高二寒假数学自学（人教B）预习12 数列基础（九大考点）（原卷版）

这是一份高二寒假数学自学（人教B）预习12 数列基础（九大考点）（原卷版），共9页。试卷主要包含了数列的概念与表示，数列的递推公式，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

知识点一、数列的概念与表示
1.数列的概念
（1）定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
（2）项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示,……,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示.其中第1项也叫做首项.
（3）分类:
若数列的项数有限，则该数列为有穷数列；若数列的项数无限，则该数列为无穷数列
2.数列的表示方法
（1）一般形式:数列的一般形式是简记为.
（2）其他方法:解析式法、表格法、图象法.
3.数列的通项公式
（1）如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
（2）数列与函数的区别和联系：
数列是离散型函数，自变量是正整数，定义域是正整数集及其子集，图象是一些离散的点；
函数多是连续型，自变量是实数，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线.
4.数列的单调性
与函数的单调性类似,项数n相当于自变量x,项相当于函数值.
知识点二、数列的递推公式
1.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
数列的递推公式与其通项公式的异同：
2.数列的前n项和
（1）数列的前n项和:把数列从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列的前n项和,记作,即.
（2）数列的前n项和公式:如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
3.与的关系式：
①当时，若适合，则的情况可并入时的通项；
②当时，若不适合，则用分段函数的形式表示.
考点一：数列的概念及分类
例1．下列结论中，正确的是（ ）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
变式1-1．数列的通项公式是，，则它的图象是（ ）
A．直线B．直线上孤立的点
C．抛物线D．抛物线上孤立的点
变式1-2．（多选）下列说法中，不正确的是（ ）
A．数列可表示为
B．数列与数列是相同的数列
C．数列的项可以相等
D．数列和数列一定不是同一数列
变式1-3．下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．
(1)是有穷数列；
(2)所有自然数能构成数列；
(3)，，1，，5，7，，11是一个项数为8的数列．
考点二：根据规律求数列的项
例2．已知数列，则是它的（ ）
A．第9项B．第10项C．第13项D．第12项
变式2-1．数列的第100项是（ ）
A．2B．10C．D．
变式2-2．已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（ ）
A．B．C．D．
变式2-3．根据下列数列的特点，用适当的数填空：，， ，，， ，.
考点三：根据数列的前几项求通项
例3．已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（ ）
A．B．
C．D．
变式3-1．数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（ ）
A．B．C．D．
变式3-2．（多选）已知，下列选项能正确表示数列的公式有（ ）
A．B．
C．D．
变式3-3．写出下面各数列的一个通项公式．
(1)；
(2)6，66，666，6666，…；
(3)；
(4)．
考点四：根据通项公式求值
例4．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（ ）
A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项
变式4-1．已知数列，则它的第8项为（ ）
A．B．C．D．
变式4-2．（多选）若数列的通项公式为，则下列说法正确的是（ ）
A．该数列有3个负数项
B．该数列有无限多个正数项
C．该数列的最小项大于函数的最小值
D．该数列中的所有项均为奇数或4的倍数
变式4-3．已知数列的通项公式为．
(1)计算的值；
(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
考点五：由递推关系求数列的项
例5．已知数列满足，且，则（ ）
A．54B．55C．56D．57
变式5-1．已知数列的首项，且，则这个数列的第4项是（ ）
A．B．C．D．6
变式5-2．已知数列的前项和为，，，，（），则（ ）
A．B．C．D．
变式5-3．数列满足，，则 ．
考点六：数列的周期性及应用
例6．在数列中，若，则下列数不是中的项的是（ ）
A．B．C．D． QUOTE -2 QUOTE
变式6-1．已知数列满足等于的个位数，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
变式6-2．已知数列满足，设的前n项和为，若，则 .
变式6-3．已知数列满足，，则 .
考点七：已知Sn求通项公式an
例7．已知数列的前项和满足，则 .
变式7-1．数列的前项和为，则它的通项公式为 .
变式7-2．已知数列的前项和．则数列 ．
变式7-3．在数列中，，则的通项公式为 .
考点八：累加法求数列的通项
例8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（ ）

A．B．C．D．
变式8-1．在数列中，，，则等于（ ）
A．4B．C．13D．
变式8-2．若在数列中，，，求通项．
变式8-3．在数列中，，当且时，，求数列的通项公式．
考点九：累乘法求数列的通项
例9．已知数列的项满足，而，则（ ）
A．B．C．D．
变式9-1．已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ．
变式9-2．在数列中，，则 .
变式9-3．已知数列的前项和为.求数列的通项公式；
一、单选题
1．在数列中，若，，则下列数不是中的项的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列的通项公式为，则中的项最大为（ ）
A．B．0C．D．2
3．已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．下列结论中正确的是（ ）
A．数列的项数是无限的
B．数列通项公式的表达式不是唯一的
C．数列1，3，5，7可表示为
D．数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列
8．已知数列的通项公式为，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
9．已知数列的前n项和满足，则 ．
10．在数列中，，且，则 ．
11．若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ．
四、解答题
12．已知无穷数列
(1)求出这个数列的一个通项公式；
(2)该数列在区间内有没有项？若有，有几项？
13．已知数列，其前n项和为，，求数列的通项公式.
14．已知，问数列中是否有最大项？若存在，求出这个最大项；若不存在，请说明理由．
15．记数列的前项和为，对任意正整数，有，且.
(1)求和的值，并猜想的通项公式；
(2)证明第（1）问猜想的通项公式；
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．通过实例了解数列的概念，明确数列与数集的区别，理解数列的项与项数的含义，理解数列的函数特征；
2．根据给定的项数，求出相应数列的通项公式，并理解通项公式的含义；
3．通过观察、归纳、猜想等方法，探索数列的规律；
4．通过数列递推公式的学习，培养逻辑推理的素养
类别
含义
递增数列
从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
相同点
不同点
通项公式
均可确定一个数列,求出数列中的任意一项
给出n的值,可求出数列中的第n项
递推公式
由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n项