北京市第十二中学2024−2025学年高一下学期3月练习 数学试题（含解析）

这是一份北京市第十二中学2024−2025学年高一下学期3月练习 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共1小题）
1．已知向量，，则（ ）
A．B．C．3D．5
二、多选题（本大题共1小题）
2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A．B．
C．D．
三、单选题（本大题共8小题）
3．已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
4．在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（ ）
A．3B．C．D．
5．向量，， 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则（ ）
A．1.5B．2C．-4.5D．-3
6．在中，为的重心，满足，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：
①集合是“凸集”；
②若为“凸集”，则集合也是“凸集”；
③若，都是“凸集”，则也是“凸集”；
④若，都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
四、填空题（本大题共5小题）
11．已知向量，，若，则实数 ．
12．已知，，则 ．
13．已知角为第二象限角，且，则 ．
14．已知为所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则 ； ．
15．乾坤八卦由乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八个卦象组成，分别代表天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题：

①；
②；
③在上的投影向量为；
④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4．
其中正确命题的序号是 ．
五、解答题（本大题共5小题）
16．在中，．
(1)求的大小；
(2)若，再从条件①、条件②中任选一个作为已知，求的值．
条件①：的面积为；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
17．如图，在梯形中，为线段中点，记
(1)用表示向量；
(2)求的值；
(3)求与夹角的余弦值.
18．已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．已知向量，．
(1)求与平行的单位向量的坐标；
(2)设，，若存在，使得成立，求的取值范围．
20．如图，已知是边长为2的正三角形．如图，、是边的两个四等分点．
(1)求的值；
(2)若为线段上一点，且，求实数的值；
(3)若为线段上的动点，求的最小值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】向量，，则，
所以.
故选B
2．【答案】ABC
【详解】对于选项A，因为，则与共线，
所以不能作为平面向量的基底，故选项A正确，
对于选项B，因为，则与共线，
所以不能作为平面向量的基底，故选项B正确，
对于选项C，，则与共线，
所以不能作为平面向量的基底，故选项C正确，
对于选项D，因为不存在实数，使，即与不共线，
所以能作为平面向量的基底，故选项D错误，
故选ABC.
3．【答案】C
【解析】先由三角函数的定义求出，再由二倍角公式即可求出.
【详解】角的终边与单位圆交于点，
，
.
故选C.
4．【答案】B
【详解】由余弦定理可得，
，
故选:B.
5．【答案】D
【详解】如图，建立平面直角坐标系，由图可知，，，
则，所以.
故选D
6．【答案】A
【详解】设相交于点，为的重心，
可得为中点，，
，
所以，
所以.
故选A.
7．【答案】B
【详解】若，，
所以，，
当时，，当时，，此时
故“”是“”的不充分条件，
因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，所以是必要条件，
综上可知，，那么“”是“”的必要不充分条件，
故选B.
8．【答案】C
【详解】由题意，可得，，
因为，，可得，，
则
.
故选C.
9．【答案】C
【详解】如图，
设，，
则，
由已知，有，
所以三角形 为等腰三角形.
设C为 的中点，则 ，且，
所以，即，
所以.
故选C.
10．【答案】B
【详解】由题意得，若对于任意，线段上任意一点，都有，
则集合是“凸集”，由此对结论逐一分析
对于①，，若对于任意满足，则，
由函数的图象知，对线段上任意一点，都有，
即，故为“凸集”，①正确
对于②，若为“凸集”，则对于任意，
此时，其中，
对于任意，，故为“凸集”，②正确
对于③，可举反例，若，，
任取，，
则对于任意任意，，
所以集合是“凸集”，
任取，，
则对于任意任意，，
所以集合是“凸集”，
取，，
但，
所以不是“凸集”，故③错误，
对于④，若都是“凸集”， 则对于任意，
任意，则，且，
故，故也是“凸集”，④正确；
故选B.
11．【答案】
【详解】由，则，解得.
12．【答案】
【详解】将两边平方可得.
则， .
将
因为，在这个区间内，，所以.
可得.
13．【答案】
【详解】因为，所以，
因为是第二象限角，
所以，
所以，
所以.
14．【答案】 /
【详解】，，
，即，解得，
.
同理可得：，即，解得.
.
15．【答案】②③④
【详解】由题意，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离都是2，
有，，
如图，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，

因为，所以由正八边形性质得，
则，，，，，，
下面，我们开始逐个分析题目中给定结论的正确性，
对于①，易得，，则，故①错误，
对于②，易得，，，
则，，满足，故②正确，
对于③，易得，，
由投影向量公式得在上的投影向量为，故③正确，
对于④，易得，且设的夹角为，
而，则，易得，故，
如图，延长交的延长线于，连接，此时在上的投影为，

当点在线段上时，此时在上的投影最大，
易得是等腰直角三角形，，则，
由勾股定理得，在直角三角形中，，
在等腰三角形中，，
则的最大值为，故④正确.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得：，即，
，.
（2）若选条件①，，；
若选条件②，，，，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
解得：（舍）或，.
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算可得结果；
（2）由向量的数量积计算，即可得结果；
（3）由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可.
【详解】（1）；
（2）由于，可得，又有，
所以；
（3）由于，可得，又有，
所以.
由，可得，
.
18．【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）因为．
令，解得，
所以的单调递减区间为．
（2）当时，不等式恒成立，即不等式在上恒成立，
因为，所以，所以，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
19．【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）由题意可得，所以与平行的单位向量为或，
即或.
（2）因为，，所以，
，
，，
.问题转化为关于t的二次方程在内有解.
令，
①当，即时，在内为增函数， ，
方程在内无解.
②当，即时，由，解得或.
③当，即时，在内为减函数，由得.解得.
综上，实数k的取值范围为.
20．【答案】(1)6
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
所以
.
（2）设，则，
所以，解得.
（3）记，
，
设，
则，，
，，
所以当，即时，取得最小值，为.