2021年中考数学三轮冲刺：二次函数中相似三角形存在练习（含答案）

这是一份2021年中考数学三轮冲刺：二次函数中相似三角形存在练习（含答案），共27页。试卷主要包含了如图，如图，抛物线y＝a等内容，欢迎下载使用。

2021年中考数学三轮冲刺：二次函数中相似三角形问题练习
一．解答题（共12小题）
1．如图．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C．对称轴为直线x＝﹣1，P为顶点．
（1）求出点B的坐标及抛物线的表达式；
（2）在x轴上是否存在点M，使得△MOC与△BCP相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为9．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点E在线段OA上运动，过点E作直线EF⊥x轴，交抛物线于点F，交直线AC于点P，若以P、F、C为顶点的三角形与△APE相似，求点E的坐标；

3．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），其对称轴x＝1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线CM交x轴于点E，求证：BC＝EC．
（3）若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．已知，如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点（不与点B重合），MN⊥AC于点N，连接CM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当MN＝1时，求点N的坐标；
（3）是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

5．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴为直线x＝1.5，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q．请问是否存在这样的点P、Q使得△PQB与△CAB相似．若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，已知抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．

7．如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（﹣2，6）．

（1）求a的值及直线AC的函数关系式；
（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请求出满足条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线y＝ax2﹣8x+c经过A（2，0），B（6，0）两点，直线l为抛物线的对称轴并与x轴交于点C．直线y＝﹣x+2与抛物线分别交于点B，D两点，与直线l交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心适当的长为半径画圆，使圆A与直线BD相切于点F，求点F的坐标并说明直线l，y轴与圆A的位置关系．
（3）在（2）的条件下，在圆A上是否存在点G，使得以G，O，C为顶点的三角形与△BCE相似．若存在，请直接写出G点坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图1，二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣2，0），B（3，0），交y轴于点C，P是第一象限内二次函数图象上的动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴于点Q，若以点P、A、Q为顶点的三角形与△BOC相似，求点P的坐标；

10．如图，已知直线y＝x﹣4与坐标轴分别交于点B、点C，二次函数y＝﹣x2+2x的图象经过点C．
（1）求直线与抛物线的另一个交点A的坐标及线段AB的长；
（2）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

11．如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限上的动点

（1）求直线BC的解析式；
（2）当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E在线段AB上，点F在线段OC上，当△AEF与△PBC相似时，求所有满足条件的点E坐标．
12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（1，0）和点D（﹣3，n），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，求△ODE的面积；
（3）如果点P在y轴上，△PCD与△ABC相似，求点P的坐标．


2021年中考数学三轮冲刺：二次函数中相似三角形问题练习
参考答案与试题解析
一．解答题（共12小题）
1．如图．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C．对称轴为直线x＝﹣1，P为顶点．
（1）求出点B的坐标及抛物线的表达式；
（2）在x轴上是否存在点M，使得△MOC与△BCP相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意，，
解得，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+3，
令y＝0，则﹣x2﹣2x＝3＝0，解得x＝1或﹣3，
∴B（﹣3，0）．

（2）存在．如图，连接PB，PC．

∵B（﹣3，0），P（﹣1，4），C（0，3），
∴BC＝3，PC＝，PB＝2，
∴PB2＝PC2+CB2，
∴∠PCB＝90°，PC：BC＝：3＝1：3，
当MO：OC＝1：3或OC：MO＝1：3时，△COM与△BCP相似，
∴OM＝1或9，
∴满足条件的点M的坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（9，0）或（﹣9，0）．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为9．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点E在线段OA上运动，过点E作直线EF⊥x轴，交抛物线于点F，交直线AC于点P，若以P、F、C为顶点的三角形与△APE相似，求点E的坐标；

