2025年中考数学三轮冲刺：反比例函数等腰三角形存在性问题 强化练习题（含答案）

这是一份2025年中考数学三轮冲刺：反比例函数等腰三角形存在性问题 强化练习题（含答案），共24页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在函数y=8x（x＞0）、y=kx(x＞0，k为常数）的图象上，AB⊥x轴，垂足为C，OC＝4，AB＝7．
（1）求k的值；
（2）当点P在函数y=kx（x＞0）的图象上，且S△POC＝8，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果x轴上有一点Q，使得△POQ是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
2．如图，正比例函数y＝k1x图象与反比例函数y=k2x(x＞0)图象交于点A（4，3），直线BC∥OA，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接AC，AB．
（1）求正比例函数，反比例函数解析式；
（2）求△ABC的面积．
（3）点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标．
3．如图，已知A（﹣3，2），B（n，﹣3）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为（a，4）（其中a＞3），射线OA与反比例函数y=12x(x＞0)的图象交于点P，点B在函数y=12x的图象上．且AB∥x轴．
（1）当点P横坐标为4时，求直线AO的表达式；
（2）联结BO，当OA平分OB与x轴正半轴的夹角时，求点A的坐标；
（3）当点P是AO的中点时，在x轴上找一点C，使△POC是等腰三角形，求点C的坐标．
5．已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y=kx的图象交于A（﹣3，n），B（2，﹣6）两点．
（1）①求一次函数和反比例函数的表达式；②求△AOB的面积．
（2）在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得△PAO为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝mx﹣2m+6（m＞0）与反比例函数y=kx(k＞0)的图象相交于A（2，a），B两点，与x轴和y轴分别相交于C、D两点．经过点A的直线l2与该反比例函数图象在第一象限内相交于另一点E，且满足l1⊥l2，连接BE．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图，若直线BE恰好经过原点O，求m的值；
（3）设直线BE与y轴负半轴相交于点F，当△BDF是以BD为底边的等腰三角形时，求点E的坐标．
7．如图所示，反比例函数y=mx（m≠0）的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于A（2，a+2）、B（a﹣10，﹣1）两点，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D．
（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若P（t，0）（t≠2）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设MN的长为d，求出d与t之间的函数关系式；
（3）在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y=33x图象在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB＝3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
9．如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y=mx(m≠0，x＞0)的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P为x轴上的一动点，当△APC的面积为9时，求点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标．
10．已知：一次函数y=13x+m与反比例函数y=2x的图象在第一象限的交点为A（1，n）．
（1）求m与n的值；
