第六章 平面向量及其应用（解三角形客观题题型全覆盖）- 学年高一数学下学期期末备考专题全攻略（人教A版2019）学案

解三角形选择题题型全覆盖

例一、基本公式的应用

1．已知在中，分别为内角的对边，，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由得：，

在中，由余弦定理得：，

即，解得：.

故选：B.

2．在中，若，，，则边（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为，，所以，

则，即，解得，

故选：A.

3．在中，“”是“”的（    ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要

【答案】C

【详解】

∵中，由正弦定理，

∴当必有，根据三角形中大边对大角知：；

当时，在三角形中由，有或 成立，即；

∴“”是“”的充要条件.

故选：C

4．在△中，内角A，，所对的边分别为，，，，，，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

∴

∴，

∴

∴.

故选：A.

5．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（    ）

A．2 B．1 C．0 D．不确定

【答案】A

【详解】

由正弦定理知，，即 ，解得，

又，由三角函数性质知角B由两个解，

当角B为锐角时，满足，即存在；

当角B为钝角时，，，

则满足，即存在；故有两个解.

故选：A

6．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．则的值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【详解】

∵，∴由余弦定理可得：，所以，

又．∴．∴，

∴，．

∴．

∵，∴．

∴．

故选：B.

7．已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其三边与三角满足关系式，则的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】D

【详解】

由题

当，三角形为直角三角形

当，则，又，则三角形为等腰三角形

故选：D

8．中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为，所以，

因为，所以，

所以，且，所以，所以，

所以，所以，

故选：A.

9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（    ）

A．若，则为锐角三角形

B．若为锐角三角形，有，则

C．若，则符合条件的有两个

D．若，则为等腰三角形

【答案】B

【详解】

对于A，若，则，A为锐角，

不能判定为锐角三角形，故错；
对于B，若为锐角三角形，有，

则，∴,故正确；
对于C，知道两边一夹角，符合条件的三角形有且只有一个，故C错误；

对于D，，，
，或即，
为等腰或直角三角形，故不正确．
故选：B．

（多选）10.在中，角的对边分别为，且，下列四个命题中正确的是（    ）

A．为直角三角形 B．的面积为

C． D．的周长为

【答案】ABD

【详解】

由，根据正弦定理可得

由，则

由正弦定理可得,再由余弦定理可得

即，即得

所以

所以，所以是以为直角顶点的直角三角形, 所以选项A正确.

所以角为锐角，故选项C不正确.

所以的面积为 ，故选项B正确.

所以的周长为： ，故选项D正确.

故选：ABD

（多选）11．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，有如下判断，其中正确的判断是（    ）

A．若，则为直角三角形

B．若，则

C．若，则符合条件的是有两个

D．若，则是钝角三角形

【答案】BD

【详解】

A．因为，所以或，所以或，

所以为等腰三角形或直角三角形，故错误；

B．因为，所以（为外接圆半径），

所以，由“大边对大角”可知，故正确；

C．因为，所以没有符合条件的三角形，故错误；

D．因为，所以，所以，

所以为钝角，所以是钝角三角形，故正确；

故选：BD.

（多选）12．下列命题中是真命题的有（    ）

A．存在，，使

B．在中，若，则是等腰三角形

C．在中，“”是“”的充要条件

D．在中，若，则的值为或

【答案】AC

【详解】

对于A，当时，正确；

对于B，由可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，错误；

对于C，(其中是外接圆的半径)，正确；

对于D，因为，，所以.

因为，所以由正弦定理得，从而.

又因为，所以，

从而，错误；

故选：AC.

（多选）13．在中，下列说法正确的是（    ）

A．若是锐角三角形，则

B．若，则

C．不存在满足

D．若，则

【答案】BCD

【详解】

对A，由是锐角三角形，所以，则，

所以，即，故A错；

对B，由，则，故，所以B正确；

对C，在中，由，则，故，则，所以C正确

对D，由，所以，则，

又，所以，故D正确

故选：BCD

（多选）14．对于，有如下判断，其中正确的判断是（    ）

A．若，是钝角三角形

B．若，则

C．若，则符合条件的有两个

D．在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积

【答案】ABD

【详解】

对于选项A：由正弦定理可得，所以，因此是

钝角，故是钝角三角形. 故A正确；

对于选项B：因为在中，，，

所以，

又，所以. 故B正确；

对于选项C：由正弦定理，矛盾，

因此，符合条件的不存在. 故C错误；

对于选项D：在三角形中，① 如果已知两边及夹角，显然可以直接用三角形面积公式求出

三角形面积；② 如果已知两边及其一边的对角，可以先用余弦定理求出第三

边，然后再用面积公式求出三角形面积. 故D正确.

故选：ABD.

（多选）15．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法中正确的是（    ）

A．是的充要条件

B．若，则为钝角三角形

C．若为锐角三角形，则

D．三角形的面积公式为

【答案】ACD

【详解】

对于选项A：因为在中，，，

所以，

又，所以，

即是的充要条件，故A正确；

对于选项B：由得，因此是锐角，

但是不能得出是钝角三角形，故B错误；

对于选项C：若是锐角三角形，则，因此，

由是锐角可知也是锐角，又是锐角，

所以，即，故C正确；

对于选项D：由正弦定理知，所以的面积

，故D正确.

故选：ACD.

（多选）16．在中，角A，B，C所对的边外别为a，b，c，下列说法中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则为等腰三角形

C．

D．若，则为钝角三角形

【答案】ACD

【详解】

由可知，再根据正弦定理可得，所以，故A正确；

由及正弦定理可知，即，又

所以或，可知为等腰三角形或直角三角形，故B错误；

由正弦定理知，，故C正确；

因为

，

又，故中有且只有一个角为钝角，故D正确.

