高二寒假数学自学（人教B）预习13 等差数列（七大考点）（原卷版）

这是一份高二寒假数学自学（人教B）预习13 等差数列（七大考点）（原卷版），共8页。试卷主要包含了等差数列的概念与通项公式，等差数列的性质与应用，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

知识点一、等差数列的概念与通项公式
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
2.等差中项
由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,.
3.等差数列的递推公式及通项公式
已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为，
通项公式为
知识点二、等差数列的性质与应用
1.等差数列通项公式的变形及推广
（1）（2）.
（3）,且.
2.若分别是公差为的等差数列,则有
3.下标性质
在等差数列中,若,则.特别的,若,则有
考点一：等差数列的通项及计算
例1．已知等差数列满足，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
变式1-1．已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
变式1-2．数列中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
变式1-3．在等差数列中，，且，则 ．
考点二：等差数列的判断与证明
例2．已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式2-1．已知数列的通项公式为，判断这个数列是否是等差数列．如果是，求出公差；如果不是，说明理由．
变式2-2．已知数列的首项，且满足，设，证明：是等差数列；
变式2-3．已知数列满足.
(1)求证：是等差数列.
(2)求数列的通项公式.
考点三：等差中项及应用
例3．在等差数列中，若，则（ ）
A．5B．7C．9D．10
变式3-1．已知，，则、的等差中项为（ ）
A．B．C．D．
变式3-2．“数列 为等差数列” 是 “ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
变式3-3．在等差数列中，若和是方程的两实数根，则（ ）
A．B．1C．2D．4
考点四：等差数列的性质
例4．已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ）
A．45B．60C．75D．90
变式4-1．已知数列是等差数列，，则（ ）
A．4B．C．D．
变式4-2．设公差的等差数列中，满足，则的值为 .
变式4-3．已知等差数列的公差为，且，记，若数列的前项和，则 ．
考点五：等差数列的单调性及最值
例5．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（ ）
A．4B．5
C．4或5D．5或6
变式5-1．（多选）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（ ）
A．若，则数列是递减数列
B．若，则数列是递增数列
C．若，则数列是公差为d的等差数列
D．若，则数列是公差为的等差数列
变式5-2．已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 .
变式5-3．已知等差数列的首项，公差．
(1)此等差数列中从第几项开始出现负数？
(2)当n为何值时，最小？
考点六：构造法的应用
例6．已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（ ）
A．B．
C．D．
变式6-1．已知数列满足，，则（ ）
A．2024B．2025C．D．
变式6-2．已知数列满足，，记，则
变式6-3．已知数列中，且，则 .
考点七：实际问题中的等差数列
例7．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（ ）
A．17B．18C．19D．20
变式7-1．习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（ ）
A．72万元B．96万元C．120万元D．144万元
变式7-2．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个.
变式7-3．《九章算术》“竹九节”问题；现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ，这9节竹子的总容积为 .
一、单选题
1．已知等差数列，若，则（ ）
A．1B．C．2D．
2．已知是等差数列，且，，则的值是（ ）
A．24B．27C．30D．33
3．黄州青云塔矗立在黄冈市宝塔公园的钵孟峰上，又名文峰塔，因高入青云而得名.该塔塔身由青灰色石块砌成，共七层，假设该塔底层（第一层）的底面面积为16平方米，且每往上一层，底面面积都减少1平方米，则该塔顶层（第七层）的底面面积为（ ）.
A．8平方米B．9平方米C．10平方米D．11平方米
4．已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时，（ ）
A．2026B．2025C．1012D．2
5．设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知数列的首项，则（ ）
A．48B．80C．63D．65
二、多选题
7．已知等差数列的公差为，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列均为无穷等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列
B．数列是等差数列
C．是等差数列
D．若，则为等差数列
三、填空题
9．在等差数列中，若，则的值为 .
10．已知数列满足且则的通项公式 .
11．已知各项均为整数的等差数列，若，，，则 的最小值是 ．
四、解答题
12．已知数列中，对任意的，都有，，求的通项公式．
13．设为数列的前项和，.
(1)求及；
(2)判断这个数列是否是等差数列.
14．已知无穷等差数列的首项，公差，依次取出序号为被4除余3的项组成数列．
(1)求和；
(2)求的通项公式；
(3)中的第110项是中的第几项？
15．设数列的前项和为，已知，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义；
2．能根据等差数列的定义推出等差数列的性质,并能运用这些性质简化运算；
3．能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.
数列
结论
公差为d的等差数列(c为任一常数)
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
公差为2d的等差数列(k为常数)
公差为的等差数列(p,q为常数)