（2）设一次函数的图象与x轴交于点B，C为x轴上一点，连接AC，若△ABC为等腰三角形，求C的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数y=k2x（k2≠0）的图象相交于点A（2，4），B（﹣4，m）两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P是反比例函数右下支上的动点，且△ABP 为等腰三角形，求出所有满足条件的P点．
12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y=mx（m≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B点的坐标为（﹣6，n）
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
13．如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．
（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
（2）若点P在直线AB上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；
（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．
14．如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y=k2x(k2≠0)的图象交于点A（2，3），B（a，﹣1），设直线AB交x轴于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）直接写出k1x+b＜k2x的解集．
（3）若点P是反比例函数图象上的一点，且△POC是以OC为底边的等腰三角形，求P点的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=kx（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC＝45，cs∠ACH=55．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使三角形PAC是等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；不存在，请说明理由．
参考答案
1．【解答】解：（1）当x＝4时，y=8x=2，y=kx=k4，
即点A、B的坐标分别为：（4，2）、（4，k4），
则AB＝7＝2−k4，则k＝﹣20；
（2）设点P（x，−20x），
则S△POC=12×OC×|yP|=12×4×20x=8，
解得：x＝5，
则点P（5，﹣4）；
（3）设点Q（x，0），
由点O、P、Q的坐标得，PO2＝14，OQ2＝x2，PQ2＝（x﹣5）2+16，
当OP＝OQ时，即14＝x2，则x＝±14，
则点Q（14，0）或（−14，0）；
当OP＝PQ或OQ＝PQ时，则x2＝（x﹣5）2+16或（x﹣5）2+16＝41，
则x＝4.1或10（不合题意的根已经舍去），
则点Q（10，0）或（4.1，0），
综上，Q（14，0）或（−14，0）或（10，0）或（4.1，0）．
2．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝k1x的图象过点A（4，3），
∴4k1＝3，
解得k1=34，
∴正比例函数的解析式为y=34x，
∵反比例函数y=k2x(x＞0)图象过点A（4，3），
∴k24=3，
解得：k2＝12，
∴反比例函数的解析式为y=12x；
（2）连接OC，如图，
∵C点横坐标为8，
∴当x＝8时，y=128=32，
∴C（8，32），
∵OA∥BC，
∴设直线BC的解析式为y=34x+n，
∴32=34×8+n，
∴n=−92，
∴直线BC的解析式为y=34x−92，
∴B（0，−92），
∴OB=−92，
∵OA∥BC，
∴S△OAC＝S△OAB，
∴S△ABC＝S△OBC=12OB•xC=12×92×8＝18；
（3）在y=34x−92中，令y＝0，则x＝6，
∴D（6，0），
∴BD=62+(92)2=152，
①当DP＝DB时，设P（0，y），
∵OD⊥BP，
∴OP＝OB=92，
∴y=92，
∴P（0，92）；
②当BP＝DB=152时，
∴OP＝BP﹣OB=152−92=3或OP＝BP+OB＝12，
∴P（0，﹣12）或P（0，3）；
③当PB＝PD时，则（y+92）2＝62+y2，
解得y=74，
∴P（0，74）；
综上所述．满足条件的点P的坐标为（0，92）或（0，﹣12）或P（0，3）或（0，74）．
3．【解答】解：（1）将A（﹣3，2）代入y=mx得：m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式是y=−6x，
将B（n，﹣3）代入y=−6x得：n＝2，