【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），
∴对称轴为直线，
∵顶点的纵坐标为9，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，9），
∴设抛物线为y＝a（x+2）2+9，将点B（1，0）代入得：9a+9＝0，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）2+9＝﹣x2﹣4x+5；
（2）设直线AC的解析式为：y＝mx+n（m≠0），
∴解之得：，
∴直线AC的解析式为：y＝x+5，
∵点E在线段OA上运动，过点E作直线EF⊥x轴，交抛物线于点F，交直线AC于点P，
∴设E（x，0），则P（x，x+5），F（x，﹣x2﹣4x+5），
∴PE＝x+5，AE＝x+5，PF＝（﹣x2﹣4x+5）﹣（x+5）＝﹣x2﹣5x，
∵△APE和△PFC相似，且∠APE＝∠FPC，
∴∠AEP＝∠FCP＝90°或∠AEP＝∠CFP＝90°，
①当∠PFC＝90°时，如图：

∵CF⊥EF，
∴点F的纵坐标为5，
∴﹣x2﹣4x+5＝5
解之得：x1＝﹣4，x2＝0（舍去）
∴E（﹣4，0）；
②当∠FCP＝90°时，过F作FM⊥y轴于M，如图：

∵FM⊥y轴，
∴∠FCM+∠CFM＝90°，
∴FM＝﹣x，MC＝﹣x2﹣4x+5﹣5＝﹣x2﹣4x，
∵∠FCP＝90°，
∴∠FCM+∠ACO＝90°，
∴∠CFM＝∠ACO，
∴Rt△CFM∽Rt△ACO∽Rt△APE，
∴，
∴，
解之得：x1＝0（舍去），x2＝﹣3，
∴E（﹣3，0）．
综上可知，当以P、F、C为顶点的三角形与△APE相似时，点E的坐标为（﹣4，0）或（﹣3，0）．
3．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），其对称轴x＝1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线CM交x轴于点E，求证：BC＝EC．
（3）若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c与y轴相交于点C（0，﹣3），
将点C（0，﹣3）代入可得：c＝﹣3，
又∵对称轴，
∴b＝﹣2，
即抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵对称轴为x＝1，
代入抛物线表达式得y＝1﹣2﹣3＝4，
即点M（1，﹣4），
设直线CM的表达式为y＝kx+n，
把点C（0，﹣3），M（1，﹣4）代入解得k＝﹣1，n＝﹣3，
∴CM的表达式为y＝﹣x﹣3，
∵点E在x轴上，即纵坐标y＝0，此时x＝﹣3，
∴E（﹣3，0），
由平面直角坐标系的可知：OE＝OC＝OB＝3，∠EOC＝∠BOC＝90°，
∴△EOC≌△BOC（SAS），
∴EC＝BC；
（3）存在，
∵点P在线段EM上，可设P（t，﹣t﹣3），
如图1所示，作PN⊥x轴于N，
∴PN＝t+3，MN＝OE﹣ON＝3+t，
由勾股定理可知PE＝＝（t+3），BC＝＝＝，
又∵AB＝OA+OB＝4，
由（2）可知△EOC≌△BOC，
∴∠OEC＝∠OBC，
当△PEO∽△ABC时，
＝，
即＝，
解得t＝﹣1，
即点P的坐标为（﹣1，﹣2），
当△PEO∽△CBA时，
，
解得t＝，
即点P的坐标为（，﹣），
综上P的坐标为（﹣1，﹣2）或（，﹣）．

4．已知，如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点（不与点B重合），MN⊥AC于点N，连接CM．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当MN＝1时，求点N的坐标；
（3）是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线ya＝ax2+bx﹣与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，
得，
解得：，
∴，
（2）∵
∴当x＝0时，y＝，
∴C（0，），
∴OC＝，
∵A（3，0），
∴OA＝3，
∴∠OAC＝30°，
∵MN＝1，∠MNA＝90°，
在Rt△AMN中，AN＝，
过点N作NH⊥x轴于点H，

