吉林省永吉实验高级中学2024−2025学年高一下学期4月月考数学试题（含解析）

这是一份吉林省永吉实验高级中学2024−2025学年高一下学期4月月考数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．向量，，则 （ ）
A．B．0C．D．1
2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则
A．3B．C．D．12
3．已知在矩形中，，线段交于点，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．（
5．不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如下图，已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，若，且，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形
7．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ）

A．B．
C．D．
8．在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．，则
C．若，则或D．若，则的最大值为3
10．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则，且四点构成平行四边形
B．若为非零实数，且，则非零向量与共线
C．在中，若，则点一定在的平分线上
D．若向量，则与的方向相同或相反
11．如图，在平面直角坐标系xAy中，，，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．四边形ABCD的面积为
C．外接圆的周长为D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若复数满足，则在复平面内对应的点位于第 象限
13．若，平面内一点满足，则的最大值为 .
14．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，，且与的夹角为．
(1)求及；
(2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
16．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.

(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积.
17．已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且．
(1)求复数；
(2)求复数；
(3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根．
18．在中，内角所对的边分别为．已知．
(1)求A的大小；
(2)若，求的面积．
19．在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)如图，为的外接圆的上一动点（含端点），.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）当且点不重合时，求.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题可知，
∴.
故选D.
2．【答案】C
【详解】因为，所以由正弦定理得,
因此，选C.
3．【答案】D
【详解】依题意得，结合图形有：.
故选D
4．【答案】C
【详解】由，，，得，
解得．所以，，
所以，，
所以在上的投影向量为
故选C．
5．【答案】A
【详解】该陀螺的表面积有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面，
因为圆柱的底面直径为16，所以半径为8，
则底面圆面面积为：，
因为圆柱的高为6，
所以圆柱的侧面为：，
根据圆锥的高为6，底面圆的半径为8，
得圆锥母线长为，
所以圆锥的侧面为：，
所以该陀螺的表面积为：，
故选A.
6．【答案】D
【详解】因为，则，
因为，则，所以，则，
又因为，，则，
则，即，
即，又因为，则，
所以，即.
即一定是等边三角形，故D正确.
故选D.
7．【答案】D
【详解】解：由题意，
所以 ，
如图，原图形 中， ，
所以直角梯形 的边 为轴旋转一周得到的几何体为圆台，
，
故选D.

8．【答案】D
【详解】，
由三点共线可得，且，
所以，
当且仅当即时等号成立.
故选D.
9．【答案】ACD
【详解】设，，则，，
对于选项A：因为，，
所以，故A正确；
对于选项B：例如，，则，
但不成立，故B错误；
对于选项C：若，则，
则或，所以或，故C正确；
对于选项D：设复数在复平面内对应的点分别为，
因为，可知点的轨迹是以点A为圆心，半径为1的圆，
则，当且仅当点A在线段上时，等号成立，
所以的最大值为3，故D正确；
故选ACD．
10．【答案】BC
【分析】利用相等向量的定义、共线向量的概念判断A、B、D，利用单位向量得定义与加法得平行四边形法则判断与的角平分线的关系，即可判断C.
【详解】对于A，如果在线段上，，为线段的四等分点，满足，且，但四点不能构成平行四边形，故A错误；
对于B，设为非零实数，且，则非零向量 与共线，故B正确；
对于C，因为，分别为向量，方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合，
又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在的平分线上，故C正确；
对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，故D错误.
故选BC.
11．【答案】BC
【详解】由题意可得，
所以，故A错误；
过点C作x轴的垂线，设垂足为点E，过点D作x轴的垂线，设垂足为点F，
，
则四边形的面积为
=，故B正确；
因，
在直角三角形中，易得，
设外接圆的半径为R，由正弦定理，，解得，
故外接圆的周长为，故C正确；
因，，
，故D错误.
故选BC．
12．【答案】一
【详解】由，则，
所以复数在复平面上对应点为，该点位于第一象限.
13．【答案】
【详解】由可得.
因为，即，
所以，即是角平分线，
由角平分线的性质可得，
设，则，由可得.
因为，
当且仅当，即时等号成立，即的最小值为，
所以的最大值是.

14．【答案】54m
【详解】由题可得在直角中，，，所以，
在中，，，
所以，
所以由正弦定理可得，所以，
则在直角中，，
即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.
15．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为，
则，解得，
所以，，则，
故.
（2）由（1）可得，且，
因为与所成的角是锐角，则，解得，
且向量与不共线，则，即，
因此，实数的取值范围是.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，
所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm，
又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，
所以.

设圆柱底面圆的半径为，
则，
圆柱体积.
所以剩下的几何体的体积.
（2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体，
它的外接球的球半径满足，即.
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.

17．【答案】(1)
(2)
(3)，，另一根为
【详解】（1），
所以复数的共轭复数为．
（2）因为，
所以
所以.
（3）若是关于的方程的一个根，则，
即，
所以
解得：，，
则，即，
所以方程另一根为．
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，结合正弦定理，
得，
即，
即，
即，
因为，所以，即．
（2）因为，所以．
利用正弦定理得．
而，
故的面积为．
19．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）因为，
所以，
即，
所以，
因为，则，所以，
因为，所以.
（2）（ⅰ）在中，由余弦定理可得，
所以圆的直径为，
又为的外接圆的上一动点（含端点），，
所以，所以的取值范围是.
（ⅱ）在中，由正弦定理可得，
所以.
因为为外接圆上的一点，所以，
因为，所以，
又，
所以.