∴B的坐标为B（2，﹣3），
将A（﹣3，2），B（2，﹣3）代入y＝kx+b得：
−3k+b=22k+b=−3，
∴k=−1b=−1，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）根据图像，结合题意，得：﹣3＜x＜0或x＞2；
（3）存在一点P，使△AOP是等腰三角形；P点坐标为（﹣6，0），（−136，0），（−13，0），（13，0）；理由如下：
如图2，
在x轴上存在点P，使△AOP 是等腰三角形由A（﹣3，2）可得：OA=32+22=13，
当△AOP是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当AO＝AP时（图2中P1），作AS⊥x轴于点S，由A（﹣3，2），等腰三角形三线合一的性质得：OS＝P1S＝3，由AS＝2，OS＝3，
∴P1O＝6，
故P1（﹣6，0）；
②当AO＝PO时（图2中P2），P点在O点左侧时，P2（−13，0）；
P点在O点右侧时，P3（13，0）；
③当PA＝PO时（AP'＝P'O）时，即AP'2＝P'O2，
∴22+（3﹣OP'）2＝OP'2，
∴OP'=136，
∴P'（−136，0），
综上所述，存在一点P，使△AOP是等腰三角形；P点坐标为（﹣6，0），（−136，0），（−13，0），（13，0）．
4．【解答】解：（1）∵点P横坐标为4，
∴点P横坐标为：y=124=3，
∴P（4，3），
设直线AO的解析式为y＝kx，
代入P（4，3），得3＝4k，
解得k=34，
∴直线AO的解析式为y=34x；
（2）∵点A的坐标为（a，4）（其中a＞3），AB∥x轴，
∴B点纵坐标为4，
当y＝4时，x＝3，
∴B（3，4），
∴OB=42+32=5，
∵OA平分OB与x轴正半轴的夹角，
∴∠AOB＝∠1，
∵AB∥x轴，
∴∠1＝∠OAB，
∴∠AOB＝∠OAB，
∴AB＝OB＝5，
∴A（9，4）；
（3）如图，过A作AE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，
∴PF∥AE，
∵点P是AO的中点，
∴AP＝OP，
∴OF＝EF，
∴PF=12AE，
∵点A的坐标为（a，4），
∴AE＝4，
∴PF＝2，
把y＝2代y=12x得x＝6，
∴P（6，2），
∴OP=22+62=210，
∵△POC是等腰三角形，
∴①OP＝OC＝210时，△POC是等腰三角形，
∴C（﹣210，0）或（210，0）；
②OP＝CC＝210时，△POC是等腰三角形，
∴OC＝2OF＝12，
∴C（12，0）；
③当OC＝PC时，△POC是等腰三角形，如图，
此时，点在OP的垂直平分线上，
设C（m，0），
∴OC＝PC＝m，
∴CF＝6﹣m，
在Rt△PCF中，PC2＝PF2+CF2，
∴m2＝（6﹣m）2+22，
∴m=103，
∴C（103，0），
综上所述，点C的坐标为（﹣210，0）或（210，0）或C（12，0）或（103，0）．
5．【解答】解：（1）①已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y=kx的图象交于A（﹣3，n），B（2，﹣6）两点，将点B的坐标代入y＝ kx得：
﹣6＝ k2，
解得：k＝﹣12；
∴反比例函数的表达式为y＝ −12x；
将点A的坐标代入y＝ −12x得：
n=−12−3=4，
∴A（﹣3，4）；
将点A，点B的坐标代入得：
4=−3a+b−6=2a+b，
解得：a=−2b=−2，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣2x﹣2
②设一次函数y＝﹣2x﹣2与x轴交于点C，如图：
由0＝﹣2x﹣2得x＝﹣1；
∴C（﹣1，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△COB=12×1×4+12×1×6=5；
（2）在x轴的负半轴上，存在点P，使得△PAO为等腰三角形；理由如下：
设点P（p，0）（p＜0），
①PA＝PO，则(p+3)2+42=−p，
解得：p=−256；
②AP＝AO，则(p+3)2+42=32+42，
解得：p＝﹣6或p＝0（不合题意，舍去）；
③OP＝OA，则−p=32+42，
解得：p＝﹣5；
综上所述，在x轴的负半轴上，存在点P，使得△PAO为等腰三角形；点P的坐标为(−256，0)或（﹣6，0）或（﹣5，0）．
6．【解答】解：（1）当x＝2时，直线l1：y＝mx﹣2m+6＝6，
∴A（2，6），
∵点A在反比例函数图象上，
∴k＝2×6＝12，
∴反比例函数的表达式为y=12x；
（2）∵l1⊥l2，
∴设直线l2：y=−1mx+b，
把A（2，6）代入得，6=−1m×2+b，
解得b=2m+6，
∴直线l2：y=−1mx+2m+6，
解y=12xy=−1mx+2m+6得x=2y=6，x=6my=2m，
