高二寒假数学自学（人教B）预习16 等比数列的前n项和（七大考点）（解析版）

这是一份高二寒假数学自学（人教B）预习16 等比数列的前n项和（七大考点）（解析版），共23页。学案主要包含了等比数列的前n项和公式，等比数列前项和的性质，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

知识点一、等比数列的前n项和公式
知识点二、等比数列前项和的性质
（1）等比数列中,若项数为,则;若项数为,则.
（2）若等比数列的前项和为,则成等比数列(其中均不为,公比为.
（3）若一个非常数列的前项和,则数列为等比数列,即数列为等比数列.
考点一：等比数列前项和的有关计算
例1．设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A．48B．90C．96D．162
【答案】B
【详解】设等比数列的公比为，
当时，，，无解不合题意；
当时，，解得，
.
故选：B.
变式1-1．已知正项等比数列的首项为1，前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设数列的公比为，
若，，，不满足，
所以，则，整理得，解得,
.
故选：C.
变式1-2．设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．或9B．8或C．8或9D．或
【答案】B
【详解】依题意，，因为，，所以，
故，即，即，
所以或或（舍去），所以或.
故选：B
变式1-3．记为等比数列的前n项和．若成等差数列，则的公比为 ．
【答案】
【详解】设公比为，由题意得，
即，
所以，故，
解得.
故答案为：.
考点二：等比数列片段和的性质
例2．设等比数列的前项和为，若，则 .
【答案】21
【详解】设，则.
因为为等比数列，所以仍成等比数列.
又，所以，即，
所以，
故答案为：21.
变式2-1．已知公比的等比数列满足成等差数列，设的前项和为，则 .
【答案】
【详解】解析由成等差数列得，即，因为，
所以，解得（舍去）或，
易知成等比，
所以，所以.
故答案为：
变式2-2．设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．－120B．－85C．85D．120
【答案】B
【详解】因为为等比数列，所以构成等比数列，
所以构成等比数列，
所以，即，解得或.
因为，所以，即，.
所以，
即，解得.
故选：B
变式2-3．设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【详解】由题意得 QUOTE S2=2,S4-S2=6 QUOTE S2=2,S4-S2=6 S2=2,S4-S2=6，，
因为成等比数列，故 QUOTE S4-S22=S2S6-S4 QUOTE S4-S22=S2S6-S4 S4-S22=S2S6-S4，
即 QUOTE 62=2S6-8 QUOTE 62=2S6-8 62=2S6-8，解得，
故.
故选：D
考点三：等比数列前n项和公式的特征及应用
例3．已知等比数列的前项和，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】等比数列的前项和为，，
当时，可得，可得，
当时，，则
因为为等比数列，所以，解得
故选：．
变式3-1．已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当时，，
当时，，
故当时，，
因为数列为等比数列，易知该数列的公比为，则，即，
解得.
故选：C.
变式3-2．（多选）是等比数列的前项和，若存在，使得，则（ ）
A．B．是数列的公比
C．D．可能为常数列
【答案】ABC
【详解】设等比数列的公比为.
当，显然是一次函数性质不是指数函数形式，故不满足，所以D错；
当，
所以，
即，，所以ABC对．
故选：ABC.
变式3-3．已知等比数列的前项和为，若，则 .
【答案】
【详解】设等比数列公比为，则，
即等比数列的前项和要满足，
又因为，所以.
故答案为：
考点四：等比数列奇偶项的和
例4．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（ ）
A．8B．C．4D．2
【答案】D
【详解】由题意可知：，
所以．
故选：D.
变式4-1．已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得，
而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比.
故选：B
变式4-2．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故
设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，
则，所以，，
因为，可得，因此，.
故选：C.
变式4-3．等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 .
【答案】/
【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，.
由题意可得
解得
所以．
故答案为：.
考点五：等比数列前n项和的实际应用
例5．某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是 ．
【答案】 64 126
【详解】依题意，第一次报数后向前一步的原编号为，为第二次报数时的新编号，
第二次报数后向前一步的原编号为，为第三次报数时的新编号，
第三次报数后向前一步的原编号为，为第四次报数时的新编号，
第四次报数后向前一步的原编号为，为第五次报数时的新编号，
第五次报数后向前一步的原编号为，为第六次报数时的新编号，
显然第六次报数时向前一步的编号为，
因此走到最前面的同学各次编号按报数由后向前排列为，
所以走到最前面的同学第一次的序号是64；这位同学的所有序号之和为.
故答案为：64；126
【点睛】关键点点睛：探求报数前后两个编号的关系是求解问题的关键.
变式5-1．某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】C
【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得：
第1次还款后欠银行贷款为，
第2次还款后欠银行贷款为，
…，
第12次还款后欠银行贷款为
，
因为贷款12个月还清，所以，即，
所以.
