高二寒假数学自学（人教B）预习15 等比数列（七大考点）（解析版）

这是一份高二寒假数学自学（人教B）预习15 等比数列（七大考点）（解析版），共19页。学案主要包含了等比数列的概念与通项公式，等比数列的常用性质，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

知识点一、等比数列的概念与通项公式
1.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示（显然）.
注意：（1）等比数列中不能有0项
（2）常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论.
2.等比中项
如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时,.
3.等比数列的通项公式
（1）已知等比数列的首项为,公比为,则数列的通项公式为.
（2）第项与第项的关系为,变形得.
（3）由可知,当且时,等比数列的第项是指数函数当时的函数值,即.
知识点二、等比数列的常用性质
（1）如果,则有.
（2）如果,则有.
（3）若成等差数列,则成等比数列.
（4）在等比数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.
（5）如果均为等比数列,且公比分别为,那么数列仍是等比数列,且公比分别为.
（6）等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即
（7）等比数列的单调性
①当或时,等比数列为递增数列;
②当或时,等比数列为递减数列;
③当时,等比数列为摆动数列.
考点一：等比数列的通项公式及应用
例1．已知数列中，，，，那么数列的前10项和等于（ ）
A．130B．120C．55D．50
【答案】C
【详解】由题可知，，，
所以 ，故数列是以为首项和公比的等比数列，
所以，故，
所以数列的前10项和为.
故选：C.
变式1-1．若数列的通项公式是，且等比数列满足，则 .
【答案】
【详解】由题意可知：，
设等比数列的公比为，
则，解得，
所以.
故答案为：.
变式1-2．正项递增等比数列，前项的和为，若，则（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】A
【详解】因为数列为正项递增等比数列，则，且，
则，解得或（舍去），
可得，所以.
故选：A.
变式1-3．已知公比不为1的等比数列且成等差，则 .
【答案】
【详解】由题知：∵成等差，∴，又是公比不为1的等比数列，
∴，∴，．
故答案为：．
考点二：等比数列的判定或证明
例2．已知数列是公比为的等比数列，则以下数列：①；②；③；④中等比数列的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】数列是公比为的等比数列，
①不是定值，故不是等比数列；
②为定值，故是公比为的等比数列；
③为定值，故是公比为的等比数列；
④为定值，故是公比为的等比数列；故等比数列的个数是3个.
故选：C
变式2-1．在正项数列中，，且，则 ．
【答案】
【详解】在正项数列中，，则，可得，
所以，数列是公比为的等比数列，
因为，且，则，
因为.
故答案为：.
变式2-2．已知数列满足，（为常数），试探究是不是等比数列，并求.
【答案】答案见解析
【详解】由，所以，且，
当时，，此时数列不是等比数列，此时；
当时，，可得，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
此时，即．
变式2-3．在数列中，为其前项和，且满足．判断数列是否为等比数列，并说明理由．
【答案】是等比数列，理由见解析
【详解】因为，所以当时，，
当时，，整理可得，
因为，又.
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列．
考点三：等比中项及应用
例3．已知在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，又，，
所以，解得，
则公比，
故，
故选：B．
变式3-1．在2与8之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数之积为（ ）
A．8B．16C．32D．64
【答案】D
【详解】设插入的3个数为，则成等比数列，
故是2，8的等比中项，且，故，
又，故，
故选：D
变式3-2．已知是2和4的等差中项，正数是和的等比中项，则等于 .
【答案】12
【详解】因为是2和4的等差中项，故 ，
正数是和的等比中项，故，
所以，
故答案为：12
变式3-3．已知，若是与的等比中项，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】因为是与的等比中项，
所以，故，
又，
所以,，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
考点四：等比数列性质及其应用
例4．设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ）
A．B．C．11D．10
【答案】C
【详解】在等比数列中，，得.
根据等比数列性质，.
所以
，.
故选：C.
变式4-1．在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（ ）
A．B．C．3D．9
【答案】D
【详解】由是方程两根可得，
由等比数列性质可得，解得或（舍）；
所以.
