吉林省四平实验中学2024-2025学年高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份吉林省四平实验中学2024-2025学年高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(1,m)，b=(3,−2)，且(a+b)⊥b，则m =( )
A. −8B. −6C. 6D. 8
2.设{e1,e2}是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能构成基底的是( )
A. 2e1+e2和e1−e2B. 3e1−e2和2e2−6e1
C. e1+3e2和e2+3e1D. e1和e1+e2
3.在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足OP=OA+12(AB+AC)，则|AP|等于( )
A. 2B. 1C. 12D. 4
4.已知AB=a+5b，BC=−2a+8b，CD=3a−3b，则( )
A. A、B、D三点共线B. A、B、C三点共线
C. B、C、D三点共线D. A、C、D三点共线
5.设x∈R，向量a=(3,x),b=(1,−1)且a⊥b，则cs〈a+b,a〉=( )
A. 1010B. 3 1010C. 9 1010D. 10
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin(B+C)⋅sin(B−C)=sin2A，则△ABC的形状为( )
A. 正三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形
7.在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AE=2ED，则BE=( )
A. −23AB+13ACB. 23AB+13ACC. −13AB+23ACD. 13AB+23AC
8.已知点P是边长为2的菱形ABCD内的一点(包含边界)，且∠BAD=120°，则AP⋅AB的取值范围是( )
A. [−2,4]B. (−2,4)C. [−2,2]D. (−2,2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平行四边形的三个顶点(−3,0)，(2,−2)，(5,2)，则第四个顶点的坐标可能是( )
A. (10,0)B. (0,4)C. (−6,−4)D. (6,−1)
10.由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是( )
A. a=20，b=11，A=30°，有两解B. c=2,b= 2,B=30°，有两解
C. a=8，b=16，A=30°，有两解D. b=23，c=34，A=41°，有一解
11.已知两个向量e1和e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1与e2的夹角为π3，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，则实数t可能的取值为( )
A. −6B. − 142C. −12D. −45
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知|a|= 2，且a⋅b=−2，则向量b在向量a上的投影向量为______．
13.已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b+c=2，A=π4，则sinB+sinC= ______．
14.如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的四等分点，若AP=(m+110)AB+110BC，则m=______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量a=(1,0),b=(3,2)．
(1)求向量a+3b,4a−2b的坐标；
(2)求a+b向量的模．
16.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2=b2+c2−bc．
(1)求角A的大小；
(2)若b=2，c=3，求a的值；
(3)若a2=bc，判断△ABC的形状．
17.(本小题12分)
已知|a|=2，|b|=1，(a−3b)⋅(a+b)=3．
(1)求|a+b|的值；
(2)求a与a−2b的夹角．
18.(本小题12分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 3(bsinC+csinB)=4asinBsinC．
(1)求角A；
(2)若a= 7，且△ABC的面积为 32，求△ABC的周长．
19.(本小题12分)
如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C粗距都为5nmile，与小岛D相距为3 5nmile，小岛A对小岛B与D的视角为钝角，且sinA=35．
(1)求小岛A与小岛D之间的距离；
(2)四个小岛所形成的四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量垂直的坐标运算，属于基础题．
根据平面向量垂直的坐标运算求解．
【解答】
解：∵a=(1,m)，b=(3,−2)，
∴a+b=4,m−2，
∵(a→+b→)⊥b→，∴3×4−2m−2=0，
解得m=8．
故选D．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平面向量基本定理与向量共线的判断方法，属于基础题．
当两向量不共线时，可作为基底，据此判断即可．
【解答】
解：对于A，可设2e1+e2=λ(e1−e2)，可知λ=2且λ=−1，显然不成立，所以这两个向量可作为基底，同理可知，C，D选项中的两个向量都可构成基底；
对于B，2e2−6e1=−2(3e1−e2)，两向量共线，所以这两个向量不构成基底．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：∵OP=OA+12(AB+AC)，
∴OP−OA=12(AB+AC)，AP=12(AB+AC)，
∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线，∴|AP|=1．
故选：B．
利用向量的减法可得AP=12(AB+AC)，从而可得AP为Rt△ABC斜边BC的中线，即可求解．
本题考查向量的线性运算，体现了数形结合思想，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵AB=a+5b，BC=−2a+8b，CD=3a−3b，
∴BD=BC+CD=a+5b，
∴AB=BD，
∴AB与BD共线，
∴A、B、D三点共线．
故选：A．
根据平面向量的线性运算与共线定理，证明AB与BD共线，即可得出结论．
本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，是基础题目．
5.【答案】B
【解析】解：因为a=(3,x),b=(1,−1)，又a⊥b，所以3−x=0，解得x=3，
所以a=(3,3),a+b=(4,2)，
所以cs〈a+b,a〉=3×4+3×2 32+32⋅ 42+22=3 1010，
所以cs〈a+b,a〉=3 1010．
故选：B．
利用垂直关系求出a，再利用向量夹角的坐标表示求得答案．
本题考查平面向量的数量积的运算，利用数量积求平面向量的夹角，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
解：因为sin(B+C)·sin(B−C)=sin2A，
所以sinA·sin(B−C)=sin2A，
由A为三角形内角得sinA>0，
所以sin(B−C)=sinA=sin(B+C)，
所以sinBcsC−sinCcsB=sinBcsC+sinCcsB，
所以sinCcsB=0，
因为sinC>0，
所以csB=0，即B为直角．
故选：C．
【解答】
由已知结合诱导公式及两角和与差的三角函数公式，进行化简即可求解．
本题考查了诱导公式，两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平面向量基本定理，属于基础题．
根据题意可得BE=BD+DE，用AC、AB表示BD及DE即可求解．
【解答】
解：因为AD为BC边上的中线，且AE=2ED，
所以BE=BD+DE=12(AC−AB)+(−13AD)
=12AC−12AB−13⋅12⋅(AB+AC)=12AC−12AB−16AB−16AC
=−23AB+13AC，
故选：A．
8.【答案】A
【解析】解：AP⋅AB=|AP||AB|cs，|AP|cs是向量AP在AB上的投影，
所以，当点P与点B重合时，求得AP⋅AB=4，
当点P与点D重合时，AP⋅AB=−2，
故选：A．
求出向量的数量积的最值判断选项即可．
本题考查平面向量的数量积的应用，是基本知识的考查．
9.【答案】ABC
【解析】解：设A(−3,0)，B(2,−2)，C(5,2)，
由已知，得kAB=kCD，kAC=kBD，kAD=kBC，
kAB=−2−02−(−3)=−25，kAC=0−2−3−5=14，kBC=−2−22−5=43，
经验证可得A，B，C可能，D不可能，
故选：ABC．
根据平行四边形的性质分别求出AB，AC，BC的斜率，
本题考查了平行四边形的性质，考查直线的斜率问题，是基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对A：a>b可得A>B，故B只能有一个值，所以三角形有一解，A错误；
对B：由2sin30°=1< 2