第六章 平面向量及其应用之解三角形检测卷（1）- 学年高一数学下学期期末备考专题全攻略（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用之解三角形检测卷（1）

一、单选题

1.在中，角的对边分别为，且，，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

在中，由余弦定理得：，

即，解得：或（舍），.

故选：B.

2．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ）

A．1 B．-1 C．-2 D．2

【答案】B

【详解】

由题设知：，而得，

∵，

∴.

故选：B.

3．已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：  因为，所以由正弦定理可得，

因为为角形内角，所以，

所以，即，可得，

因为，所以．

故选：A

4．在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的取值不可能为（    ）

A．3 B．4 C． D．

【答案】B

【详解】

由已知，到直线的距离为，所以当或时，即或时，满足条件的三角形有且只有一个.

所以对于A，符合，故三角形有一解；

对于B：当b=4时，符合，故三角形有两解；

对于C：符合，故三角形有一解；

对于D：符合，故三角形有一解.

故选：B.

5．在中，若满足，则该三角形的形状为（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【详解】

由三角函数的诱导公式，可得，

又由正弦定理得，即，可得，

因为，所以或，

所以为等腰三角形或直角三角形.

故选：D.

6．为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，，则间的距离为（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】B

【详解】

在中，，即，，

和中，，是等边三角形，，

在中，，

所以，

．

故选：B

7．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示，在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，且，则面积的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题设，结合余弦定理知：，即，而，

∴，，

∴当时，.

故选：B.

8．在中，是边上的点，且，若，则的最小值（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，，所以，即，所以，所以，当且仅当，即时取等号.

故选：D

二、多选题

9．在中，.若，则等于（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】BD

【详解】因为，

所以，

在中，因为，

所以，

即，

解得或，

当时，因为，

所以，

.

当时，由正弦定理得：

所以，

综上：或

故选：BD.

10．的内角的对边分别为，下列结论一定成立的有（    ）

A．

B．若，则

C．若，则是等腰三角形

D．若，则是等腰三角形

【答案】BC

【详解】

对于A：因为中，

所以，故A错误；

对于B：因为，所以，由正弦定理得，

所以，即，故B正确；

对于C：因为，由正弦定理边化角得，

所以，

因为，所以或（舍），所以是等腰三角形，故C正确；

对于D：因为，且，

所以或，即或，

所以是等腰三角形或直角三角形，故D错误.

故选：BC

11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，内角A平分线交BC于点D，，以下结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．的面积为

【答案】AC

【详解】

在中，由，即

根据余弦定理得，，即，所以.

由倍角公式得，解得.

在中，，故选项A正确

在中，，解得.故选项B错误；

，解得，故选项C正确；

由，则，又，

,故选项D不正确

故选：AC

12．在中，角所对的边分别为的面积为S，若，则（    ）

A． B．的最大值为1

C．的最大值为 D．

【答案】ABC

【详解】

，即，

由正弦定理可得，

，，

即，

由正弦定理可得，故A正确；

，，,

则当时，取得最大值为1，故B正确；

由余弦定理得，，

，其中，则可得的最大值为，故C正确；

由，联立可得，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．的内角，，所对的边为，，，，则______.

【答案】

【详解】

由正弦定理，得．，得，即，

故答案为：．

14．已知内角，，的对边分别为，，，那么当___________时，满足条件“，的有两个.(仅写出一个的具体数值即可)

【答案】（内任一数）

【详解】

由正弦定理得，所以

若满足条件的有两个，则且

所以

故答案为：（内任一数）

15．在如图所示四边形中，，，，，，则四边形的面积为________.

【答案】

【详解】

由题意，知：，且，，

∴，，

∴四边形的面积.

故答案为：

16．在钝角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则边b的取值范围为________．

【答案】

【详解】

根据，由正弦定理可得，

由，即，则

为钝角三角形，则可能是角为钝角，也可能是角为钝角.

若角为钝角，则 ，又

即解得

若角为钝角，则，又

即，解得

故答案为：

四、解答题

（10分）17．已知的内角、、所对的边分别为、、，且．

（1）判断的形状并证明；

（2）若，的面积，求的内切圆半径．

【答案】（1）是等腰三角形；证明见解析；（2）．

【详解】

（1）是等腰三角形．下面证明：

方法一：因为，所以

所以，

即

所以，

所以．

在中，，所以，

故，所以是等腰三角形．

方法二：因为，所以

所以，所以，故是等腰三角形．

（2）因为，所以，且有，

所以，

即，

所以，故．

又，所以．

又，所以，所以．

（12分）18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）求角A；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）由题意及余弦定理得，

所以，从而，

因为，所以.

（2）由，得，

所以由正弦定理得

又因为，

所以，

，所以

又，所以，所以.

从而是等边三角形.

因为，所以.

（12分）19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.

（1）求C；

（2）若的面积为，求c的最小值.

【答案】（1）；（2）c的最小值为4.

【详解】

解：（1），

由正弦定理得.

即，，

又，∴，即，，

又，∴，即，

（2）由题知，即，

由余弦定理得，∴，

解得或(舍去)，当且仅当时等号成立，∴c的最小值为4.

（12）20．已知中，角所对的边分别为边上的高为

（1）若，求的值；

（2）求的最值

【答案】（1）；（2）最小值为2，最大值为

【详解】

（1）依题意，，而，解得，

则，

在ABC中，由正弦定理，得.

故；

（2）由（1）的可知.

由余弦定理，得，

则，

当时，取得最大值，当且仅当等号成立，

故最小值为2，最大值为.

（12分）21．在中，角的对边分别是，已知，．

（1）求证：；

（2）若为锐角，求的取值范围．

【答案】（1）证明见详解；（2）．

【详解】

（1）由得

则，由正弦定理得；

（2）若为锐角，由余弦定理得

所以

由得

由正弦定理得，所以，

又，所以，，，

故 ．

（12分）22．在①，其中t为角A的平分线AD的长（AD与BC交于点D），②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答在中，内角A，B，C所对的边外别为a，b，c，________.

（1）求角A的大小；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）若选①：因为AD为角A的平分线，

所以，设，

因为，

所以，

所以，

所以，即，

又，

所以，解得，

因为，所以，所以.

若选②：因为，

由正弦定理角化边得，即，

由余弦定理得：，

因为，所以.

若选③：因为，

正弦定理边化角可得，

又，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，

因为，所以.

（2）由（1）得，利用正弦定理边化角得：

=

因为，所以，所以，

所以