故选：D
变式4-2．已知递增的等比数列中，前3项的和为13，前3项的积为27，则的值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】A
【详解】设递增的等比数列的首项为，公比为，
由前3项的和为13，得，
由前3项的积为27，得，即，则，
代入，得，
即，解得或，
因为为递增的等比数列，所以，则.
故选：A.
变式4-3．记为等比数列的前项积.设命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若，则，即，即或，
故不是的充分条件，
若，则有，
故是的必要条件，即是的必要不充分条件.
故选：B.
考点五：等比数列的单调性
例5．在递增等比数列中，，，则公比q为( )
A．B．2C．3D．
【答案】B
【详解】，，
故可得，，两式相比可得：，
即，解得或，又，故；
又为递增数列，故.
故选：B.
变式5-1．已知数列是等比数列，则“存在正整数，对于恒成立”是：“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】取两种特殊情况说明充分性，
当时显然成立；
当时，理由如下：
因为是等比数列，设公比为，则，
当时，，即，
若，则，
注意到，当时，，与假设矛盾，舍去，
故，此时，则为递减数列；
若，则或，
注意到，当时，，与假设矛盾，舍去，
故，此时，则为递减数列；
综上：存在，使时，为递减数列，即充分性成立；
当为递减数列时，，即成立，即必要性成立.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于取两种特殊情况说明，分和两次情况讨论.
变式5-2．在等比数列中，公比为，已知，则是数列单调递减的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【详解】对，令，则，
由于，，所以，故，
因为，所以，即,
即，则数列单调递减，故正向可以推出；
若数列单调递减，，则，则，
则，即，即，则反向能推出；
故是数列单调递减的充要条件，
故选：C
变式5-3．已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若等比数列满足“”，
比如，，此时不是单调递减数列，故正向无法推出，即充分性不成立，
若数列为递减数列， ，或，.
则①“，”可以推出;
②“，”也可以推出，则必要性成立；
则“”是“是单调递减数列”的必要不充分条件，
故选：B.
考点六：等比数列中的最值问题
例6．已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为 ．
【答案】
【详解】设等比数列的公比为，其中，
因为，可得，所以，
解得或（舍去），则，
又当时，，当时，
所以当取最大值时的值为．
故答案为：.
变式6-1．已知数列为正项等比数列，，则使成立的的最小值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】A
【详解】根据条件：，解得.
所以.
由.
所以使成立的的最小值为9.
故选：A
变式6-2．（多选）设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．与均为的最大值
【答案】ACD
【详解】根据题意，是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，
由可得，故C正确；
由可得，则，故A正确；
是各项为正数的等比数列，，
则有，
对于B，，则有，故B错误，
对于D，，则与均为的最大值，D正确.
故选：ACD
变式6-3．已知数列满足，且，则数列中项的最小值为 ．
【答案】
【详解】因为，得到，变形得到，
且，数列是以3为首项，2为公比的等比数列，
所以，故，
设，则，
当时，即，得到，
所以，当时，当时，数列是递增数列，
又，，，，数列的最小值为．
故答案为：.
考点七：等比数列的简单应用
例7．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（ ）
A．斗B．斗C．斗D．斗
【答案】C
【详解】设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗，
由题意得，所以，所以马主人应赔偿斗.
故选：C.
变式7-1．折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为，
故对折6次后，得到腰长为的等腰直角三角形，
所以斜边长为.
故选：A．
变式7-2．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊、猪食人苗，苗主责之粟9斗，猪主曰：“我猪食半羊．”羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊、猪吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿9斗粟，猪主人说：“我猪所吃的禾苗只有羊的一半．”羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊、猪的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，马主人比猪主人多赔偿了（ ）斗．
A．B．C．3D．
【答案】B
【详解】由题意得：猪、羊、马、牛的主人赔偿的粟斗数成等比数列，公比为2，
设猪的主人赔偿的粟斗数为，
则，解得：，
故马主人赔偿的粟斗数为，
所以马主人比猪主人多赔偿了斗数为.
故选：B
变式7-3．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，则该数列的第4项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可知，在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，设该数列为，，
设数列的公比为 ，
因为，
故 ，
故 .
故选：C.
