高二寒假数学自学（人教B）预习14 等差数列的前n项和（九大考点）（原卷版）

这是一份高二寒假数学自学（人教B）预习14 等差数列的前n项和（九大考点）（原卷版），共8页。试卷主要包含了等差数列的前n项和公式，等差数列的前n项和的性质及应用，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

知识点一、等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的函数特点：
对于等差数列,如果是确定的,前项和.
若取,上式可写成.
当(即)时,是关于的二次函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群孤立的点.
知识点二、等差数列的前n项和的性质及应用
1.等差数列前n项和的性质
（1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列.
（2）数列是等差数列(为常数)
（3）等差数列奇偶项和的性质：
①若项数为,则.
②
2.等差数列前n项和的最值
（1）若,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最小值.
（2）若,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最大值.
考点一：求等差数列的前n项和
例1．已知数列是等差数列，其中，则（ ）
A．4050B．4048C．2025D．2024
变式1-1．设等差数列的前项和为，且，，那么（ ）
A．B．
C．D．
变式1-2．记为等差数列的前项和，若，则 ．
变式1-3．数列满足（且），，为数列的前项和，则 ．
考点二：前n项和有关的基本量计算
例2．（多选）设等差数列的前项和为．若，则（ ）
A．B．
C．D．
变式2-1．设是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．12B．18C．24D．32
变式2-2．（多选）设等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-3．已知为等差数列的前项和，若，则 .
考点三：片段和性质
例3．已知数列为等差数列，前项和为.若，，则（ ）
A．B．C．9D．18
变式3-1．若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为 .
变式3-2．等差数列的前项和为，若，，则 .
变式3-3．设等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．18B．27C．45D．63
考点四：前n项和与n的比值
例4．已知为等差数列的前项和，若，且，则（ ）
A．1B．2C．D．
变式4-1．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
变式4-2．在等差数列中,,其前项和为,则 .
变式4-3．已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为 .
考点五：两个等差数列前n项和的比值
例5．若两个等差数列的前项和分别为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
变式5-1．等差数列的前项和分别为和，若，则（ ）
A．B．C．D．
变式5-2．等差数列，的前项和分别为，，且，则 ；若的值为正整数，则 ．
变式5-3．设两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ．
考点六：奇数项和偶数项的和
例6．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（ ）
A．B．C．D．
变式6-1．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ．
变式6-2．已知数列是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是 ．
变式6-3．若项数为奇数的等差数列的所有项和为190，且奇数项和比偶数项和多10，则数列的项数为 ．
考点七：含绝对值的等差数列前n项和
例7．已知为等差数列,,.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
变式7-1．在等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．
变式7-2．已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式
(2)若，求的前项和.
变式7-3．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
考点八：前n项和的最值
例8．已知等差数列的前项和为为整数，且，则使得的的最大值为（ ）
A．5B．9C．10D．11
变式8-1．已知数列是等差数列，且．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值．
变式8-2．（多选）设等差数列的前项和为，公差为，已知，.则（ ）
A．B．
C．时，的最小值为D．最小时，
变式8-3．已知等差数列中， ,.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和，并求的最大值.
考点九：前n项和的实际应用
例9．为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小张11月1日运动了2分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为（ ）
A．3.5小时B．246分钟
C．4小时D．250分钟
变式9-1．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式9-2．卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫生纸厚度为0.1mm．若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约已经使用了（ ）
A．25.7mB．30.6mC．35.3mD．40.4m
变式9-3．《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 .
一、单选题
1．等差数列中，已知，则该数列的前9项和为（ ）
A．54B．63C．66D．72
2．设为数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．记为等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．45B．90C．180D．240
4．若两个等差数列的前 项和分别为 ，满足 ，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列为等差数列，公差为为其前项和，若满足，给出下列说法：
①；②；③；④当且仅当或8时，取得最大值.
其中正确说法的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知等差数列的前项和为，若，则使的最小的的值为（ ）
A．17B．18C．19D．20
二、多选题
7．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，的最大值为22
D．当取得最大值时，的值为11
8．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．
B．
C．当时，取得最小值
D．记，则数列的前项和为
三、填空题
9．已知等差数列，，则 ．
10．已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第 项.
11．已知数列为等差数列，其前项和为，且，则数列的前项和 ．
四、解答题
12．已知等差数列满足：，.
(1)求数列的通项公式以及前项和；
(2)求的值.
13．已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且．
(1)求的值；
(2)记为数列的前n项和，求．
14．记是公差不为0的等差数列的前项和，且.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的的最小值.
15．记等差数列的前项和为，.
(1)证明：数列是等差数列.
(2)若数列满足，且，求的通项公式.
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．探索并掌握等差数列的前n项和公式
2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系
3．能在具体的问题情景中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
公式