2025年中考数学三轮冲刺：二次函数特殊三角形存在性 提分刷题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学三轮冲刺：二次函数特殊三角形存在性 提分刷题练习题（含答案解析），共38页。试卷主要包含了定义，如图，抛物线与x轴交于A等内容，欢迎下载使用。
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）当△PBC的面积最大时，求P点的坐标．
（3）在X轴上是否存在点N，使△NBC是等腰三角形，若存在直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在说明理由

2．定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数．
（1）写出的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标．
3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为，点B在抛物线上．
(1)点A的坐标为____________，点B的坐标为____________；
(2)抛物线的解析式为____________；
(3)设（2）中抛物线的顶点为D，求的面积；
(4)在抛物线上是否还存在点点B除外)，使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
(3)探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
6．如图①，二次函数的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连接，过点C作交于点D．
(1)求点D的坐标；
(2)如图②，在直线上取一点M（不与点B重合），在直线的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
8．如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B，C两点，B点坐标为．

（1）求直线l和抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得，求D点坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AF的解析式；
（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接.

（1）求二次函数的表达式；
（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.
11．如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，P为抛物线上任意一点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当是以为直角边的直角三角形时，求此时P点的坐标．
12．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(－4,0)、B(2,0)，在y轴上有一点 E(0，－2)，连接AE．

（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．若tan∠AED＝，求此时点D坐标；
（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A时，判断动点Q的轨迹并求动点Q所经过的路径长．
13．二次函数y=ax2＋bx＋c图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)．若此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C.
（1）试求a，b所满足的关系式；
（2）当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值；
（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．


14．如图，在平面直角坐标中，二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）点P在第一象限的抛物线上，且能够使△ACP得面积最大，求点P的坐标；
（3）在（2）的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△APQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．

(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长；
(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．（1）；（2）当的面积最大时，求点的坐标为：；（3）在轴上存在点，使是等腰三角形，符合条件的点的坐标为：、、
【分析】（1）根据抛物线上的、、三点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）先根据已知条件设出点的坐标，然后列出的面积关于点的横坐标之间的二次函数关系式，再利用二次函数图像的顶点坐标即可求得答案；
（3）对等腰三角形进行分类讨论，从而确定符合要求的点坐标．
【详解】解：（1）设抛物线解析式为：
∵抛物线与轴交于点与点，与轴交于点
∴
∴
∴抛物线的函数解析式为：．
（2）∵由（1）可知抛物线的函数解析式为：，点为第一象限抛物线上的点
∴设点的坐标为：，其中的取值范围是：
∴过点作，垂足为点，如图：

