第六章 平面向量及其应用（解三角形解答题题型全覆盖）- 学年高一数学下学期期末备考专题全攻略（人教A版2019）学案

解三角形解答题题型全覆盖

例一：正、余弦定理的基本应用

1．在平面四边形中，，，.

（1）若△的面积为，求；

（2）若，，求.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）在△中，，，

∴，可得，

在△中，由余弦定理得，

.

（2）设，则，

在中，，易知：，

在△中，，

由正弦定理得，即，

，可得，即.

2．在中，分别为角的对边，且．

（1）求角B；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）

【详解】

解：（1）因为，由正弦定理可得，因为，所以，所以，即，所以，所以；

（2）由余弦定理可得，将及代入上式得，，整理得，即，所以或，因为，所以，所以，所以

3．中，角的对边分别为，

（1）若为锐角三角形，其面积为，求a的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）因为且，

所以且，所以，

又因为为锐角三角形，所以，

所以，所以，

所以，所以；

（2）因为，所以，

又因为，所以，所以，

所以，所以，

因为，所以 ，所以，

所以.

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a且

（1）求角C的大小；

（2）若，c=1，求△ABC的面积.

【答案】（1）； （2）或.

【详解】

（1）因为，

在中，，即，所以，

所以，可得，

所以，即，所以，

因为，所以.

（2）由正弦定理可得，

因为，所以，

因为且，所以或，所以或，

当时，；

当时，.

5．已知、、分别为三个内角、、的对边，，且，.

（1）求角的大小；

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）因为，

由正弦定理可得，

即，

可得，

，则，所以，，即，即，

，则，故，因此，；

（2）因为，由正弦定理可得，

即，所以，，

因为，由余弦定理可得，则，

因此，.

例二：与角平分线，中线有关的问题

1．已知的内角的对应边分别为，且有．

（1）求；

（2）设是的内角平分线，边，的长度是方程的两根，求线段的长度．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）由正弦定理得：，

即，又，

，又，，

，，又，；

（2）为方程的两根，，，

由（1）知：，，

，，

即，解得：.

2．在中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的3倍.

（1）求；

（2）若AD=2，DC=1，求BD和AC的长.

【答案】（1）；（2）BD=2，.

【详解】

（1）由面积是面积的2倍，

得，

而∠BAD=∠CAD，

所以AB=2AC，

由正弦定理，得

（2）由，得BD=2DC，

所以BD=2.

又因为AD=2，DC=1，在和中，由余弦定理得

，

所以有，结合（1）知AB=2AC，

解得.

3．在中，、、分别为内角、、的对边，已知，且边上的中线长为．

（1）证明：；

（2）求面积的最大值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】

（1），由余弦定理可得，则，故；

（2）设边的中点为点，则，

所以，，

所以，，

故，

由余弦定理可得，

两式相加得，故，可得，

所以，设边上的高为，则，

故

，

当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，面积的最大值为.

4．在中，线段是的角平分线，且

（1）求.

（2）若求的值.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

解（1）平分

（2）如图，过点作交于点，并延长交于点，

显然

在中，

在中，由正弦定理得

即，所以

所以

所以

所以

又

例三：结构不良

1．从条件①，②中任选一个，补充到下面的问题中并作答.问题：在中，角，，的对边分别为，，，且，，求边.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【详解】

选条件①时，，

所以，

故．

．

故，

所以．

选条件②时，由于，，

利用正弦定理，故．

由于，

所以，

由于，

所以，

所以，

解得，

由于，

故，

所以，

故，

由正弦定理得：．

2．从①；②的面积；③的周长为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．

的内角，，的对边分别为，，，，且______．求及边上的中线的长．

【答案】答案见解析.

【详解】

若选①，则，又，所以有．

∵，

∴，

∴，

由A为三角形中的角得：

，所以

，∴，∴由

如右图所示，令边上中线长为，则：

．

∴．

若选②的面积，则．

∵

∴，

∴由A为三角形中的角得：

∴，，∴

余下同（1）可求得边上中线长为．

若选③的周长为，则．

，

∵，∴，

∴由A为三角形中的角得：

∴，∴，

余下同（1）可求得边上中线长为．

3．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，且满足_______，试判断的形状，并写出推理过程．

【答案】条件选择见解析，为等边三角形，理由见解析.

