可得，再利用平行线的性质即可证明；
（2）先通过平行线的性质得出，设，再通过解直角三角形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC，BG的长度，即可求解．
【小问1详解】
连接OD，
，
，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
直线HG是的切线；
【小问2详解】
由（1）得，
∴，
，
，
设，
，
，
在中，，
，
解得，
∴，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E．连接，已知点A，D的坐标分别为，．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使，若存在，请求点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为，当是等腰三角形，请直接写出m的值．
【答案】（1）
（2）存在，点F坐标或
（3）或或
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）先求出点B和点C的坐标，再求出直线l的解析式，进而求出点E的坐标，利用勾股定理证明，利用全等三角形的性质得到，从而证明是线段的垂直平分线，则此时点纵坐标为，令即可解决问题；
（3）分当时，当时，当时三种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：抛物线经过点，，
，
解得，
抛物线解析式为，
【小问2详解】
解：在，当时，，即，当时，，
解得：，
，
设直线的解析式为，
∵直线经过点，
，
，
直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为，
∴在中，当时，，即；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴此时点纵坐标为，
，
，
解得：，
点坐标或；
【小问3详解】
解：，，，
，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：，（舍去）；
当时，，
解得：，
综上所述：值为或或．
【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
6
0
0
…