吉林省四平市第一高级中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份吉林省四平市第一高级中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.
第Ⅰ卷 选择题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数在复平面内对应点位于（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 中，，则一定是
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定
4. 已知向量满足，向量与的夹角为，则（ ）
A. 12B. 4C. D. 2
5. 若复数z满足，则（ ）
A. B. 1C. 2D.
6. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
7. 在中，已知，是上的点，平分，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设复数z满足，令，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于向量，，，下列说法正确是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 已知P在所在平面内，满足，则点P是的垂心
10. 记的内角，，的对边分别为，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
11. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则符合条件的有且仅有两个
B. 若，则
C. 若，则钝角三角形
D. 若，的外接圆圆心为O，且满足，则m的值为
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.
12. 在中，M，N分别在边，上，且，，D在边上（不包含端点）.若，则的最小值是________．
13. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则______.
14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点D是边CA上的一点，，，则的最小值为________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量，，．
（1）若，求的坐标和的值；
（2）若，与共线，求实数m的值．
16. 已知复数，为虚数单位．
（1）若，求的值；
（2）若为实数，求的值；
（3）若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值．
17. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知csC＝．
(1)若，求△ABC的面积；
(2)设向量，，且，求sin(B－A)的值．
18. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知，，分别是三个内角，，的对边
（1）若，
①求；
②若，设点为费马点，求的值；
（2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值．
19. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算：两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为．
（1）设，，求复向量与的模；
（2）①求证：对任意的实向量与，都有；
②利用①的结论，求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件；
③设复向量，，求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立.
四平市第一高级中学2024-2025学年度下学期第一次月考
高一数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.
第Ⅰ卷 选择题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的几何意义进行判断.
【详解】根据复数的几何意义，在复平面内对应的点是，在第一象限.
故选：A
2. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理代值计算即得.
【详解】由正弦定理，代值可得，
解得．
故选：A．
3. 中，，则一定是
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】表示出向量的点乘，结合已知条件进行判定三角形形状
【详解】因为中，，则，
即，，角为钝角，
所以三角形为钝角三角形
故选
【点睛】本题考查了由向量的点乘判定三角形形状，只需运用公式进行求解，较为简单
4. 已知向量满足，向量与的夹角为，则（ ）
A. 12B. 4C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积公式得到，从而得到.
【详解】因为，向量与的夹角为．所以，
所以．
故选：C．
5. 若复数z满足，则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合复数运算法则求的代数形式，再求其模.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：A.
6. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解；
【详解】由于，
则，
则；
故选：B
7. 在中，已知，是上的点，平分，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由角平分线的性质可得出，设，则，由可得出，然后在中应用余弦定理可求得的长，利用正弦定理可求出的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值.
【详解】如下图所示：
因为平分，由角平分线的性质可知点到边、的距离相等，
因为，设，则，
由可得，
可得，
在中，由余弦定理可得
，故，
由正弦定理可得，所以，，
易知为锐角，则，
所以，.
故选：A.
8. 设复数z满足，令，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的几何意义，再结合复数的运算，即可求解.
【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
，所以，表示圆上的点与两点连线的距离，如图的最大值为，
所以，则．
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于向量，，，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 已知P在所在平面内，满足，则点P是的垂心
【答案】ABD
【解析】
【分析】由向量的三角不等式可判断选项，结合相等向量的条件可以判断选项；根据向量的定义判断C选项；由已知条件结合三角形的垂心的定义分析判断D选项.
【详解】对于A，，当且仅当，方向相同或，中至少有一个零向量时等号成立，A正确；
当时，，的模与方向均相同，B正确；
对于C，向量无法比较大小，C错误；
对于D，因为，
所以，所以，
同理可得，，所以是的垂心，D正确.
故选：ABD．
10. 记的内角，，的对边分别为，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由已知条件结合分析判断，对于B，利用余弦定理和正弦定理结合已知条件可得，然后利用正弦函数的性质分析判断，对于C，由选项B可知，则，从而可判断的范围，对于D，由正弦定理结合及二倍角公式得，再结合可求出其范围进行判断.
【详解】对于A，因为，，所以，所以，所以A错误，
对于B，因为，所以由余弦定理得，
所以由正弦定理得，所以，
因，所以或，
若，则，所以，此时，
所以，则，此时，所以B正确，
对于C，由选项B可知，所以，所以，所以C正确，
对于D，由正弦定理得
，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以，所以D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的综合问题，解题的关键是利用这两个定理进行边角互化，再三角函数质求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
11. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则符合条件的有且仅有两个
B. 若，则
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，的外接圆圆心为O，且满足，则m的值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，利用正弦定理求出即可；对于B，利用正弦定理化角为边再比较即得；对于C，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出即可判断；对于D，先利用余弦定理求得，再利用外接圆性质和数量积定义可得，，再将向量等式两边同时点乘，即可利用正弦定理与和角公式化简求得.