∴NH＝，AH＝，
当点M在点A左侧时，N的坐标为（，﹣），
当点M在点A右侧时，N的坐标为（，），
综上，点N的坐标为（）或（，），
（3）设M点为（x，0），
则由（2）可得AB＝4，
BC＝＝2，AC＝＝2，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠BCA＝90°，
又由2S△CMA＝AM×OC＝AC×MN得：
MN＝＝，
∴若以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，
则：＝，即＝，
即6x＝6，
所以x＝1，
此时M为（1，0）；
＝，即＝，
即x2+3x＝0，
解之可得：x＝0或x＝﹣3，
∴M为（0，0）或（﹣3，0），
综上所述，存在以点C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，且M的坐标为（1，0）或（0，0）或（﹣3，0）．
5．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴为直线x＝1.5，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q．请问是否存在这样的点P、Q使得△PQB与△CAB相似．若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是x＝1.5且A（﹣1，0），
∴B（4，0），
∴，
解得，
∴y＝0.5x2﹣1.5x﹣2；
（2）如图，
设P（x，0），
则Q（x，0.5x2﹣1.5x﹣2），
由题得AC＝＝，
BC＝＝2，
AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
由△PQB与△CAB相似可得，
①AC：PQ＝BC：PB，
则0.5x＝，
得x＝0或x＝4，
经检验，x＝0与x＝4均为根，但x＝4不合题意，
∴Q（0，﹣2）；
②AC：PB＝BC：PQ，
则＝，
得x＝3或x＝4，
经检验，x＝3与x＝4均为根，但x＝4不合题意，
∴Q（3，﹣2），
综上，存在P，Q，
Q为（0，﹣2）或（3，﹣2）．

6．如图，已知抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）∵点A（﹣4，0），B（1，0），
∴OA＝4，OB＝1．
∵在抛物线y＝﹣x2﹣x+2中，当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∴OC＝2，
∴AC＝＝＝2．
∵PD⊥AC，
∴∠PDC＝90°＝∠AOC，
∴当△PCD与△ACO相似时，则△PCD∽△CAO或△PCD∽△ACO，
①若△PCD∽△CAO，则∠PCD＝∠CAO，

∴CP∥AO，
∵C（0，2），
∴点P的纵坐标为2，
∵点P为AC上方抛物线上的动点，
∴2＝﹣x2﹣x+2，
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣3，
∴此时点P的坐标为（﹣3，2）；
②若△PCD∽△ACO，则∠PCD＝∠ACO，＝，
∴＝＝2，
过点A作AC的垂线，交CP的延长线于点G，过点G作GH⊥x轴于点H，如图：

∵PD⊥AC，GA⊥AC，
∴GA∥PD，
∴△GAC∽△PDC，
∴，
∴＝2，
∵GA⊥AC，GH⊥x轴，
∴∠GAC＝∠GHA＝90°，
∴∠AGH+∠GAH＝90°，∠GAH+∠CAO＝90°，
∴∠AGH＝∠CAO，
又∵∠GHA＝∠AOC＝90°，
∴△GHA∽△AOC，
∴，即，
∴GH＝8，AH＝4，
∴HO＝AH+OA＝8，
∴G（﹣8，8），
设直线CG的解析式为y＝﹣x+2，
令﹣x+2＝﹣x2﹣x+2，
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣，
把x＝﹣代入y＝﹣x+2得：
y＝﹣x+2＝﹣×（﹣）+2＝，
∴此时点P的坐标为（﹣，）．
综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣3，2）或（﹣，）．
7．如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（﹣2，6）．

（1）求a的值及直线AC的函数关系式；
（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请求出满足条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点C的坐标为（﹣2，6）代入抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）中，
∴6＝a（﹣2+3）（﹣2﹣1），
解得：a＝﹣2，
∴抛物线解析式为：y＝﹣2（x+3）（x﹣1）＝﹣2x2﹣4x+6，
令y＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A、C两点坐标代入得；
，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x+2．
（2）①设P点的横坐标为m（﹣2≤m≤1），
则P（m，﹣2m+2），M（m，﹣2m2﹣4m+6），
∴PM＝﹣2m2﹣4m+6﹣（﹣2m+2）＝﹣2（m+）2+，
∵﹣2＜0，
∴当m＝﹣时，PMmax＝，
②存在，M（0，6）或M（﹣，），理由如下：
∵∠APN＝∠CPM，∠PNA＝90°，
∴要使△CMP与△APN相似，则使∠PNA＝∠CMP＝90°或∠PNA＝∠MCP＝90°，
情况一：当∠PNA＝∠CMP＝90°，此时MN与y轴重合，N与O重合，CM⊥MP，如图所示：