故选：ACD

例二、图形结合问题

1．无字证明来源于《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.现有如图所示，其中､为边上异于端点的两点，，，且是边长为的正三角形，则下列不等式一定成立的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【详解】

由图可知，

在和中分别由余弦定理可得：，，

所以.

故选：D

2．已知在中，内角的对边分别为，是的平分线，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

在中，由正弦定理得：，

在中，由正弦定理得：，

，，

，.

故选：B.

3．在平面四边形中，，若的取值范围是，则的长为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【详解】

设，如图，延长，交于点，平移，

当且仅当经过点时，，

，

所以，

当且仅当经过点时，，

，

所以，

以上两式相乘得，.

故选：D

4．如图，在直角三角形中，，，D为边上一点，已知且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，，所以，，

在中，，，则，

由正弦定理可得：，即，

所以.

故选：C.

5．如图所示，在四边形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=且BD为∠ABC的平分线，则BD=（    ）

A．6 B．9 C．7 D．8

【答案】D

【详解】

由正弦定理得，

由，可得，，

所以四点共圆，，

由余弦定理．

故选：D.

（多选）6．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，且边与角满足关系式，若有唯一解，则a可以取（    ）

A． B．8 C．7 D．

【答案】ABD

【详解】

由，

根据正弦定理可得

右边：

左边：

所以

即，由 则

所以，即

所以，由则

所以，则

由，有唯一解.

如图以点为圆心，边为半径作圆弧，若圆弧与边相切，则满足条件的三角形唯一,

此时

若，则以点为圆心，边为半径作圆弧，如图，满足条件的三角形唯一,

故或

故满足条件的有A，B，D

故选:：ABD

7．如图，在平行四边形中，，点是边上一点，且，记为的面积，为的面积，则当取得最小值时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

设，因为，，所以.

令，

则.

令，得，可得，即，

故当时，；当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值.

故选：C.

例三、实际应用问题

1．杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑．小金同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A、天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小金可测得学校天文台的高度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意，，，即，

∴△中，，则，而，

∵在△中，米.

故选：C

2．说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡处测得，从处沿山坡往上前进到达处，在山坡处测得，则宝塔的高为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题可知，，则，

，

设坡角为，则由题可得，则可求得，

在中，，

由正弦定理可得，即，解得，

故宝塔的高为44m.

故选：A.

3．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ）

A．表高 B．表高

C．表距 D．表距

【答案】A

【详解】

如图所示：

由平面相似可知，，而，所以

，而，

即＝．

故选：A.

4．设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（    ）米．

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

由正弦定理可知

，

故选：B

5．为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，，则间的距离为（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】B

【详解】

在中，，即，，

和中，，是等边三角形，，

在中，，

所以，

．

故

（多选）6．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【详解】

解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.

A. 在中，已知，可以解这个三角形得到，再利用、解直角得到的值；

B. 在中，已知无法解出此三角形，在中，已知无法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔的高度；

C. 在中，已知，可以解得到,再利用、解直角得到的值；

D.

如图，过点作,连接.

由于,

所以，所以可以求出的大小，

在中，已知可以求出再利用、解直角得到的值.

故选：ACD

7．明末邓玉函以毕的斯克斯1612年版《三角法》为底本，并采用斯蒂文著作《数学记录》中部分内容，编译出中国第一部三角学著作《大测》，将欧洲当时最新、最重要的三角学成果介绍到中国，对中国三角学影响极大．在《大测》中提及割图八线，即对一个角而言的八个三角函数，因其可用第一象限单位圆中八条线长（如图中，，，，，，，）表示而得名．若图中，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意得，，所以.

所以．

在中，由正弦定理及，得.

所以，由余弦定理知.

即，解得或（舍去）.

所以.

故选C．

选：B

例四、最值、范围问题

1．在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，由正弦定理可知， ，

又，所以

所以，所以

即，

又是锐角

所以，即，

所以，解得，所以，

所以.

故选：B.

2．设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由正弦定理得.

因为为锐角三角形，所以即所以，

所以，

所以的取值范围是.

故选：A.

3．在中，，平分交于，且，则的面积的最小值为（    ）

A．3 B． C．4 D．

【答案】B

【详解】

因为的面积等于与的面积之和，

所以，

又因为，，代入得，

又因为，

所以，得，

当且仅当时取等号．

所以的面积的最小值为．

故选B．

4．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若能盖住的最大圆面积为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

中，，

即，而，则，

因能盖住的最大圆面积为，即内切圆面积为，其半径为r=1，

由三角形面积计算知，即，

由余弦定理得，

则，于是得，当且仅当a=b时取“=”，

显然，从而得，即，

，当且仅当时取“=”，

所以当时，的最小值为6.

故选：B

5．在中，，点在边上，且，设，则当k取最大值时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，

所以，即，

因为，

所以，，

因为，

所以，

因为点在边上，且，

所以，

设，

则，

在中，由余弦定理得，

，

所以，

即，

即，

所以，

令，得，

下面采用基本不等式和导数两种方法求解：

方法一：利用基本不等式求解：

，

要使最大，需最大，当取最大值时，必有，

当且仅当，即时等号成立，

所以时，有最大值，

的最大值为，此时，

所以，解得，

在中，由正弦定理得，

解得，

即.

下面采用导数的方法求解：

求导得，令，解得，

当时，，当时，，

所以当时，取得最大值，此时，

所以，解得，

在中，由正弦定理得，

解得，

即.

故选：B.