∴
∴
∵
∴当时，取最大值
∴当时，
∴当的面积最大时，点的坐标为．
（3）①当时，如图：

∵点在轴上
∴设点的坐标为：
∵，
∴
∴点在负半轴上
∴
∴
∴；
②当时，如图：

∴
∵
∴
∴；
③当时，如图：

∵既是等腰三角形，又是直角三角形
∴，
∴．
∴综上所述，在轴上存在点，使是等腰三角形，符合条件的点的坐标为：、、．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、利用面积相等列出二次函数关系式、二次函数图像特征、动点问题、最值问题、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，注意第三问需分类讨论，是一道压轴题，综合性较强，难度较大，是中考常考题目．
2．（1）；（2）k的值为3或－1；（3）点C的坐标为（0，）或（0，5）．
【分析】（1）根据“N”函数的定义即可求得答案；
（2）根据中心对称的性质可得的图像与的图像只有一个交点，
由此联立方程即可求得答案；
（3）先根据中心对称的性质求得点B的坐标，进而可分别表示出y1与y2的函数关系式，以及点C的坐标，再根据为直角三角形分类讨论，利用直角三角形的勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，，，
∴，，，
∴的“N”函数的表达式为；
（2）
，
同理：，
∴与关于原点成中心对称，
又∵正比例函数的图像也是关于原点成中心对称，且题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，
∴的图像与的图像只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
整理，得：，
∴，
解得：，，
∴k的值为3或－1；
（3）由（2）可知，若二次函数y1与y2互为“N”函数，
则二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称，
∵A、B分别是“N”函数y1与y2的图像的顶点，点，
∴点，点O为AB的中点，
∴设（），则，
当时，，
∴点C（0，），
∵C是“N”函数与y轴正半轴的交点，
∴若为直角三角形，则∠ACB＝90°或∠BAC＝90°，
当∠ACB＝90°时，
又∵点O为AB的中点，
∴AB＝2OC，
∵AB＝，
∴OC＝，
∴点C的坐标为（0，），
当∠BAC＝90°时，则，
∴，
解得：，
∴，
∴点C的坐标为（0，5），
综上所述：点C的坐标为（0，）或（0，5）．
【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，理解题意，能够发现二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称是解决本题的关键．
3．(1)
(2)点M坐标（1，2）
(3)存在，点P坐标为（1，6），（1，），（1，），（1，）
【分析】（1）把A、C两点的坐标代入y=-x2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）由抛物线的对称性可知点A与点B关于对称轴对称，所以BC与抛物线对称轴的交点为M，此时MA+MC最小，即MA+MC最小值等于线段BC长，求出直线BC与抛物线对称轴交点M坐标即可；
（3）分两种情况讨论：i)当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①PC=CD；②PD=CD．设出点P的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可；
ii)当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，点P在CD的垂直平分线上，PC=PD，利用两点间的距离公式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；
（2）解：由抛物线的对称性可知点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
所以设BC与抛物线对称轴的交点为M，此时MA+MC最小，即MA+MC最小值=BC，如图，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4；
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵A（-1，0），点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴B（3，0），
设直线BC解析式为y=kx+m，
则，解得，
∴直线BC解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=2，
∴M（1，2）．
（3）解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴对称轴为直线x=1，
∴D（1，0）．
设点P的坐标为（1，t），
∵C（0，3），
∴CD2=12+32=10．
分两种情况讨论：i)当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：
①若PC=CD，则12+（t-3）2=10，解得t=0（舍弃）或6，
所以点P的坐标为（1，6）；
②若PD=CD，则t2=10，解得t=±，
所以点P的坐标为（1，）或（1，-）；
ii)当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，PC=PD，
则1+（t-3）2=t2，解得：t=，
所以点P的坐标为（1，）；
综上所述，点P的坐标有三个，分别是（1，6）或（1，））或（1，-）或（1，）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、利用轴对称求最短距离；难度适中，在考虑构建等腰三角形时，采用了分类讨论的思想．
4．(1)；
(2)
(3)
(4)点的坐标为与
【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，即可得出点的坐标，再求出、的长即可求出的坐标；
（2）把点的坐标代入抛物线的解析式，求出的值，即可求出抛物线的解析式；
（3）先求出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，然后求出的长，再根据进行计算即可；
（4）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：
①若以点为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，由全等三角形的判定定理可得，再由全等三角形的对应边相等可得出点点的坐标；
②若以点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，过点作轴，同理可证，由全等三角形的性质可得出点的坐标；点、的坐标代入抛物线的解析式进行检验即可．
【详解】（1）解： ，，
，
；
过点作轴，垂足为，
，，，
在与中，
，
，
，，
，
的坐标为，
故答案为：；；
（2）把代入得：
，
解得，
抛物线解析式为：．
故答案为：；
（3）由（2）中抛物线的解析式可知，抛物线的顶点，
设直线的关系式为，将点、的坐标代入得：
，
解得．
的关系式为．
设直线和轴交点为，则点，．
；
（4）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：
①若以点为直角顶点；
则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，
过点作轴，
，，，
△．
，，
；
②若以点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，
过点作轴，同理可证，
，，
，
经检验，点与点都在抛物线上，
故点的坐标为与．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定定理、用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．(1)；
(2)
(3)（， ），（2，2），（1+，4- ）
【分析】（1）可根据OB、OC的长得出B、C两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）可将四边形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC两部分来求解．先根据抛物线的解析式求出A点的坐标，即可得出三角形AOC直角边OA的长，据此可根据上面得出的四边形的面积计算方法求出S与m的函数关系式．
（3）先根据抛物线的解析式求出M的坐标，进而可得出直线BM的解析式，据此可设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式分别表示出CM、MN、CN的长，然后分三种情况进行讨论：①CM=MN；②CM=CN；③MN=CN．根据上述三种情况即可得出符合条件的N点的坐标．
【详解】（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴ 解得
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3．
（2）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，M（1，4）
设直线MB的解析式为y=kx+n，
则有
解得
∴直线MB的解析式为y=-2x+6
∵PQ⊥x轴，OQ=m，
∴点P的坐标为（m，-2m+6）
S四边形ACPQ=S△AOC+S梯形PQOC=AO•CO+（PQ+CO）•OQ
=×1×3+（-2m+6+3）•m=-m2+m+（1≤m≤3）．
（3）设N(x,-2x+6)
CM= ，CN= ，
MN=
①当CM=NC时， ，
解得x1= ，x2=1（舍去）
此时N（， ）
②当CM=MN时， ，
解得x1=1+ ，x2=1-（舍去），
此时N（1+，4- ）
③当CN=MN时，=解得x=2，此时N（2，2）
综上所述：线段BM上存在点N，（（， ），（2，2），（1+，4- ）使△NMC为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．
6．(1)；
(2)存在，满足要求的N点坐标有，，．
【分析】（1）根据二次函数图象的与坐标轴交点的计算方法，分别求出的坐标，根据题意，可证，可得，由此即可求解；
（2）根据题意，运用勾股定理求出的值，可得是等腰三角形，结合图形，分类讨论：①如图所示，，可证，即可求解；②如图所示，，根据平行线，等腰三角形的性质即可求解；③如图所示，，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
∴．
令，则，
解得，，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：存在，理由如下，
∵，，，
∴，，则，
∴，
∴．
①如图所示，，交轴于，
则，，，
∴，
∴轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，，
则，，
∴，
∴；
③如图所示，，
则，，，
∴，
作轴于，则，
∴，，
∴，
作轴，于点，则，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，，
∴，，
∴．
综上所述，满足要求的N点坐标有，，．
【点睛】本题主要考查了二函数图象的性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键．
7．（1）；（2）（1，﹣2）；（3）（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，0）
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可；
（2）因为AC为定值，要使的周长最小，只需PA+PC最小即可，根据抛物线的对称性，连接BC交l于点P，此时PA+PC最小为BC的长，由点B、C坐标求出直线BC的函数解析式，利用二次函数的性质和一次函数图像上的点的坐标特征即可求得点P坐标；
（3）设点M（1，m），分AM=AC、AM=MC、AC=MC三种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）将点代入中，
得：，解得：，
∴抛物线的函数关系式为；
（2）因为AC为定值，要使的周长最小，只需PA+PC最小即可，
连接BC交l于点P，此时PA+PC取得最小值，如图，
设直线AB的函数解析式为y=kx+t（k≠0），
将代入，
得：，解得：，
∴直线BC的函数解析式为y=x﹣3，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，即点P的横坐标为1，
将x=1代入y=x﹣3中，得：y=1﹣3=﹣2，
∴点P坐标为（1，﹣2）；
（3）设点M(1，m)，则，，
，
分三种情况讨论：
①当AM=AC时，有=10，
解得：，
∴点M的坐标为（1，﹣）或（1，）；
②当AM=MC时，有=，
解得：m=﹣1，
∴点M的坐标为（1，﹣1）；
③当AC=MC时，有10=，
解得：，
∴点M的坐标为（1，0）或（1，﹣6），
设直线AC的函数解析式为y=px+q，
将代入，
得：，解得：，
∴直线AC的函数解析式为y=﹣3x﹣3，
∵当x=1时，y=﹣3﹣3=﹣6，
∴点M（1，﹣6）在直线AC上，即点A、C、M不能组成三角形，
故满足题意的点M的坐标为（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，0）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二函数的解析式、求一次函数的解析式、轴对称中的最短路径问题、图像上点的坐标特征、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，解答的关键是认真审题，寻找相关联的信息，利用待定系数法、数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算．
8．（1），；（2）；（3）符合条件的点P的坐标为．
【分析】（1）根据题意，直线过A、B两点，用待定系数法求出直线解析式，再把B点坐标带入求出抛物线解析式．
（2）根据题意，先联立一次函数和二次函数求出交点B、C的坐标，再根据点坐标求和的面积，用它们两个相减求出的面积，设，用t表示面积并且令它等于的面积，解方程求出t的值，D的坐标就求出来了．
（3）分类讨论：①OC=OP，用两点之间距离公式求出OC，OP就等于OC，P在x轴上，可以直接写出P的坐标；
②OC=PC，由等腰三角形三线合一，O、P中点的横坐标等于C的横坐标，可以求出P的坐标；
③OP=PC，作CFx轴，设OP=PC=a，在中利用勾股定理列方程求出a，求出P的坐标．
【详解】（1）设直线的解析式为．
把代入得解得
所以直线的解析式为．
把代入得，
所以抛物线的解析式为．
（2）依题意得解得或
即直线与抛物线的两个交点的坐标是．
．
设．
∵，∴，解得或（舍去），∴．
（3）．
①当时，；
②当时，；
③当时，点P是线段的垂直平分线与x轴负半轴的交点．
过点C作轴于点F．设．
在中，，
∵，∴，解得，∴
综上所述，符合条件的点P的坐标为．