故yC＝yM＝6，
∴当y＝6时，﹣2x2﹣4x+6＝6，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝0，
∴此时M坐标为（0，6），
情况二：当∠PNA＝∠MCP＝90°，如图所示：

此时，△CMP∽△NAP，
又∵△HMC∽△CMP，△OAD∽△NAP，
∴△HMC∽△OAD，
∴，
设M（m，﹣2m2﹣4m+6），其中﹣2≤m≤1，则CH＝m+2，MH＝﹣2m2﹣4m+6﹣6＝﹣2m2﹣4m，
直线AC的解析式为：y＝﹣2x+2．令x＝0，y＝2，
∴OD＝2，
而OA＝1，
∴，
解得：m＝﹣2（舍去）或m＝﹣，
当m＝﹣，﹣2m2﹣4m+6＝，
∴M（﹣，），
综上所述，M（0，6）或M（﹣，）．
8．如图，抛物线y＝ax2﹣8x+c经过A（2，0），B（6，0）两点，直线l为抛物线的对称轴并与x轴交于点C．直线y＝﹣x+2与抛物线分别交于点B，D两点，与直线l交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心适当的长为半径画圆，使圆A与直线BD相切于点F，求点F的坐标并说明直线l，y轴与圆A的位置关系．
（3）在（2）的条件下，在圆A上是否存在点G，使得以G，O，C为顶点的三角形与△BCE相似．若存在，请直接写出G点坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣2）（x﹣6）＝a（x2﹣8x+12），
∴﹣8a＝﹣8，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣8x+12；

（2）由点A、B的坐标知，抛物线的对称轴为直线x＝4，即OC＝4，
由直线BD的表达式知，∠EBC＝30°，
∵BD和圆A相切，
∴AF⊥BD，
在Rt△ABF中，AB＝6﹣2＝4，∠EBC＝30°，
则AF＝AB＝2＝OA＝AC，
故圆A与直线l、y轴都相切，
则BF＝AB＝2，
设点F的坐标为（x，﹣x+2），
则BF2＝（x﹣6）2+（﹣x+2）2＝（2）2，
解得x＝9（舍去）或3，
故点F的坐标为（3，）；

（3）在△BCE中，∠EBC＝30°，∠ECB＝90°，
当点G在圆上时，则∠CGD＝90°，OC＝4，
故以G，O，C为顶点的三角形与△BCE相似时，∠GCO＝30°或60°即可满足条件．
①当点G在x轴上方时，过点G作GH⊥x轴于点H，

当∠GCO＝30°时，则∠GOH＝60°，
则OG＝CO＝2，
则OH＝OGcos60°＝1，GH＝OGsin60°＝，
故点G的坐标为（1，）；
当∠GCO＝60°时，则∠GOH＝30°，
则OG＝COsin60°＝2，
则OH＝OGcos30°＝3，GH＝OGsin30°＝，
故点G的坐标为（3，）；
故点G的坐标为（1，）或（3，）；
②当点G在x轴下方时，
根据圆的对称性，则点G的坐标为（1，﹣）或（3，﹣）；
综上，点G的坐标为（1，）或（3，）或（1，﹣）或（3，﹣）．
9．如图1，二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣2，0），B（3，0），交y轴于点C，P是第一象限内二次函数图象上的动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴于点Q，若以点P、A、Q为顶点的三角形与△BOC相似，求点P的坐标；