【详解】对于A，由正弦定理，，即，则，
因，则，故符合条件的只有一个，故A错误；
对于B，由正弦定理，，则由可得，则，故B正确；
对于C，由正弦定理和可得，再由余弦定理，可得，
因，则，则为钝角三角形，故C正确；
对于D，由余弦定理，，化简得，
因，因，所以，
因O为的外接圆圆心，则，同理可得，，
由，可得，
则，即（*），
又由正弦定理，可得，其中外接圆半径，则，
则，
代入（*）式化简，可得，即，故D正确.
故选：BCD．
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.
12. 在中，M，N分别在边，上，且，，D在边上（不包含端点）.若，则的最小值是________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据向量的线性运算，可得出，再由基本不等式求最值即可.
【详解】因为在上不存在（不包含端点），
不妨设，其中， ，
所以．
又因为，
则，，其中，均为正数，且有，
所以，
当且仅当4xy=yx2x+y=4x>0,y>0时，即当时，等号成立．
故的最小值是2．
故答案为：2
13. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则______.
【答案】2或5
【解析】
【分析】根据向量的数量积的定义和模的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，平面向量，，两两的夹角相等，包括两种情况，
可得两两夹角为或两两夹角为，
当两两夹角为时，可得，
则；
当两两夹角为时，可得，
则．
故答案为：2或5.
14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点D是边CA上的一点，，，则的最小值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】首先由余弦定理有，进一步，从而通过等面积法得，结合基本不等式的乘“1”法即可得解.
【详解】
因为，所以，由余弦定理得
，又，所以．
又，所以，因为，所以有
，即，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量，，．
（1）若，求的坐标和的值；
（2）若，与共线，求实数m的值．
【答案】（1），
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据向量加法、模的坐标运算求解即可；
（2）利用向量共线的坐标表示求解.
【小问1详解】
因为，，
所以，
从而．
【小问2详解】
因为，所以．
因为与共线，所以，即．
16. 已知复数，为虚数单位．
（1）若，求的值；
（2）若为实数，求值；
（3）若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值．
【答案】（1）0 （2）1
（3）或
【解析】
【分析】（1）直接列方程求解即可；
（2）把代入化简，然后由虚部为零，可求出的值；
（3）把代入方程化简，然后列方程组可求出的值．
【小问1详解】
因为，所以.
【小问2详解】
因为为实数，
所以，解得.
【小问3详解】
因为是关于的实系数方程的一个复数根，
所以，
整理得，
所以，
解得或.
17. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知csC＝．
(1)若，求△ABC的面积；
(2)设向量，，且，求sin(B－A)的值．
【答案】(1)3；(2).
【解析】
【详解】试题分析：（1）先由数量积求出∠ABC的余弦，进而求出正弦，再利用面积公式求面积；（2）先由向量共线求出∠B，从而得到A，C的关系，再消去A，利用已知条件求值；
试题解析：（1）由，得abcsC＝．
又因为csC＝，所以ab＝＝．又C为△ABC的内角，所以sinC＝．所以△ABC的面积S＝absinC＝3．
（2）因为x//y，所以，
即
因为csB≠0，所以
因为B为三角形的内角，所以B＝．
所以A＋C＝，所以A＝－C．
所以sin（B－A）＝sin（－A）＝sin（C－）＝sinC－csC＝×－×＝．
考点：1.向量的数量积；2.向量共线的坐标表示；3.正弦函数的和、差角公式；
18. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知，，分别是三个内角，，的对边
（1）若，
①求；
②若，设点为的费马点，求的值；
（2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①利用两角和的正弦公式得到，即可求出，从而得解；②利用余弦定理求出，利用等面积法求出，再根据数量积的定义计算可得；
（2）利用二倍角公式、诱导公式及和差角公式求出，设，则，再利用余弦定理得到，再利用基本不等式计算可得.
【小问1详解】
①因为，所以，
即，
即，
又，
所以，
又，所以，所以，
所以，因为，所以．
②由三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，结合题设易知点一定在的内部．
由余弦定理可得，即，
又，即，所以，解得．
所以
，
所以，
所以
．
【小问2详解】
因为，
所以，
所以，
又，所以，所以，
则，
即，
所以，
又，，所以，则，所以，
点为的费马点，则，
设，，，，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为．
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设，，，从而推导出、，再利用基本不等式及一元二次不等式求出的取值范围.
19. 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算：两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为．
（1）设，，求复向量与的模；
（2）①求证：对任意的实向量与，都有；
②利用①的结论，求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件；
③设复向量，，求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立.
【答案】（1），
（2）①证明见解析；②证明见解析，当且仅当与共线；③证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用定义的复向量的数量积，即可求复向量的模；
（2）利用实向量就等价于平面向量的坐标运算，所以可用平面向量的数量积来证明；
复向量的数量积则借助复数的运算，及模的运算来证明即可.
【小问1详解】
令．
由已知得，所以
由，可得，
由，可得．
【小问2详解】
①设实向量与夹角为，则，
因为，所以，
即，当且仅当与共线时等号成立．
②设，（为实数）．
，，．
由①得成立，
当且仅当与共线，即时等号成立．
③设复向量，，，
，
由得．
又因为，，
所以仍然成立．