吉林省四平市第一高级中学2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试卷【含答案】

这是一份吉林省四平市第一高级中学2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试卷【含答案】，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在等差数列中，，则（ ）
A．36B．24C．17D．16
2．已知在等比数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（ ）
A．B．C．D．
4．在数列中，，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．在下列函数中，求导错误的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（ ）
A．B．
C．D．
7．已知为数列的前项和，，则（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
8．已知数列的首项是，前项和为，且（），设，若存在常数，使不等式（）恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设等差数列，的前项和分别为，，若，则满足的的值可能为（ ）
A．2B．4C．12D．14
10．已知数列的前项和为，则（ ）
A．
B．数列的前项和为
C．数列的前项和的最小值为
D．数列的前项和小于
11．已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则的最大值为
B．若数列为等差数列，且，，成等比数列，则其公比或
C．若，则数列为递增数列
D．若，则数列为等差数列
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于 ．
13．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列是等和数列，且，，则这个数列的前2022项的和为 ．
14．对于有穷数列，从数列中选取第项､第项､､第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的一个子列，称各项之和为的一个子列和．规定：数列的任意一项都是的子列．则数列的所有子列和的和为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设等差数列的前项和为，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)当为何值时，最大？并求的最大值.
16．已知函数．
(1)若曲线在其上一点Q处的切线与直线平行，求Q的坐标；
(2)求曲线的过坐标原点O的切线的方程．
17．已知数列，，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
18．已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)记比较与的大小.
19．已知数列满足，且.
(1)证明是等差数列，并求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和；
(3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】，
故选A.
2．【答案】A
【详解】因为是等比数列，所以，所以,
所以，解得，
故选A.
3．【答案】B
【详解】
故选B.
4．【答案】A
【详解】当时，；
当时，，
当时，，
故数列是以为周期的周期数列，故.
故选A.
5．【答案】B
【详解】；
；
；
.
故求导错误的是B.
故选B.
6．【答案】D
【分析】由题意可得，结合放缩即可得解.
【详解】，
由，故，
，
由，
故，即有.
故选D.
7．【答案】D
【详解】当时，，因为，所以．
当时，由得，
两式相减可得，即．
因为，所以，
可得，所以2024．
故选D.
8．【答案】C
【详解】当 时，由可得，
两式相减得： ，即，
而，，故 ，
所以 是以为首项，为公比的等比数列，
则 ，
故，
所以，
而 ，当且仅当 时取等号，
故，当且仅当 时取等号，
所以若存在常数，使不等式（）恒成立，
则的最小值为 ，
故选C.
9．【答案】ABD
【详解】因为等差数列，的前项和分别为，，且，
则，
因为，则，
所以，且，则舍，
所以的可能值为.
故选ABD.
10．【答案】ACD
【详解】因为的前项和为，
所以有，显然，
显然当时,有，
两个式子相减，得，
化简，得，显然适合该通项公式，因此选项A正确；
因为，所以数列为等差数列，
于是数列的前项和为，所以选项B不正确；
令，由，从第五项起，该数列每一项为正数，
因此数列的前项和的最小值为，因此选项C正确；
，
所以数列的前项和为，
因此选项D正确，
故选ACD.
11．【答案】AB
【详解】对于，，
可得，
设函数，，
所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以当且时，所以，
而，，
所以的最大值为，故正确；
对于，，，成等比数列，设公比为，
所以，，
因为数列为等差数列，所以，
所以，解得或，故正确；
对于，当时，，
但数列为递减数列，故错误；
对于，当时，，
当时，，
当时上式不成立，
所以，所以数列不是等差数列，故错误.
故选.
12．【答案】
【详解】∵，，成等差数列，
∴，即，
∴，
∴，
∴或 (舍)．
∴.
13．【答案】6066
【详解】设等和数列的公和为m．
因为，所以，，，，…，
所以，
又，所以，
所以．
14．【答案】2016
【详解】数列中的每一项，含有一个项的子列有个，含有两个项的子列有个，
含有三个项的子列有个，含有四个项的子列有个，含有五个项的子列有个，含有六个项的子列有个，
因此和式中，数列中的每一项，都出现次，
所以所求和为.
15．【答案】(1)
(2)
(3)当时，最大，且的最大值为123
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，，
所以，解得，
所以；
（2）由（1）可得，，
所以；
（3）令，解得，
令，解得，
又，所以当时，最大，.
16．【答案】(1)或（2，0）
(2)或．
【详解】（1），
设，因为直线的斜率为4，
所以，
解得或2．
，．
所以点Q的坐标为或（2，0）．
（2）设切点为，则，，
所以在该点处的切线方程为．
因为切线过原点，所以，
解得或1．
又因为，，
所以切线方程为或．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
，
又，
．
（2）由（1）知，，
，
①，
②，
故①-②得．
，
.
18．【答案】(1)，；
(2)；
(3)，当时，.
【详解】（1）因为，
依题意，
故，由得，
解得或2，
因为，所以，，
故，
其中，故公比，
所以；
（2），
故
；
（3）
所以
当时，，当时，，
所以，当时，.
19．【答案】(1)证明见详解，
(2)
(3)
【详解】（1）由，可得，
又，所以是1为首项1为公差的等差数列，
所以，所以；
（2）由（1）知，所以，
，
两式相减，得，
故；
（3）由（1）知，
所以
，
由题可知，存在，使得成立，
所以，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
故实数的取值范围是.
【方法总结】错位相减法求和步骤：