故选：C.
变式5-2．中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接国庆节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部塔楼的顶层挂4盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则九层塔楼一共需要挂的灯笼数为（ ）
A．360B．511C．1022D．2044
【答案】D
【详解】依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，且，公比，
所以前9项和为，所以九层塔楼一共需要挂2044盏灯笼．
故选：D．
变式5-3．纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以，，，，，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①，，，…，所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，…，如此对开至规格．现有，，，…，纸各一张．若纸的宽度为，则纸的面积为 ；这9张纸的面积之和等于 ．
【答案】 /
【详解】由题设，若的长宽分别为，则的长宽分别为，的长宽分别为，的长宽分别为，的长宽分别为，
又纸宽度为，所以，则的面积为，
由上分析，面积为，面积为，面积为，，依次类推，
易知，这9张纸的面积是以为首项，为公比的等比数列，
所以，面积之和为.
故答案为：；
考点六：等比数列求和中的图推问题
例6．烟花三月，莺飞草长，美丽的樱花开满园．将樱花抽象并按照一定的规律循环出下图：
图①将樱花抽象后，得樱花数，图②以樱花五片花瓣为蕊作五个缩小版樱花，得樱花数，以此类推．假设第个图的樱花数是．
(1)试写出樱花数所成数列的递推公式，并求出数列的通项公式；
(2)求的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题得数列的递推公式为，
则
，
，又符合上式，
所以数列的通项公式为．
（2），
即．
变式6-1．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从第一个正三角形（边长为1）P1开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，称为科赫曲线.设Pn的周长和面积分别为Ln、Sn，下列结论正确的是（ ）
①P₅的边数为
②
③既不是等差数列，也不是等比数列；
④
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【详解】设每个图形的边数为，由题意可得，，，，，…,，故①正确；
，故②正确；
，
第一个图形的面积即正三角形的面积，
从第1个图形到第2个图形，边数增加了，同时每条边上多了一个小三角形，这个小三角形的面积是原图形的，
所以，，
以此类推，第个图形的面积为，
依次迭代，则
，
所以
，故，，故④正确．
，可得既不是等差数列，也不是等比数列，故③正确
故选：D．
变式6-2．如图，图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图4个三角形中，未着色三角形的个数依次构成数列的前4项：0，1，4，13，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由已知，，，，，
，
故，
当时，
，
时，，
则数列的通项为，
所以.
故答案为：D.
变式6-3．（多选）如图，有一列曲线，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记为曲线所围成图形的面积，则（ ）
A．的边数为128B．
C．的边数为D．
【答案】BCD
【详解】依题意，令图形的边长为，，边数是3；
根据图形规律，图形边长为，边数为边数的4倍，即；
图形边长为，边数为；依此类推，图形边长为，边数为，C正确；
的边数为，A错误；
由图形规律知曲线所围图形的面积等于曲线所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，
而每一个边增加的小等边三角形面积为，
则，整理得，
数列是等比数列，图形的面积，
，D正确；
，B正确.
故选：BCD
考点七：等比数列求和中的最值范围问题
7．在无穷数列中，，，数列的前n项和为，则的最大值与最小值的差为（ ）
A．B．
C．D．无法确定
【答案】C
【详解】由，，得，而，则数列是等比数列，
于是，当为奇数时，，，
当为偶数时，，，因此的最大值与最小值分别为，
所以的最大值与最小值的差为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：利用等比数列前n项和公式求出，再按奇偶结合单调性求解是关键.
变式7-1．如图，正三角形的边长为，取边的中点，作正三角形；取边的中点，作正三角形；如此继续下去，可得到一列三角形，，，，记这些三角形的面积分别为，，，；若，则的最小值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由已知正三角形的边长为，则，
取中点作正三角形，可得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，
所以，
即，
化简可得，，
又单调递增，且，，
所以满足的的最小值为.
故选：C.
变式7-2．（多选）已知为数列的前项和，，则（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．是等比数列D．的最大值是1
【答案】BCD
【详解】对于选项AB：由，时，有，所以，
当时，，两式相减得，且，可得，
可知数列是以为首项，公比为的等比数列，则，
故A错误，B正确；
对于选项C：因为，可得，，
所以是等比数列，故C正确；
对于选项D：因为，所以，由基本不等式可得，
而，，当，即时取等号，故的最大值是，
故D正确；
故选：BCD．
变式7-3．已知正项数列的前n项和为，且满足，.
(1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值；
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）由可得，
相减可得，
因此，
由于为正项数列，所以，因此，
故，
故数列为等差数列，且公差为2，
又，所以，
故
（2），故，
由可得，化简可得，
因此，
记，则
，
当时，，故，而，
当时，，
，故，
故为数列的最小项，故，
故的最大值为
一、单选题
1．已知等比数列的前3项和为28，且，则（ ）
A．28B．56C．64D．128
【答案】D
【详解】因为，所以，
又的前3项和为28，即①，
又②，
②式比①式可得，解得（舍）或，
代入②式得，则.