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中三角形面积问题，等腰三角形的存在性问题，关键在于要熟悉平面直角坐标系中三角形面积的求法，以及能够利用数形结合的方法对等腰三角形的存在性进行分类讨论．
9．（1）y=x2﹣4x﹣5（2）y=﹣x﹣1 (3) 直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形
【详解】解：（1）在y=x2﹣bx﹣5中令x=0，得y=5，∴|OC|=5．
∵|OC|：|OA|=5：1，∴|OA|=1．∴A（﹣1，0）．
把A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣5得（﹣1）2+b﹣5=0，解得b=4．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5．
（2）∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴抛物线的对称轴为x=2．
∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5）∴F（4，﹣5）．
设直线AF的解析式为y=kx+b，
把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，得
，解得 ．∴直线FA的解析式为y=﹣x﹣1．
（3）存在．理由如下：
①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，
∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点，∴E（0，﹣1）．∴P（0，﹣1）．
②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P．
设P（x1，﹣x1﹣1），
∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5），
∴CE=CF．∴EP=PF．∴CP=PF．
∴点P在抛物线的对称轴上．∴x1=2．
把x1=2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3．∴P（2，﹣3）．
综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形．
（1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式．
（2）由y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9可得对称轴为x=2，根据点C、F关于对称轴对称可得点F的坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可．
（3）分①点P与点E重合和②CF是斜边两种情况讨论即可．
10．（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，，.
【详解】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．
详解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y=；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，
过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，