∴E（6m，2m），
解y=mx−2m+6y=12x得x=2y=6，x=−6my=−2m，
∴B(−6m，−2m)，
设直线BE的解析式为y＝cx，
∴6mc=2m−6mc=−2m，
解得m＝±1，
∵m＞0，
∴m＝1．
方法二：过点A作MN∥x轴，过点B作BM⊥MN 于点M，过点E作 EN⊥MN 于点N．
∵∠M＝∠N＝∠BAE＝90°，
∴∠BAM+∠EAN＝∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠ABM＝∠EAN，
∴△BMA∽△ANE，
∴BMAN=MANE，
设E(n，12n)，
∵直线BE过原点，且点B和点E在反比例函数图象上，
∴B(−n，−12n)，
∴6+12nn−2=2+n6−12n，整理，得6(n+2)n(n−2)=n(n+2)6(n−2)，
即6n=n6，
解得n1＝6，n2＝﹣6（舍去），
∴点B的坐标为（﹣6，﹣2），
将 B（﹣6，﹣2）代入 y＝mx﹣2m+6，得﹣6m﹣2m+6＝﹣2，
∴m＝1．
（3）方法一：由（2）知B（−6m，﹣2m），E（6m，2m），
设直线BE解析式为y＝k'x+b'，
将点B和点E代入得，
−6mk′+b′=−2m6mk′+b′=2m，
解得k′=13b′=2m−2m，
∴直线BE的解析式为y=13x+2m−2m，
∴F（0，2m−2m），
由直线l1的解析式为y＝mx﹣2m+6，可得D（0，﹣2m+6），
∴DF2＝（﹣2m+6−2m+2m）2＝（6−2m）2，
BF2＝（6m−0）2+（﹣2m−2m+2m）2=36m2+4m2，
∵△BDF是以BD为底边的等腰三角形，
∴DF＝BF，即（6−2m）2=36m2+4m2，
整理得3m2﹣2m+3＝0，
解得m=1±103，
∵m＞0，
∴E（2+210，210−23）．
方法二：∵△BDF 为等腰三角形，且BD 为底边，
∴∠CDO＝∠ABE，
∵∠COD＝∠BAE＝90°，
∴△CDO∽△EAB，
∴COAE=DOAB，即ABAE=DOCO，
∵lAB：y＝mx﹣2m+6，
∴C(2−6m，0)，D（0，﹣2m+6），
∴ABAE=DOCO=−2m+6−2+6m，即ABAE=m，
联立y=12x，y=mx−2m+6.整理，得mx2+（﹣2m+6）x﹣12＝0，
解得x1=−6m，x2＝2（舍去），
∴点B的坐标为(−6m，−2m)，
∵AB⊥AE，
∴kAB•kAE＝﹣1，
∴kAE=−1m，
设lAE：y=−1mx+b，
将点A（2，6）代入，得lAE：y=−1mx+2m+6，
联立y=12x，y=−1mx+2m+6.，
整理，得1mx2−(2m+6)x+12=0，
解得x1＝6m，x2＝2（舍去），
∴点E的坐标为(6m，2m)，
过点A作 GH∥x轴，过点B作 BG⊥GH于点G，过点E作 EH⊥GH 于点H．
∵∠G＝∠H＝∠BAE＝90°，
∴∠BAG+∠EAH＝∠BAG+∠ABG＝90°，
∴∠ABG＝∠EAH，
∴△BGA∽△AHE，
∴BGAH=GAHE=ABAE=m，
∵A（2，6），B(−6m，−2m)，E(6m，2m)，
∴BG＝6+2m，AH＝6m﹣2，
∴6+2m6m−2=m，
解得：m1=1+103，m1=1−103（舍去）．
∴点E的坐标为(2+210，210−23)．
方法三：由（2）知B（−6m，﹣2m），E（6m，2m），
∴KBE=2m+2m6m+6m=13，
∴tanα＝m，tanθ=1m，tanβ=13，
∵α＝β+θ，
∴tanα＝tan（β+θ）=1m+131−13m=m，
∴1m+13=m−13，
整理得3m2﹣2m﹣3＝0，
解得m=1±103，
∵m＞0，
∴E（2+210，210−23）．
7．【解答】解：（1）∵反比例函数y=mx（m≠0）的图象经过A（2，a+2）、B（a﹣10，﹣1）两点，
∴a+2=m2−1=ma−10，
解得：a=2m=8，
∴A（2，4）、B（﹣8，﹣1），反比例函数的解析式是y=8x，
把A（2，4）、B（﹣8，﹣1）分别代入y＝kx+b得，4=2k+b−1=−8k+b，
解得，k=12b=3，
∴一次函数的解析式为y=12x+3；
（2）由题意得，M（t，12t+3），N（t，8t），
∴PM=12t+3，PN=8t，
当t＞2时，d＝PM﹣PN=12t+3−8t=t2+6t−162t；
当0＜t≤2时，d＝PN﹣PM=8t−（12t+3）=16−t2−6t2t；
（3）由（1）知，直线AB的解析式为y=12x+3，
令x＝0，则y=12x+3＝3，
令y＝0，则0=12x+3，
∴x＝﹣6，
∴C（﹣6，0），D（0，3），
∴OC＝6，OD＝3，如图，
∵△CDQ是等腰直角三角形，
∴①当∠CDQ＝90°时，CD＝QD，
过点Q作QH⊥y轴于H，
∴∠QDH+∠DQH＝90°，
∵∠CDQ＝90°，
∴∠QDH+∠CDO＝90°，
