北京市顺义牛栏山第一中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份北京市顺义牛栏山第一中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（ ）
A．B．C．D．
5．函数(其中，，)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
6．函数的图像（ ）
A．关于原点对称B．关于y轴对称
C．关于直线对称D．关于点对称
7．已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（ ）
A．B．
C．或D．或
8．已知向量为非零向量，则“”是“存在非零实数m，n，使得”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．军事上通常用密位制来度量角．狙击手为了精确命中目标，需要调整射击角度，而狙击枪上的角度单位为密位制．在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如1个平角，1个周角．已知函数，将图象上所有点横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值用密位制可以表示为（ ）

A．B．C．D．
10．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，其中，，则所有点构成的图形面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题）
11． .
12．已知平面向量，，且，则实数 ．
13．已知非零向量夹角为，且.则等于 .
14．设是单位向量，且，则的最小值为 ．
15．已知O，M，N，P，Q在同一平面内，，且与的夹角为，则的最大值为 .
三、解答题（本大题共6小题）
16．已知平面向量，.从下列条件①，条件②中选出一个作为已知条件，解答下列问题：
(1)求的值；
(2)求向量夹角的余弦值.
条件①：；条件②：.
注：如果选择条件①和条件②两个条件分别解答，按第一个解答计分.
17．已知函数()且函数相邻两个对称轴之间的距离为：
(1)求的解析式及最小正周期；
(2)当时，对于恒成立，求的取值范围．
18．已知，．
（1）求及的值；
（2）求的值．
19．如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.
(1)已知在时点距离地面的高度为.求时，点距离地面的高度；
(2)当离地面m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点处有多少时间可以看到公园的全貌.
20．已知函数，（其中，）的最小正周期为，它的一个对称中心为.
(1)求函数的解析式；
(2)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围；
(3)若方程在上的解为、，求.
21．在平面直角坐标系中，已知一列点：，，，，，，其中，向量.
(1)求和的值；
(2)证明：对任意的正整数，都有；
(3)若正整数满足，则下列结论中正确的有___________.（填入所有正确选项的序号）
①；②；③.
参考答案
1．【答案】D
【详解】.
故选D.
2．【答案】C
【详解】对于A，的最小正周期为：，故A不正确；
对于B，的最小正周期为：，
的定义域为，关于原点对称，令，
则，所以为奇函数，故B不正确；
对于C，的最小正周期为：，
令的定义域为关于原点对称，
则，所以为偶函数，故C正确；
对于D，的最小正周期为：，
的定义域为，关于原点对称，令，
则，所以为奇函数，故D不正确.
故选C.
3．【答案】B
【详解】将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到，再向右平移个单位长度，得到函数，所以，.
故选B.
4．【答案】A
【详解】因为在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，，，
所以
.
故选A.
5．【答案】C
【详解】由函数图象可知函数的最大值为，所以，
由函数图象可知函数的最小正周期为，
因为，所以，所以，
由图象可知：
，即，
因为，
所以令，所以，因此，
故选C.
6．【答案】B
【详解】的定义域为，
，
对于AB，因为，所以为偶函数，
所以的图象关于轴对称，所以A错误，B正确；
对于C，因为的对称轴为直线，所以C错误；
对于D，因为的对称中心为，所以D错误.
故选B.
7．【答案】B
【详解】∵向量，不共线，且向量，，与反向，
∴存在实数使，
于是．
整理得．
由于向量，不共线，所以有，
整理得，
解得或．
又因为，所以，
故．
故选B．
8．【答案】A
【详解】向量为非零向量，则“”成立即得向量同向共线；
“存在非零实数m，n，使得”成立即得向量共线；
向量同向共线可以得出共线，但是共线不一定是同向共线，
则“”是“存在非零实数m，n，使得”的充分不必要条件.
故选A.
9．【答案】A
【详解】由题意得，，
则，
因为的图象关于轴对称，所以，
则，
因为，所以当时，，
故的最小值用密位制可以表示为25-00．
故选A.
10．【答案】A
【详解】设，则，
所以，所以，
由，，
得，即，
与交于，
与交于，
则所有点构成图形如图所示（阴影部分），
则面积为.
故选A.
11．【答案】
【解析】利用两角差的正弦公式即可求解.
【详解】.
12．【答案】2
【详解】因为，，，
所以，
解得.
13．【答案】
【详解】解：，
又，
即，
由题意知，
解得：.
14．【答案】
【详解】，且均为单位向量，
∴，
||=1，,
∴.
设与的夹角为θ，
则.
故的最小值为
15．【答案】
【详解】因为，且与的夹角为，
则，
则.
当与同向时取得最大值.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：若选①：因为，，所以，
又，所以，解得；
若选②，因为，，所以，
又，所以，又，解得；
（2）解：由（1）得，所以，，
所以，
所以向量夹角的余弦值为.
17．【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由已知
函数相邻两个对称轴之间的距离为，
，则
，最小正周期为；
（2）当时，对于恒成立等价于当时，
由得，
，
，
即.
18．【答案】（1），；（2）
【详解】（1）因为，所以
因为，即，
解得：或
因为，所以，所以.
（2）因为，且，
解得：，，
因为，所以，，
所以，，
因为，，所以，
所以.
19．【答案】(1)
(2)转一圈中在点处有的时间可以看到公园的全貌.
【详解】（1）依题意知，，，，
由，解得，所以，
因为，所以，又，所以，
所以，
所以，
即时点距离地面的高度为；
（2）令，即，
解得，
即，
又，
所以转一圈中在点处有的时间可以看到公园的全貌.
20．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为函数的最小正周期为，所以，
所以，，则，
因为函数的一个对称中心为，
则，则，
因为，所以，，故.
（2）解法一：当时，，
所以，当时，方程有两个不等的实根，
等价于当时，方程有两个不等的实根，
即与的在内的图象有两个不同的交点，
如图可知，解得，即实数的取值范围为.
解法二：由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点，
作与的图象，
如图，可知，解得，即实数的取值范围为.
（3）因为，则，由可得，
由图知，点与点关于直线对称，所以，，
且，
所以，
.
21．【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)①③
【详解】（1）
，
（2），
，
.
（3）对于①，，，，
，所以，，
，所以，故①正确；
对于②，，所以，，
同理，，，
因为，所以，
，所以②错误；
对于③，，
，
，
因为，所以，
所以，
即，所以③正确.
所以正确选项的序号为：①③.