设D（m，），则点F（m，），
∴DF=﹣（）=，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH
=×DF×AG+×DF×EH
=×4×DF
=2×（）
=，
∴当m=时，△ADE的面积取得最大值为．
（3）y=的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种情况讨论：
当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（﹣1，1）；
当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（﹣1，）；
当PE=AE时，=，解得：n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．
综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．
点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．
11．（1）；（2）点P或
【分析】（1）把点和点代入抛物线进行求解即可；
（2）由（1）易得点B的坐标为，然后可设点P，进而根据题意可分当∠PCB=90°时和当∠PBC=90°时两种情况，最后根据勾股定理及两点距离公式进行求解即可．
【详解】解：（1）把点和点代入抛物线可得：
，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）由（1）可得抛物线解析式为：，
∴当y=0时，则有，解得：，
∴点B，
设点P，
当是以为直角边的直角三角形时，可分：
①当∠PCB=90°时，由勾股定理及两点距离公式可得：
，
解得：（不符合题意，舍去），
∴点P；
②当∠PBC=90°时，由勾股定理及两点距离公式可得：
，
解得（不符合题意，舍去），
∴点P，
综上所述：当是以为直角边的直角三角形时，此时点P或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数与几何的综合是解题的关键．
12．（1）；（2）；（3）Q点的轨迹长为．
【分析】（1）将A（−4，0），B（2，0）代入y＝ax2＋bx＋6，即可求解；
（2）tan∠AED＝，由勾股定理得出AN＝，NE＝，证明Rt△AFN∽Rt△EFO，得到，求出OF＝2，得到直线EF的解析式，再联立方程组即可求解；
（3）Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，Q点的运动轨迹是线段，即可求解．
【详解】解：（1）将A（−4，0），B（2，0）代入y＝ax2＋bx＋6（a≠0），
，解得：a＝，b＝，
∴；
（2）过点A作AN⊥DE，DE与x轴交于点F，

∵tan∠AED＝，即，
设AN=m，则EN=3m，
∵AE=，
∴，即
解得：m=，
∴AN＝，NE＝3，
∵∠ANF=∠EOF，∠AFN=∠EFO，
∴Rt△AFN∽Rt△EFO，
∴，
∵EF2＝OF2＋4，
∴NF＝3−EF=，
∴，
∴解得：OF＝2或OF=-14（舍去），
∴F（−2，0），
设直线EF的解析式为y=kx+n，
将E（0,-2）和F（-2,0）代入得，解得k=-1，n=-2，
∴直线EF解析式为y＝−x−2，
由，得或，
∵点D在第二象限，
∴；
（3）∵Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，
∴Q点的运动轨迹是线段，
当P点在A点时，Q（−4，−4），
当P点在C点时，Q（−6，6），
∴Q点的轨迹长为．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，主要考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
13． （1）a＋b=－1；（2）a=－4＋；（3）不存在.
【分析】（1）把点A（1，0）和点B（0，1）的坐标代入抛物线的解析式，就可以得到关于a，b，c关系式．整理就得到a，b的关系．
（2）利用公式求出抛物线的顶点的纵坐标，进而表示出△AMC的面积，根据就可以得到关于a的方程，解得a的值；
（3）本题应分A是直角顶点，B是直角顶点，C是直角顶点三种情况进行讨论．
【详解】（1）将A（1，0），B（0，l）代入y=ax2＋bx＋c得：
，可得：a＋b=－1
（2）(2)∵a+b=−1，
∴b=−a−1代入函数的解析式得到：y=ax2−(a+1)x+1，
顶点M的纵坐标为 ，
因为
由同底可知：＝
整理得：a2＋8a＋1=0，得：a=－4±
由图象可知：a