故选：D
2．各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（ ）
A．或15B．15C．或D．
【答案】B
【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，
由，，为等差数列，则，即，即，
解得或（舍去），又，所以.
故选：B
3．在数列中，已知对任意正整数n，有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，
得，∴．
∵，∴，∴，
∴是以1为首项，4为公比的等比数列．
∴．
故选：D．
4．数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】方法一：已知，则当时，，
两式作差，得，
即，也即数列从第2项起，是以为首项，4为公比的等比数列，
从而．
由于，则于是．
方法二：因为，所以，
根据左栏结论我们可以知道数列从第二项开始是以为公比的等比数列，
则．
故选：A.
5．已知正项等比数列满足，则数列的前10项和为（ ）
A．255B．511C．1023D．2047
【答案】C
【详解】设等比数列的公比为，由，得，
又因为各项均为正数，所以，
所以，因此
故选：C
6．已知正项等比数列的前项和为，且满足，设，将数列中的整数项组成新的数列，则（ ）
A．2023B．2024C．4046D．4048
【答案】D
【详解】令数列的公比为，，
因为，
所以当时，，即，
当时，，即，解得（舍去），
所以，即，
因为数列中的整数项组成新的数列，
所以，此时，即，
可得.
故选：D.
二、多选题
7．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．数列是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【详解】由，又公比为整数.
解得.
对于A，，故A正确，
对于B，.所以，，
所以数列是公比为2的等比数列，故B正确，
对于C，，故C正确，
对于D，，，
所以数列是公差为的等差数列，故D错误.
故选：ABC
8．已知等差数列和等比数列的前项和分别为.和，且，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为等差数列的前项和；
等比数列的前项和；
又，所以等比数列的公比，即.
不妨设，，是不为0的常数，
所以当时，
当时，
则，，
所以，.
故选：AC.
三、填空题
9．设各项为正数的等比数列的前n项和为，且，，则 ．
【答案】8
【详解】依题意，设各项为正数的等比数列的公比为，
由，即，即，而，
所以，即，解得或（舍去）．
所以．
故答案为：8
10．近年来，直播带货成为一种新的营销模式，成为电商行业的新增长点.某直播平台第一年初的启动资金为600万元，当年要再投入年初平台上的资金的作为运营资金，每年年底扣除当年的运营成本万元（假设每年的运营成本相同），将剩余资金继续投入直播平台，要使在第4年年底扣除运营成本后资金不低于1500万元，则每年的运营成本应不高于 万元.（结果精确到0.01万元，参考数据：）
【答案】34.53
【详解】记为第年年底扣除运营成本后直播平台的资金，由题意知，
所以
，
以此类推，，
所以，解得，
即每年的运营成本应不高于34.53万元，才能使得直播平台在第4年年底扣除运营成本后资金达到1500万元.
故答案为：34.53
11．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，记为第n个图形的周长，记为第n个图形的面积，则 ， ．
【答案】
【详解】设第个图形的边长为
由题意知，从第2个图形开始，每一个图形边长均为上一图形边长的，即，
是一个以1为首项，为公比的等比数列
从第2个图形开始，每一个图形的边数都是上一个图形边数的4倍，
第个图形边数为：，设
第个图形的周长为：；
（2）设第个图形的面积为，则
故第个图形的面积为：.
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：本题的关键是从边数的关系，结合等比数列的前项和公式进行求解.
四、解答题
12．已知数列是等比数列，是常数列，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由是常数列，设，由数列是等比数列，得，
而，则，解得，
因此，等比数列的公比，，
所以.
（2）由（1）知，，
所以.
13．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
(1)求和的通项公式；
(2)记为的前n项和．证明：
【答案】(1)，.
(2)证明见解析.
【详解】（1）设等比数列的公比为，，
因为，，成等差数列，
所以，所以，
解得，所以，.
（2）证明：
14．已知数列和等比数列，，若的最大项和最小项分别是中的和的值．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，，
结合函数的单调性，
可知，
所以数列中的最大项为，最小项为，
所以，即，
所以等比数列的公比，所以
（2），
，
，
两式相减得：
，
故.
15．设数列满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由，，得，
由，
得，
所以，
故数列是以为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）得，则，
则；；，
．
由累加法可得，
又，则，同时满足上式，
所以．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握等比数列的前n项和公式,了解推导等比数列前n项和公式的过程与方法.
2．能够运用等比数列的前n项和公式进行有关的计算及解决简单的实际问题.
3．掌握等比数列的前n项和的性质及其应用.
已知量
公式
首项与公比
首项,末项与公比