∴∠CDO＝∠DQH，
∴△COD≌△HDQ（AAS），
∴QH＝OD＝3，DH＝OC＝6，
∴OH＝OD+DH＝9，
∴Q（﹣3，9）；
②当∠DCQ＝90°时，同①的方法得，Q'（﹣9，6）；
③当∠CQD＝90°时，
同①的方法得，△CLQ''≌△DKQ''，
∴Q''L＝Q''K，CL＝DK，
∴设Q''（﹣a，a），
∴Q''K＝Q''K＝a，
∴CL＝6﹣a，DK＝a﹣3，
∴6﹣a＝3﹣a，
∴a=92，
∴Q''（−92，92），
即满足条件的点Q的坐标为（﹣3，9）或（﹣9，6）或（−92，92）．
8．【解答】解：（1）∵AB＝3，
∴点A的纵坐标为3，
∵反比例函数y=33x的图象经过点A，
当y＝3时，x=3，
∴A（3，3），
将点A（3，3）代入y＝kx得k=3，
∴正比例函数的解析式为y=3x；
（2）∵AB⊥x轴于点B，设点C的坐标为（3，y），
在Rt△ABO中，OB=3，AB＝3，
由勾股定理可得OA＝23，
∵OB=12OA，
∴∠OAB＝30°，
过点C作CG⊥OA于G，
由题意得CB＝CG，
当点C在AB上时，
则OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝30°，
∴BC=33OB＝1，
∴C（3，1）；
当点C在AB延长线上时，
同理可得C'（3，﹣3）；
综上所述：C（3，1）或（3，﹣3）；
（3）①当AO＝AP＝23时，
则P（3，3﹣23）或（3，3+23）；
②当OA＝OP时，
由OB⊥AP得，AB＝BP，
∴P（3，﹣3）；
③当PA＝PO时，
∴∠OAP＝∠POA＝30°，
则OP平分∠AOB，
∴P（3，1）；
综上所述：P（3，3﹣23）或（3，3+23）或（3，1）或（3，﹣3）．
9．【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2得：0＝﹣4k+2，
解得：k=12．把A（2，n）代入y＝kx+2得：n＝3．
∴A（2，3）．
把A（2，3）代入得：m＝2×3＝6．
∴k的值为12，m的值为6；
（2）设点P（x，0），
则△APC的面积=12×CP×yA=12×|x+4|×3＝9，
解得：x＝2或﹣10，
即点P（2，0）或（﹣10，0）；
（3）存在，理由：
设点Q（0，y），
由点A、C、Q的坐标得，AC2＝45，CQ2＝16+y2，AQ2＝4+（y﹣3）2，
当CA＝CQ时，
则45＝16+y2，则y＝±29，
则点P（0，−29）或（0，29）；
当AC＝AQ或CQ＝AQ时，
同理可得：16+y2＝4+（y﹣3）2或45＝4+（y﹣3）2，
解得：y=−12或3±41，
则点P（0，−12）或（0，3+41）或（0，3−41）．
综上，P（0，−29）或（0，29）或（0，−12）或（0，3+41）或（0，3−41）．
10．【解答】解：（1）∵A（1，n）在反比例数y=2x的图象上，
∴n=21=2，
∴n＝2，
∴A（1，2），
将A（1，2）代入y=13x+m得：
2=13+m，
解得：m=53；
（2）由（1）得y=13x+53，
当y＝0时，x＝﹣5，
∵一次函数的图象与x轴交于点B，
∴B（﹣5，0），
∴AB=(1+5)2+22=210，
如图所示，设C（x，0），
当BC＝BA时，点C的坐标为(−5+210，0)或(−5−210，0)；
当CB＝CA时，得：CB2＝CA2，
∴（x+5）2＝（1﹣x）2+22，
解得：x=−53；
当AB＝AC时，
∵A（1，2），xA﹣xB＝6，
∴C（7，0），
综上所述满足条件的点C坐标为(−5+210，0)或(−5−210，0)或(−53，0)或C（7，0）．
11．【解答】解：（1）将A（2，4），代入y=k2x，
∴k2＝2×4＝8，
∴y=8x，
将B（﹣4，m）代入y=8x，则m＝﹣2，
∴B（﹣4，﹣2），
将A（2，4），B（﹣4，﹣2）代入y＝k1x+b（k1≠0），
∴4=2k1+b−2=−4k1+b，解得：k1=1b=2，
∴y＝x+2．
（2）∵点P是反比例函数右支下方x轴上的动点，
设P（p，0），p＞0，
∵A（2，4），B（﹣4，﹣2），
∴PA2＝（p﹣2）2+42，PB2＝（p+4）2+22，AB2＝（2+4）2+（4+2）2＝72，
∵△ABP为等腰三角形，
①当AB＝AP时，（p﹣2）2+42＝72，
解得：p＝2−14（舍去）或p＝2+14，
∴点P的坐标为：（2+14，0），
②当BP＝BA时，（p+4）2+22＝72，
解得：p＝﹣217−4（舍去）或p＝217−4，
∴点P的坐标为（217−4，0），
③当PB＝PA时，（p+4）2+22＝（p﹣2）2+42，
解得：p＝0（舍去）．
综上所述，P（2+14，0）或（217−4，0）．
12．【解答】解：（1）AO＝5，OD：AD＝3：4，