一、单选题
1．正项递增等比数列，前n项的和为，若，，则（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】A
【详解】解：正项递增等比数列中，，
又，，所以，
则，由，解得，
故选：A
2．已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（ ）
A．B．4C．8D．或4
【答案】B
【详解】等差数列的公差为，
若成等比数列，则，
即，解得，，
当时，，
当时，，此时不能构成等比数列，故舍去，
所以,
故选：B.
3．在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，即，
则数列是等比数列，公比为．
又因为，所以或（舍去），
则数列的通项公式为．
故选：A
4．“数列{}是等比数列”是“数列是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若是等比数列，设的公比为q，则，则数列是公比为的等比数列.
假设数列是1，2，2，4，4，8，8，16，16，…，则数列是等比数列，但是数列不是等比数列.
故数列“是等比数列”是“数列是等比数列”的充分不必要条件.
故选：A.
5．已知正项数列满足，且，则（ ）
A．为等差数列B．为等差数列
C．为等比数列D．为等比数列
【答案】A
【详解】因为，数列为正项数列，
所以，，又，
所以，
所以，
所以为等差数列，A正确，C错误；
设，则，，，
满足条件，，
因为，，
所以不是等比数列，不是等差数列，B错误，D错误.
故选：A.
6．已知数列满足，，数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，，则，
且数列是公比为2的等比数列，
则，两边同除可得，
令，则，即，
即，且，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则，则，
即，所以.
故选：C
二、多选题
7．已知等比数列满足，则（ ）
A．公比B．
C．为等比数列D．数列的公比为16
【答案】ACD
【详解】A选项，设公比为，由得，解得，A正确；
B选项，因为，所以，B错误；
C选项，因为，所以，则，
故，为等比数列，C正确；
D选项，因为，所以，
所以，所以数列的公比为16，D正确．
故选：ACD
8．已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，记的前项积为，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】因为等比数列各项均为正数，所以公比，
又，所以数列递增或递减或为常数列，
化简不等式，得，
所以，所以一个大于，一个小于，
所以有且，所以数列为递减数列，即，
故A正确，B正确；
又因为，所以，
，所以C正确，D不正确.
故选：ABC.
三、填空题
9．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 .
【答案】
【详解】由题意得：，解得：，
，解得：，
所以.
故答案为：.
10．已知等比数列满足，且，，成等差数列，则 .
【答案】32
【详解】设等比数列的公比为，
由，可得，解得，
由，，成等差数列，可得，
即为，
解得，所以，
故答案为：32.
11．已知数列前项和为，且，若存在两项使得，当时，则最小值是 .
【答案】4
【详解】由，得，两式相减得，而，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，即，
因为，则，即，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以最小值是，
故答案为：.
四、解答题
12．已知数列满足，，
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求出的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由得，
因为，所以，
所以，
所以数列是首项为1，公比为4的等比数列；
（2）由(1)可知，所以数列的通项公式为.
13．已知等比数列的公比，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为数列是等比数列，且，所以或2，
若，，则与矛盾，舍去，
若，，则，，满足题意，
所以．
（2）因为，是严格增数列，
所以对于任意正整数n都成立，
，
即对于任意正整数n都成立，所以，
因为在上严格递减，
所以当时，最大，最大值为，
所以的取值范围是.
14．某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为，，，…
(1)写出，，，并证明数列是等比数列；
(2)至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？
【答案】(1)，证明过程见解析；
(2)至少需要在年的年底，企业的剩余资金会超过21千万，理由见解析
【详解】（1），，
，
因为，所以，
又，所以是首项为3，公比为的等比数列；
（2）由（1）得，
故，令，解得，
其中，
所以，所以，
故至少需要在年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元.
15．已知数列满足，，且．证明：为等比数列，并求数列的通项公式；
【答案】证明见解析，
【详解】因为，，
所以，，
则，
易知，所以，
因为．
所以是首项，公比的等比数列，
所以．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．探索并掌握等比数列的通项公式,能运用通项公式解决简单的问题.
2．会判断和证明一个数列是等比数列.
3．掌握等比数列的几个基本性质,能够运用这些性质解决等比数列中的有关问题.
4．熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.