【详解】

因为，由正弦定理可得，即，

所以，，则，可得.

选①：，由正弦定理可得，

，则，故，

故，

，则，故，则，可得，得，

所以，为等边三角形；

选②：且，

由正弦定理可得，

，则，则，

，则，故，所以，，则，得，

所以，为等边三角形；

选③：，由正弦定理可得，

，则，故，即，

整理可得，，则，所以，为等边三角形.

4．如图四边形中，，，，、，        .

（1）求；

（2）求面积的最大值.

从①且为锐角；②；③这三个条件中任选一个补充在上面的问题中并作答

【答案】（1）条件选择见解析，；（2）.

【详解】

（1）选①，，

是锐角，，

由余弦定理可得，则，

，则是四边形的外接圆直径，

是的外接圆直径，；

选 ②：，

，，

由余弦定理可得，则，

，则是四边形的外接圆直径，

是的外接圆直径，；

选③：，由余弦定理可得，

，，

，则是四边形的外接圆直径，

是的外接圆直径，；

（2）由（1），，

在中，由余弦定理可得，

所以，，当且仅当时，等号成立.

因此，.

例四、最值范围问题

1、在中，内角，，所对的边分别为，，，．

（1）求角的大小；

（2）若，求周长的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【详解】

解：（1）解法一  因为，

所以由正弦定理可得．

又，

所以，

所以．

因为，所以，所以，

又，所以．

解法二  因为，

所以由余弦定理可得，

整理得，即，

因为，

所以，

所以，

又，所以．

（2）因为，，所以由正弦定理得，

则，，

故的周长

．

易知，所以，

因为在时单调递增，在时单调递减，

所以，

则，

所以，

故周长的取值范围为．

2．在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，．

（1）求角的大小和边长的值；

（2）求面积的最大值．

【答案】（1），；（2）.

【详解】

（1）因为，所以，，

因为角是锐角，所以，

因为，

所以由正弦定理与余弦定理易知，，

整理得，解得.

（2）因为，所以，，

因为，，，所以，

则

，

因为，所以，

则，，

故，面积的最大值为.

3．的内角､､的对边分别为､､，.

（1）求；

（2）若，求周长最大时，的面积.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）∵，

∴，

∴，

∴，

∴，∴，

，.

（2）∵，

据（1）可得，∴，

∴，∴，∴，

当且仅当时等号成立，

即当时，取得最大值，即周长取得最大值，

此时.

4．在中，角所对的边分别为，且

（1）求角B的大小；

（2）若为锐角三角形，其外接圆的半径为2，求面积的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）因为，

所以，

所以，

因为，

所以；

（2）因为为锐角三角形，

所以，则，

即，解得，

又因为其外接圆的半径为2，

所以，

所以，

，

，

，

，

因为，

所以，

所以，

所以面积的取值范围是．

5．在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在中，内角的对边分别为．已知__________．

（1）求角A；

（2）设的面积为S，若，求面积S的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【详解】

（1）选①，由得，

又，所以，

，，，，所以，又，

所以；

选②，由得，即，

所以，又，所以；

（2），由

得，

所以

，

又，，所以，，

所以，即时，．

6．随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A地接到两份外卖单，他须分别到B地､D地取餐，再将两份外卖一起送到C地，运餐过程不返回A地.A，B，C，D各地的示意图如图所示，，，，，，假设小李到达B､D两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如：)，并计算各种送餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留3位小数)(参考数据：，)

【答案】答案见解析

【详解】

解：在中，由正弦定理可知：，

即：，解得：，

由，即：，解得：，

(由余弦定理可得，

解得或者，

)

在中，由余弦定理可知：

即，解得或(舍)；

①若送餐路径为：，则总路程=

②若送餐路径为：，则总路程=

③若送餐路径为：，则总路程=

④若送餐路径为：，则总路程=

所以最短送餐路径为，

此路径的送餐时间为：(分钟).