【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，
得，解得，
∴这个二次函数的表达式为y＝x2+x+2．
（2）如图1，设P（x，x2+x+2）（0＜x＜3），则Q（x，0）．
∵抛物线y＝x2+x+2与y轴交于点C，
∴C（0，2），OC＝2，
又∵A（﹣2，0），B（3，0），
∴OA＝2，OB＝3，QA＝x+2，
∵∠BOC＝∠AQP＝90°，且△AQP∽△BOC，
∴，
∴＝，
整理，得x2+x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴P（1，2）．
10．如图，已知直线y＝x﹣4与坐标轴分别交于点B、点C，二次函数y＝﹣x2+2x的图象经过点C．
（1）求直线与抛物线的另一个交点A的坐标及线段AB的长；
（2）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣4与y轴、x轴分别交于点B、点C，
∴B（0，﹣4），C（4，0）.
由，得，，
∴A（﹣2，﹣6），
∴AB＝＝2；
（2）存在．
∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，
∴BC＝＝4，∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠BCD＝∠ABO＝135°，
如图1，当∠CBD＝∠BOA时，则△CBD∽△BOA，
∴，
∴，
解得CD＝4，
∴OD＝4+4＝8，
∴D（8，0）；
如图2，当∠CBD＝∠BAO时，则△CBD∽△BAO，
∴，
∴，
解得DC＝8，
∴OD＝4+8＝12，
∴D（12，0）．
综上所述，点D的坐标为（8，0）或（12，0）．


11．如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限上的动点

（1）求直线BC的解析式；
（2）当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E在线段AB上，点F在线段OC上，当△AEF与△PBC相似时，求所有满足条件的点E坐标．
【解答】解：（1）由，令y＝0得，
即（x+2）（x﹣4）＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
所以A（﹣2，0）、B（4，0），
令x＝0得y＝4，
故C（0，4）；
设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B、C坐标得，
解得，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+4；

（2）设过P点且与直线BC平行的直线的解析式为y＝﹣x+m，

联立，消去y，得，
当△＝4+2（4﹣m）＝0，即m＝6时，S△PBC取最大值，
当m＝6时，﹣x2+2x+4﹣6＝0，解得x＝2，
故P（2，4）；

（3）由（2）得P（2，4），又因为C（0，4），B（4，0），
所以在△PBC中，∠PCB＝45°，PC＝2，，，
由于点E在线段AB上，点F在线段OC上，要满足以A、E、F为顶点的三角形与△PBC相似，只有以下三种情况：
①如图2，当∠FEA＝∠PCB＝45°时，△FEA∽△PCB，

此时＝，故设EF＝2x，则AE＝4x，
则OE＝OF＝EF＝x，
则OA＝AE﹣OE＝4x﹣x＝3x＝2，解得x＝，
故OE＝x＝，
故点E的坐标为（，0）；
②如图3，当∠EFA＝∠PCB＝45°时，△EFA∽△PCB，

此时＝，
故设EF＝2x，AF＝4x，
同理可得：AE＝2x，AO＝x＝2，
解得x＝，
则AE＝2x＝，
故点E的坐标为（﹣，0）；
③如图4，当∠EAF＝∠PCB＝45°时，△EAF∽△PCB，

此时，
同理可得，点E的坐标为（﹣1，0），
综上，点E的坐标为（﹣1，0）或（﹣，0）或（，0）．
12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（1，0）和点D（﹣3，n），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，求△ODE的面积；
（3）如果点P在y轴上，△PCD与△ABC相似，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，0），B（1，0）和D（﹣3，n），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣1；
∴＝2，
∴D（﹣3，2）；
（2）∵将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，
∴E（﹣2，3），
∴S△ODE＝9﹣﹣＝；
（3）如图1，连接CD，AC，CB，过点D作DE⊥y轴于点E，

∵A（﹣2，0），B（1，0），C（﹣1，0），D（﹣3，2），
∴OB＝OC，DE＝CE＝3，AB＝3，BC＝，CD＝3，
∴∠ABC＝∠OCD＝45°，
∵△PCD与△ABC相似，点P在y轴上，
∴分两种情况讨论：
①如图2，当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC，

∴，
∴，
∴PC＝2，
∴P（0，1），
②如图3，当∠BAC＝∠DPC时，△PCD∽△ABC，

∴，
∴，
∴PC＝9，
∴P（0，8）．
∴点P的坐标为（0，8）或（0，1）时，△PCD与△ABC相似．