备战高一数学下学期期中（北师大）专题05 第二章 解三角形（原卷版）

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清单01 正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有
（2）正弦定理的推广及常用变形公式
在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则
①
②；；；
③
④
⑤ ④，，（可实现边到角的转化）
⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化）
清单02 三角形面积公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
清单03 余弦定理
（1）余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：
；
（2）余弦定理的推论
；
；
【考点题型一】解三角形（）
【例1】（24-25高一下·河北·阶段练习）已知的内角所对的边分别是，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】.（24-25高一下·云南文山·阶段练习）在中，内角所对各边分别为，且，则角（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】.（24-25高一下·云南昭通·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．或B．或3C．或3D．3
【变式1-3】.（多选）（24-25高一下·全国·单元测试）在中，若，，，则a等于（ ）
A．B．C．D．
【变式1-4】（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，则 .
【考点题型二】判断三角形的形状（）
【例2】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定的
【变式2-1】.（24-25高三下·浙江·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
【变式2-2】.（24-25高二上·广东深圳·期中）在中，已知三个内角为满足，则三角形的形状（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．不能确定
【变式2-3】.（22-23高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【变式2-4】.（23-24高一下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别是若，且，则该三角形的形状是（ ）
A．三边均不相等的三角形B．底边与腰不相等的等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【考点题型三】三角形周长（定值）（）
【例3】（2024·广东广州·模拟预测）在中，角的对边分别是，且.
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的周长.
【变式3-1】.（23-24高三上·江西·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且.
(1)证明：是钝角三角形；
(2)平分，且交于点，若，求的周长.
【变式3-2】.（22-23高一下·江西萍乡·期中）从①，②两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．
问题：在中，角A，，所对的边分别为，，，且_________．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【变式3-3】.（23-24高二下·福建福州·期中）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若的面积，求的周长．
【考点题型四】三角形面积（定值）（）
【例4】（2025·江西·一模）设向量，，．
(1)求的单调递减区间；
(2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积
【变式4-1】.（24-25高三下·广东·开学考试）若中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角；
(2)若，，求的面积.
【变式4-2】.（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角、、的对边分别为、、，且．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【变式4-3】.（2024·浙江·一模）在中，角对应的三边分别是，，，且.
(1)求角的值；
(2)若，，求的面积.
【变式4-4】.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且
(1)求角A；
(2)若为边上一点，为的平分线，且，求的面积
【考点题型五】三角形边长代数和（）
【例5】（23-24高二上·江西九江·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若，求的取值范围．
【变式5-1】.（23-24高二上·江西·阶段练习）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则的取值范围是 .
【变式5-2】.（2024·江西景德镇·模拟预测）锐角△中，角，，的对边分别为，，，面积.
(1)求的值；
(2)若，求△的周长的取值范围.
【变式5-3】.（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）在锐角中，角所对的边分别为，若．
（1）求角B；
（2）若，求的取值范围．
【变式5-4】.（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求的大小；
（2）在锐角中，，求的取值范围.
【考点题型六】三角形面积（最值+范围）（）
【例6】（23-24高三上·江西·阶段练习）在中，分别是角A，B，C的对边，且．
(1)求的大小；
(2)若，求面积的最大值．
【变式6-1】.（23-24高一下·江西·阶段练习）在中，角所对的边分别是，D是BC的中点，，，则的面积最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】.（2024·江西·模拟预测）已知向量，，.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的面积的最大值.
【变式6-3】.（23-24高二上·江西九江·期中）如图所示，半圆O的直径，点C在的延长线上，，点P为半圆弧上的动点．以为一边在半圆外作矩形，其中．设．
(1)将表示为的函数；
(2)求和矩形的面积之和的最大值．
【变式6-4】.（23-24高一下·湖北）已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
(1)求角C
(2)若，，为角C的平分线，求的长；
(3)若，求锐角面积的取值范围.
【考点题型七】正余弦定理的实际应用（）
【例7】（24-25高二上·江西赣州·开学考试）某中学研究性学习小组为测量如图所示的铜雕的高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点处测得铜雕顶端P处仰角分别为，且，则该铜雕的高度为（ ）

A．B．C．D．
【变式7-1】.（24-25高三上·江西鹰潭·阶段练习）镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一背铜铸湖芦，葫芦表面刻有“风调雨顺､国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位､国家级旅游景区.小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正北方向找到一座建筑物，高为7.5，在地面上点C处（在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（参考数据）
A．37.52B．35.48C．33.26D．31.52
【变式7-2】.（23-24高一下·江苏）为了军事国防需要，现准备发射一颗通信卫星．通信卫星在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面．将地球看作是一个球（球心为O，半径为rkm），地球上一点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个仰角为θ的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A的纬度为北纬，，则该通信卫星的轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为（ ）

A．2rB．3rC．6rD．7r
【变式7-3】.（2024·云南·模拟预测）如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度（与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°（其中B，E，D三点共线）.该学习小组利用这些数据估算得约为60米，则的高h约为（ ）米
（参考数据：，，）
A．11B．20.8C．25.4D．31.8
提升训练
一、单选题
1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在中，若，且，则的外接圆的面积为（ ）
A．4πB．8πC．16πD．64π
2．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）在中，，且有，则线段的长为（ ）
A．B．2C．D．1
3．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）设内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，若的周长为1．则（ ）
A．1B．C．D．2
4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024高三·全国·专题练习）某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中为山顶，为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回处，预计该山路的面积的最小值为（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知在锐角中，，点在边上，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）如图为一块三角形铁片，已知，，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点，，.过点作一条直线分别交的边，于点，，并沿直线裁掉，则裁掉的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高三上·安徽·阶段练习）在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（23-24高一下·云南昭通·期中）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（ ）
A．，有两解
B．，有两解
C．，有两解
D．，有一解
10．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）在中，D在线段上，且，，若，，则（ ）
A．B．的面积为
C．为锐角三角形D．的周长为
三、填空题
11．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ．
12．（23-24高一下·山东临沂·阶段练习）在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为 ．
四、解答题
13．（24-25高三上·青海·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，证明：是直角三角形.
14．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，，.
(1)求的大小；
(2)是的中点.从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分.
15．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，，_______.
(1)求；
(2)求c以的值.
从①，②，这两个条件中选一个，补充在上面问题中，使存在并作答.