设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1，
故点A（3，4），
则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为：y=12x，故B（﹣6，﹣2），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：4=3k+b−2=−6k+b，解得：k=23b=2，
故一次函数的表达式为：y=23x+2；
（2）设一次函数交y轴于点M（0，2），
△AOB的面积S=12×OM×（xA﹣xB）=12×2×（3+6）＝9；
（3）设点P（0，m），而点A、O的坐标分别为：（3，4）、（0，0），
AP2＝9+（m﹣4）2，AO2＝25，PO2＝m2，
当AP＝AO时，9+（m﹣4）2＝25，解得：m＝8或0（舍去0）；
当AO＝PO时，同理可得：m＝±5；
当AP＝PO时，同理可得：m=258；
综上，P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258）．
13．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与反比例函数的图象交A（a，3），B（3，b）两点，
∴﹣a+2＝3，﹣3+2＝b，
∴a＝﹣1，b＝﹣1，
∴A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∵点A（﹣1，3）在反比例函数图象上，
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴反比例函数解析式为y=−3x；
（2）连接CP、PD，作PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，
设P（x0，﹣x0+2），
∵A（﹣1，3），
∴C（﹣1，0），
∵B（3，﹣1），
∴D（3，0），
∴S△ACP=12AC×(xP−xA)=12×3×(x0+1)，S△BDP=12BD×(xB−xP)=12×1×(3−x0)．
∵S△ACP＝S△BDP，
∴12×3×(x0+1)=12×1×(3−x0)，
∴x0＝0或x0＝﹣3（不合题意，舍去），
∴P（0，2）；
（3）在x轴正半轴上存在点M，使得△MAB为等腰三角形；M(−1+23，0)或M(3+31，0)．理由如下：
设M（m，0）（m＞0），
∵A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∴MA2＝（m+1）2+9，MB2＝（m﹣3）2+1，AB2＝（3+1）2+（﹣1﹣3）2＝32，
∵△MAB是等腰三角形，
∴①当MA＝MB时，（m+1）2+9＝（m﹣3）2+1，
∴m＝0（舍去）；
②当MA＝AB时，（m+1）2+9＝32，
∴m=−1+23或m=−1−23（舍去），
∴M(−1+23，0)；
③当MB＝AB时，（m﹣3）2+1＝32，
∴m=3+31或m=3−31（舍去），
∴M(3+31，0)；
综上所述，在x轴正半轴上存在点M，使得△MAB为等腰三角形；满足条件的M(−1+23，0)或M(3+31，0)．
14．【解答】解：（1）将点A（2，3）代入y=k2x(k2≠0)得，k2＝2×3＝6，
∴y=6x，
将点B（a，﹣1）代入y=6x得，a＝﹣6，
∴B（﹣6，﹣1），
将点A（2，3），B（﹣6，﹣1）代入y＝k1x+b得，
2k1+b=3−6k1+b=−1，
解得k1=12b=2，
∴一次函数的解析式为y=12x+2；
（2）由图象知：当x＜﹣6或0＜x＜2时，k1x+b＜k2x；
（3）当y＝0时，12x+2＝0，
∴x＝﹣4，
∴C（﹣4，0），
∵PC＝PO，
∴点P在OC的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为﹣2，
∴P（﹣2，﹣3）．
15．【解答】解：（1）∵AC＝45，cs∠ACH=55，
∴CH45=55，
解得，CH＝4，
由勾股定理得，AH=AC2−CH2=8，
∵点O是线段CH的中点，
∴点A的坐标为（﹣2，8），点C的坐标为（2，0），
∴反比例函数的解析式为：y2=−16x，
2a+b=0−2a+b=8，
解得，a=−2b=4，
∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+4；
（2）设P点坐标为（m，0），
当点A为等腰三角形的顶点时，PH＝CH＝4，
则OP＝6，
∴P点坐标为（﹣6，0）；
当点C为等腰三角形的顶点时，PC＝CA＝45，
则OP＝45+2或45−2，
∴P点坐标为（2﹣45，0）或（45+2，0）；
当点P为AC垂直平分线与x轴的交点时，PA＝PC，
则（2﹣m）2＝（﹣2﹣m）2+82，
解得，m＝﹣8，
∴P点坐标为（﹣8，0）．